线性代数A课程考试真题及答案解析

线性代数A课程考试真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,2,3,0,1,2,0,0,1D.1,1,1,2,2,2,3,3,3【答案】B【解析】选项B中的向量组是单位向量组，显然线性无关其他选项中存在线性相关关系

2.矩阵A的秩为3，则下列说法正确的是（）（2分）A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性无关C.A的行向量组和列向量组都线性无关D.A的行向量组线性无关，列向量组线性相关【答案】B【解析】矩阵的秩等于其列向量组的最大线性无关组个数，因此A的列向量组线性无关

3.下列矩阵中，可逆的是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\【答案】B【解析】选项B是单位矩阵，显然可逆其他选项中存在行列式为零的情况，不可逆

4.矩阵A经过初等行变换后变为矩阵B，则下列说法正确的是（）（2分）A.A和B的秩不相等B.A和B的秩相等C.A和B的行列式相等D.A和B的特征值相等【答案】B【解析】初等行变换不改变矩阵的秩

5.下列向量中，是矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征向量的是（）（2分）A.1,1B.2,-1C.1,-1D.0,1【答案】C【解析】计算可得，1,-1是矩阵A的特征向量

6.下列矩阵中，是正定矩阵的是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}-11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】B【解析】选项B的矩阵是正定矩阵，其余选项的矩阵不是正定矩阵

7.下列方程组中，有唯一解的是（）（2分）A.\x+y=1\B.\x+y=1\C.\x+y=1\D.\x+y=1\【答案】C【解析】选项C的方程组系数矩阵是非奇异矩阵，有唯一解

8.下列向量组中，是正交向量组的是（）（2分）A.1,0,0,1B.1,1,1,-1C.1,1,2,2D.1,1,1,2【答案】A【解析】选项A中的向量组是标准正交基

9.下列矩阵中，是可对角化的矩阵的是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\01\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\【答案】B【解析】选项B是单位矩阵，显然可对角化

10.下列向量中，是矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的零向量的倍数的是（）（2分）A.1,1B.2,-1C.1,-1D.0,1【答案】C【解析】1,-1是矩阵A的零向量的倍数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列矩阵中，秩为2的是（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}12\\35\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\48\end{pmatrix}\【答案】A、C【解析】选项A和C的矩阵秩为2，选项B和D的矩阵秩为

12.下列向量组中，线性相关的是（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,4,6,3,6,9C.1,2,3,0,1,2,0,0,1D.1,1,1,2,2,2,3,3,3【答案】B、D【解析】选项B和D中的向量组线性相关

3.下列矩阵中，可逆的是（）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\【答案】B、C【解析】选项B和C的矩阵可逆，选项A和D的矩阵不可逆

4.下列向量中，是矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征向量的是（）A.1,1B.2,-1C.1,-1D.0,1【答案】C【解析】1,-1是矩阵A的特征向量

5.下列矩阵中，是正定矩阵的是（）A.\\begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}-11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】B【解析】选项B的矩阵是正定矩阵，其余选项的矩阵不是正定矩阵

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩为______【答案】

22.向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1的秩为______【答案】

33.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值为______和______【答案】-1,

54.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵为______【答案】\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

5.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵为______【答案】\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.矩阵的秩等于其行向量组的最大线性无关组个数（）【答案】（√）

3.单位矩阵是可逆矩阵（）【答案】（√）

4.线性无关的向量组一定是正交向量组（）【答案】（×）

5.正定矩阵的行列式一定大于零（）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.什么是矩阵的秩？如何求矩阵的秩？【答案】矩阵的秩是指矩阵的最大线性无关列向量（或行向量）的个数求矩阵的秩可以通过行初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的个数即为矩阵的秩

2.什么是特征值和特征向量？如何求矩阵的特征值和特征向量？【答案】特征值和特征向量是指对于矩阵A，存在数λ和向量x（非零向量），使得Ax=λx，其中λ称为特征值，x称为特征向量求特征值和特征向量的步骤为1）解特征方程|A-λI|=0得到特征值λ；2）对于每个特征值λ，解方程A-λIx=0得到特征向量x

3.什么是正定矩阵？如何判断矩阵是否为正定矩阵？【答案】正定矩阵是指所有特征值都为正的对称矩阵判断矩阵是否为正定矩阵的方法包括1）检查矩阵是否为对称矩阵；2）计算所有特征值是否为正

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求矩阵A的逆矩阵【答案】矩阵A的逆矩阵可以通过以下步骤求解1）计算行列式|A|，|A|=1×4-2×3=-2；2）计算伴随矩阵adjA，adjA=\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\；3）计算逆矩阵A^-1=adjA/|A|，A^-1=\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

2.设向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1，证明该向量组是线性无关的【答案】要证明向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1是线性无关的，需要证明不存在不全为零的数k1,k2,k3使得k11,0,0+k20,1,0+k30,0,1=0假设存在不全为零的数k1,k2,k3使得k11,0,0+k20,1,0+k30,0,1=0，则得到方程组k1=0k2=0k3=0因此，k1,k2,k3必须全为零，所以向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1是线性无关的

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，向量b=1,2^T，求解线性方程组Ax=b【答案】求解线性方程组Ax=b的步骤如下1）将增广矩阵\\begin{pmatrix}121\\342\end{pmatrix}\通过行初等变换化为行阶梯形矩阵\\begin{pmatrix}121\\0-2-1\end{pmatrix}\2）回代求解从第二行得到-2x2=-1，解得x2=

0.5；从第一行得到x1+2x2=1，解得x1=1-2×

0.5=0因此，线性方程组Ax=b的解为x=0,

0.5^T

2.设矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求矩阵A的特征值和特征向量【答案】求矩阵A的特征值和特征向量的步骤如下1）计算特征方程|A-λI|=0，|A-λI|=\\begin{vmatrix}1-λ2\\34-λ\end{vmatrix}\=0；2）解特征方程得到特征值λ1=-1,λ2=5；3）对于特征值λ1=-1，解方程A--1Ix=0，即\\begin{pmatrix}22\\35\end{pmatrix}\x=0，得到特征向量x1=-1,1^T；4）对于特征值λ2=5，解方程A-5Ix=0，即\\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\x=0，得到特征向量x2=1,2^T因此，矩阵A的特征值为-1和5，对应的特征向量分别为-1,1^T和1,2^T【答案】

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.B

5.C

6.B

7.C

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、C

2.B、D

3.B、C

4.C

5.B

三、填空题

1.

22.

33.-1,

54.\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

5.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.矩阵的秩是指矩阵的最大线性无关列向量（或行向量）的个数求矩阵的秩可以通过行初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的个数即为矩阵的秩

2.特征值和特征向量是指对于矩阵A，存在数λ和向量x（非零向量），使得Ax=λx，其中λ称为特征值，x称为特征向量求特征值和特征向量的步骤为1）解特征方程|A-λI|=0得到特征值λ；2）对于每个特征值λ，解方程A-λIx=0得到特征向量x

3.正定矩阵是指所有特征值都为正的对称矩阵判断矩阵是否为正定矩阵的方法包括1）检查矩阵是否为对称矩阵；2）计算所有特征值是否为正

六、分析题

1.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵为\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

2.向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1是线性无关的

七、综合应用题

1.线性方程组Ax=b的解为x=0,

0.5^T

2.矩阵A的特征值为-1和5，对应的特征向量分别为-1,1^T和1,2^T。