突破高考数学：提分试题及详细答案

突破高考数学提分试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间距离，即3，故选B

2.若复数z满足z^2=i，则z的实部是（）（2分）A.0B.1/2C.√2/2D.1【答案】C【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=i，展开得a^2-b^2+2abi=i，比较实虚部得a^2-b^2=0，2ab=1，解得a=b=√2/2，故选C

3.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=7，则a_10的值是（）（2分）A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】由等差数列性质a_5=a_1+4d，得7=1+4d，解得d=3/2，则a_10=a_1+9d=1+9×3/2=15，故选C

4.直线y=kx+1与圆x-1^2+y^2=4相切，则k的值是（）（2分）A.±√3/3B.±√2/2C.±1D.±√3【答案】A【解析】圆心1,0到直线kx-y+1=0的距离等于半径2，即|k×1-0+1|/√k^2+1=2，解得k=±√3/3，故选A

5.函数fx=sin2x+π/3的图像关于y轴对称的函数是（）（2分）A.sin2x-π/3B.cos2x+π/3C.sin2x+π/6D.cos2x-π/3【答案】D【解析】fx图像关于y轴对称，需满足f-x=fx，即sin2-x+π/3=sin2x+π/3，化简得sinπ/3-2x=sin2x+π/3，利用诱导公式得cos2x+π/3=sin2x+π/3，故选D

6.一个四面体的顶点分别为A、B、C、D，若AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，则其体积是（）（2分）A.√2/4B.√6/12C.√3/6D.1/3【答案】A【解析】取CD中点E，连接AE、BE，则AE⊥CD，BE⊥CD，且AE=BE=√3/2，CD⊥平面ABE，V=1/3×CD×S△ABE=1/3×1×1/2×√3/2×√3/2=√2/4，故选A

7.已知抛物线y^2=2pxp0的焦点到准线的距离是4，则p的值是（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】抛物线焦点到准线距离等于p/2，即p/2=4，解得p=8，故选B

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=60°，则sinB的值是（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√3/4【答案】B【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得2/sin60°=√3/sinB，解得sinB=√3/2，故选B

9.不等式|x-1|2的解集是（）（2分）A.-∞,-1∪3,+∞B.-∞,-1]∪[3,+∞C.-∞,-1∪1,3D.-∞,-1]∪1,3【答案】A【解析】由|x-1|2得x-12或x-1-2，解得x3或x-1，故选A

10.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则fx在区间[-1,3]上的最大值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-4，f0=2，f2=-2，f3=0，最大值为2，故选B

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若sinα=sinβ，则α=βD.若cosα=cosβ，则α=βE.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x1x2∈I，有fx1fx2【答案】B、D、E【解析】A错误，如a=2b=-1，但a^2=4b^2=1；C错误，sin函数周期为2π，α=β+2kπk∈Z；D正确，cos函数周期为2π，α=β+2kπk∈Z；E正确，单调递增定义即x1x2⇒fx1fx2，故选BDE

2.下列函数中，在区间0,π上为增函数的有（）（4分）A.y=tanxB.y=cosxC.y=ln1+xD.y=x^2E.y=e^x【答案】A、C、D、E【解析】y=tanx在0,π内除π/2外单调递增；y=cosx在0,π单调递减；y=ln1+x在0,π单调递增；y=x^2在0,π单调递增；y=e^x在0,π单调递增，故选ACDE

3.下列不等式成立的有（）（4分）A.log_31/2log_31/3B.1/2^-31/3^-3C.sinπ/6cosπ/6D.-3^2-2^2E.arctan1arctan2【答案】A、B、C【解析】A正确，对数函数y=log_3x在0,+∞单调递增，1/21/3⇒log_31/2log_31/3，但题目要求，需改为log_31/3log_31/4，则A正确；B正确，指数函数y=1/2^x在R上单调递减，-3-2⇒1/2^-31/2^-2，同理1/3^-31/3^-2，故B正确；C正确，sinπ/6=1/2，cosπ/6=√3/2，1/2√3/2；D错误，-3^2=9=-2^2；E错误，反正切函数y=arctanx在R上单调递增，12⇒arctan1arctan2，故选ABC

4.下列方程有实数解的有（）（4分）A.x^2+2x+3=0B.x^4-2x^2+1=0C.|x|=1D.tanx=1E.x^3-3x+2=0【答案】B、C、D、E【解析】A错误，判别式Δ=4-12=-80；B正确，x^4-2x^2+1=x^2-1^2=0⇒x=±1；C正确，|x|=1⇒x=±1；D正确，tanx=1⇒x=π/4+kπk∈Z；E正确，x^3-3x+2=x-1^2x+2=0⇒x=1或x=-2，故选BCDE

5.下列命题中，为真命题的有（）（4分）A.若四边形ABCD的对角线互相平分，则它是平行四边形B.若x^2=1，则x=1C.若ab，则a^2+b^22abD.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则它是直角三角形E.若函数fx是奇函数，则f0=0【答案】A、C、D【解析】B错误，x^2=1⇒x=±1；C正确，a^2+b^2-2ab=a-b^2≥0；D正确，3^2+4^2=5^2，符合勾股定理；E错误，f0=0是奇函数的必要非充分条件，如fx=x/|x|在x=0处无定义，故选ACD

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=2cos^2x-sinx在区间[0,2π]上的最大值是______（4分）【答案】3【解析】fx=2cos^2x-sinx=1+cos2x-sinx=1+2cos^2x-2sin^2x/2-sinx=1+2cos^2x-1-sinx=2cos^2x-sinx，令t=cosx，则fx=2t^2-t，t∈[-1,1]，fx=4t-1，令fx=0得t=1/4，f0=2，fπ/2=-1，fπ=-2，f3π/2=1，f2π=2，最大值为

32.若复数z=1+i，则z^4的虚部是______（4分）【答案】-4【解析】z^4=1+i^4=1+i^2^2=2i^2=-4，虚部为-

43.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则a_7的值是______（4分）【答案】64【解析】设公比为q，则a_4=a_1q^3⇒16=1×q^3⇒q=2，a_7=a_1q^6=1×2^6=

644.过点A1,2且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程是______（4分）【答案】x+2y-5=0【解析】垂直直线的斜率k=1/1/2=2，直线方程为y-2=2x-1⇒x+2y-5=

05.已知圆心为C1,1，半径为2的圆与直线y=x+1相交，则两交点之间的距离是______（4分）【答案】2√2【解析】圆心到直线距离d=|1-1+1|/√2=1/√2，两交点为直线与圆的对称点，设为A、B，则AB=2√r^2-d^2=2√4-1/2=2√7/√2=2√

26.函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为-1，则a+b的值是______（4分）【答案】6【解析】fx=3x^2-2ax+b，x=1处取得极值⇒f1=0⇒3-2a+b=0，f1=-1⇒1-a+b=-1⇒a-b=2，联立解得a=5，b=7，a+b=

127.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值是______（4分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/2×3×5=9/10=3/

58.若函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是m，则m+1的值是______（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间距离，即3，m=3，m+1=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2b=-1，但a^2=4b^2=1，故错误

2.若sinα=sinβ，则α=β（）（2分）【答案】（×）【解析】sin函数周期为2π，α=β+2kπk∈Z，故不一定相等

3.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x1x2∈I，有fx1fx2（）（2分）【答案】（√）【解析】这是单调递增的定义，正确

4.若x^2+y^2=1，则x+y=1（）（2分）【答案】（×）【解析】如x=1/√2，y=1/√2，x^2+y^2=1但x+y=√2≠1，故错误

5.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则它是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，符合勾股定理，故正确

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值2，最小值-10【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-10，f0=2，f2=-2，f3=0，最大值为2，最小值为-

102.求过点A1,2且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程（4分）【答案】x+2y-5=0【解析】垂直直线的斜率k=1/1/2=2，直线方程为y-2=2x-1⇒x+2y-5=

03.求不等式|x-1|2的解集（4分）【答案】-∞,-1∪3,+∞【解析】由|x-1|2得x-12或x-1-2，解得x3或x-1，故解集为-∞,-1∪3,+∞

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sin2x+π/3的图像关于y轴对称，求fx的表达式（10分）【答案】fx=cos2x+π/6【解析】fx图像关于y轴对称⇒f-x=fx，即sin2-x+π/3=sin2x+π/3，化简得sinπ/3-2x=sin2x+π/3，利用诱导公式得cos2x+π/3=sin2x+π/3，即fx=cos2x+π/

62.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=7，求a_10的值（10分）【答案】15【解析】由等差数列性质a_5=a_1+4d，得7=1+4d，解得d=3/2，则a_10=a_1+9d=1+9×3/2=15

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为-1，求a、b的值，并判断极值是极大值还是极小值（25分）【答案】a=5，b=7，极小值【解析】fx=3x^2-2ax+b，x=1处取得极值⇒f1=0⇒3-2a+b=0

①，f1=-1⇒1-a+b=-1⇒a-b=2

②，联立

①②解得a=5，b=7，fx=6x-2a，f1=6-2×5=-40，故为极小值

2.已知圆C的方程为x-1^2+y-2^2=9，直线L的方程为y=x，求圆C与直线L的位置关系（25分）【答案】相切【解析】圆心1,2到直线x-y=0的距离d=|1-2|/√2=√2，半径r=3，d=r，故相切---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.B

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.BDE

2.ACDE

3.AC

4.BCDE

5.ACD

三、填空题

1.

32.-

43.

644.x+2y-5=

05.2√

26.

127.3/

58.4

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.最大值2，最小值-

102.x+2y-5=

03.-∞,-1∪3,+∞

六、分析题

1.fx=cos2x+π/

62.a_10=15

七、综合应用题

1.a=5，b=7，极小值

2.相切。