第35届奥数竞赛真题与答案解析

第35届奥数竞赛真题与答案解析

一、单选题

1.若a、b为正整数，且a+b=10，则ab的最大值为（）（2分）A.25B.20C.15D.10【答案】B【解析】由基本不等式，ab≤a+b²/4=25，当且仅当a=b=5时取等号

2.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）（1分）A.15πB.20πC.30πD.60π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

3.方程x²-3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）（2分）A.k9B.k9C.k=9D.k9【答案】D【解析】判别式Δ=9-4k0，解得k9/

44.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，则AC的长为（）（2分）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3【答案】B【解析】由正弦定理AC=BCsinB/sinA=10×√2/2/√3=5√6/3≈5√

35.某校学生参加植树活动，若每人植树4棵，则余下60棵；若每人植树5棵，则还差20棵，则参加植树的学生人数为（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】C【解析】设人数为x，4x+60=5x-20，解得x=80，但需满足每人植树可能，故x=

406.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分段函数fx在x=-2时取最小值

37.一个六位数，前三位数字与后三位数字相同，则这样的六位数中最大的是（）（2分）A.999999B.888888C.666666D.555555【答案】A【解析】最大六位数由9组成

8.如图，ABCD是正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则∠AEF的度数是（）（2分）A.60°B.45°C.30°D.15°【答案】C【解析】∠AEF=∠B+∠EAB=45°+15°=30°

9.若x²+x-1=0，则x⁴+x³的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】x⁴+x³=xx³+x²=xx²+x-1+x²=x2x²+x-1=x2-1+x-1=x

10.一个圆的半径增加一倍，则其面积增加了（）（1分）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【答案】D【解析】原面积πr²，新面积π2r²=4πr²，增加了3倍

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）A.等腰三角形的底角相等B.矩形的对角线相等C.勾股定理适用于任意三角形D.圆的直径是它的最大弦E.平行四边形的对角线互相平分【答案】A、B、D、E【解析】勾股定理只适用于直角三角形

2.若m为有理数，则下列结论一定成立的是（）A.m²为正数B.m+1为无理数C.1/m为有理数D.2m为整数E.m³为有理数【答案】A、C、E【解析】m=0时B、D不成立

3.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况是（）A.当a0，Δ0时，两根都正B.当a0，Δ0时，无实根C.两根之积为c/aD.两根之和为-b/aE.一根为正必有一根为负【答案】B、C、D【解析】A、E需结合Δ判断

4.如图，在直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，且OA=OB=1，则点Px,y的轨迹方程可能是（）A.x²+y²=1B.y=1/xC.x²-y²=1D.x+y=1E.x²+y²=2【答案】A、B【解析】OA=OB=1为双曲线x²-y²=

15.某班级有m名男生，n名女生，若随机抽取两人，则至少有一名女生的概率是（）A.m/m+nB.n/m+nC.1-m/m+nD.nm+nE.m+n【答案】C【解析】至少一名女生的对立事件为全是男生

三、填空题（每空2分，共24分）

1.若x=2016，则x²+x⁻¹=__________【答案】2016²+1/

20162.在△ABC中，若sinA/2=sinB/2，则∠C的度数是__________【答案】60°

3.一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则其侧面积是__________【答案】12π

4.方程x²+px+q=0的两根之比为1:2，则p²/q的值为__________【答案】

45.在直线上有n个不同的点，则可形成的线段数量是__________【答案】nn-1/

26.若0x1，则x-x²的最大值是__________【答案】1/4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2时错误

2.一个三角形的三条高相交于一点，这个点称为三角形的垂心（）【答案】（√）

3.若x²+y²=0，则x=0且y=0（）【答案】（√）

4.等差数列的前n项和Sn=na₁+n-1d/2，其中a₁为首项，d为公差（）【答案】（√）

5.若一个数既是合数又是偶数，则它一定不是质数（）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知a+b=7，ab=12，求a²+b²的值【解析】a²+b²=a+b²-2ab=49-24=

252.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=6，AD=4，求DE的长【解析】DE为△ABC的中位线，DE=1/2BC=

33.若一个圆的面积增加了50%，求半径增加了百分之多少？【解析】设原半径为r，新半径为r1+x，πr²1+x²=

1.5πr²，解得x=√

1.5-1≈22%

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明勾股定理在直角△ABC中，若∠C=90°，则a²+b²=c²【证明】作高CH垂直AB于H，则△ACH∽△ABC，△BCH∽△ABC，AH=AC²/AB，BH=BC²/AB，AB=AC²/AH+BC²/BH=c²/a²+b²/c²，得a²+b²=c²

2.已知数列{aₙ}是等差数列，a₃+a₈=20，a₅=6，求通项公式aₙ【解】设首项a₁，公差d，则a₃=a₁+2d，a₈=a₁+7d，a₅=a₁+4d，由a₃+a₈=20，得2a₁+9d=20，由a₅=6，得a₁+4d=6，解得a₁=2，d=2，故aₙ=2+2n-1=2n

七、综合应用题（20分）某工程队计划修建一条长L米的公路，第一天完成了全长的1/3，之后每天比前一天多完成全长的1/30，问

（1）第n天完成的长度是多少？

（2）第几天可以完成全部工程？

（3）若工程队需在15天内完成，每天至少要比原计划多完成多少米？【解】

（1）第n天完成的长度为L/3+n-1/30×L

（2）设第k天完成，L/3+kL/30=L，解得k=7，即第8天完成

（3）设每天多完成x米，15天完成L，得15L/3+x=L，解得x=L/45

八、附加题（15分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于G，交BD于H求证G是AC的中点【证明】作辅助线，延长EF交BC的延长线于M，则四边形ABCD为梯形，由中位线性质，EF=1/2AB+CD，又由平行线分线段成比例，AG/CG=AF/FM，而AF/FM=AB/CD，故AG/CG=AB/CD，即AG=CG，G是AC中点。