线线夹角高考试题及权威答案

线线夹角高考试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在空间中，若两条直线a和b分别平行于直线l，则直线a与直线b的夹角为（）（2分）A.0°B.90°C.180°D.任意角【答案】D【解析】两条平行于同一直线的直线可以是平行的，也可以是相交的，因此夹角可以是任意角

2.已知直线l1的方程为2x+y-1=0，直线l2的方程为x-2y+3=0，则直线l1与直线l2的夹角为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】直线l1的斜率为-2，直线l2的斜率为1/2，两直线夹角的正切值为|-2-1/2|/1+-2×1/2=√3，夹角为45°

3.在空间直角坐标系中，点A1,2,3和点B2,1,4，则向量AB与z轴的夹角为（）（2分）A.arccos1/3B.arccos2/3C.arccos3/3D.arccos4/3【答案】A【解析】向量AB=1,-1,1，z轴方向向量为0,0,1，夹角cosθ=0×1+0×-1+1×1/√1^2+-1^2+1^2×1=1/3，θ=arccos1/

34.已知直线l1的方程为x+y=1，直线l2的方程为x-y=1，则直线l1与直线l2的夹角为（）（2分）A.45°B.90°C.135°D.180°【答案】A【解析】直线l1的斜率为-1，直线l2的斜率为1，两直线夹角的正切值为|-1-1|/1+-1×1=2，夹角为45°

5.在空间中，若直线a与平面β垂直，直线b与平面β平行，则直线a与直线b的夹角为（）（2分）A.0°B.45°C.90°D.任意角【答案】C【解析】直线a与平面β垂直，则直线a与平面β内所有直线都垂直，包括直线b，因此夹角为90°

6.已知直线l1的方程为y=2x+1，直线l2的方程为y=-1/2x+3，则直线l1与直线l2的夹角为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2，两直线垂直，夹角为90°

7.在空间直角坐标系中，点A1,0,0和点B0,1,0，则向量AB与x轴的夹角为（）（2分）A.arccos1/√2B.arccos1C.arccos0D.arccos1/2【答案】A【解析】向量AB=-1,1,0，x轴方向向量为1,0,0，夹角cosθ=-1×1+1×0+0×0/√-1^2+1^2+0^2×1=-1/√2，θ=arccos1/√

28.已知直线l1的方程为x+2y=1，直线l2的方程为2x+y=3，则直线l1与直线l2的夹角为（）（2分）A.arctan1/3B.arctan2/3C.arctan3/2D.arctan3/1【答案】C【解析】直线l1的斜率为-1/2，直线l2的斜率为-2，两直线夹角的正切值为|-1/2--2|/1+-1/2×-2=3/2，夹角为arctan3/

29.在空间中，若直线a与直线b平行，直线b与直线c垂直，则直线a与直线c的夹角为（）（2分）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】C【解析】直线a与直线b平行，直线b与直线c垂直，则直线a与直线c垂直，夹角为90°

10.已知直线l1的方程为2x-y=1，直线l2的方程为x+2y=3，则直线l1与直线l2的夹角为（）（2分）A.arctan1/3B.arctan2/3C.arctan3/2D.arctan2/1【答案】B【解析】直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2，两直线夹角的正切值为|2--1/2|/1+2×-1/2=2/3，夹角为arctan2/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些情况下，两条直线一定垂直？（）（4分）A.两直线斜率的乘积为-1B.两直线分别垂直于同一直线C.两直线分别平行于不同直线D.两直线在平面内垂直【答案】A、D【解析】两直线斜率的乘积为-1时，两直线垂直；两直线在平面内垂直时，两直线垂直

2.在空间直角坐标系中，以下哪些情况下，两向量垂直？（）（4分）A.两向量的点积为0B.两向量的模长相等C.两向量的方向相反D.两向量的方向相同【答案】A【解析】两向量的点积为0时，两向量垂直

3.以下哪些情况下，两条直线一定平行？（）（4分）A.两直线斜率相等B.两直线分别平行于同一直线C.两直线分别垂直于同一直线D.两直线在平面内平行【答案】A、B、D【解析】两直线斜率相等时，两直线平行；两直线分别平行于同一直线时，两直线平行；两直线在平面内平行时，两直线平行

4.已知直线l1的方程为y=mx+b1，直线l2的方程为y=mx+b2，以下哪些情况下，两直线重合？（）（4分）A.m=0B.b1=b2C.m≠0D.b1≠b2【答案】B【解析】两直线斜率相等且截距相等时，两直线重合

5.在空间中，以下哪些情况下，直线与平面垂直？（）（4分）A.直线与平面内所有直线都垂直B.直线与平面内一条直线垂直C.直线与平面内两条相交直线都垂直D.直线与平面内两条平行直线都垂直【答案】A、C【解析】直线与平面内所有直线都垂直或直线与平面内两条相交直线都垂直时，直线与平面垂直

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知直线l1的方程为2x+y=1，直线l2的方程为x-2y=3，则直线l1与直线l2的夹角为______（4分）【答案】arctan3/2【解析】直线l1的斜率为-2，直线l2的斜率为1/2，两直线夹角的正切值为|-2-1/2|/1+-2×1/2=3/2，夹角为arctan3/

22.在空间直角坐标系中，点A1,2,3和点B2,1,4，则向量AB与z轴的夹角为______（4分）【答案】arccos1/3【解析】向量AB=1,-1,1，z轴方向向量为0,0,1，夹角cosθ=0×1+0×-1+1×1/√1^2+-1^2+1^2×1=1/3，θ=arccos1/

33.已知直线l1的方程为y=2x+1，直线l2的方程为y=-1/2x+3，则直线l1与直线l2的夹角为______（4分）【答案】90°【解析】直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2，两直线垂直，夹角为90°

4.在空间中，若直线a与平面β垂直，直线b与平面β平行，则直线a与直线b的夹角为______（4分）【答案】90°【解析】直线a与平面β垂直，则直线a与平面β内所有直线都垂直，包括直线b，因此夹角为90°

5.已知直线l1的方程为x+2y=1，直线l2的方程为2x+y=3，则直线l1与直线l2的夹角为______（4分）【答案】arctan2/3【解析】直线l1的斜率为-1/2，直线l2的斜率为-2，两直线夹角的正切值为|-1/2--2|/1+-1/2×-2=2/3，夹角为arctan2/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两条平行线的夹角为0°（）（2分）【答案】（×）【解析】两条平行线的夹角为0°或180°，但通常说夹角为0°

2.若两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线垂直

3.在空间直角坐标系中，若两向量的点积为0，则这两向量垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】两向量的点积为0时，这两向量垂直

4.若两条直线分别平行于同一直线，则这两条直线平行（）（2分）【答案】（√）【解析】两条直线分别平行于同一直线时，这两条直线平行

5.若直线l1与平面β垂直，直线l2与平面β平行，则直线l1与直线l2垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】直线l1与平面β垂直，则直线l1与平面β内所有直线都垂直，包括直线l2，因此夹角为90°

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知直线l1的方程为y=2x+1，直线l2的方程为y=-1/2x+3，求直线l1与直线l2的夹角（5分）【答案】90°【解析】直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2，两直线垂直，夹角为90°

2.在空间直角坐标系中，点A1,2,3和点B2,1,4，求向量AB与z轴的夹角（5分）【答案】arccos1/3【解析】向量AB=1,-1,1，z轴方向向量为0,0,1，夹角cosθ=0×1+0×-1+1×1/√1^2+-1^2+1^2×1=1/3，θ=arccos1/

33.在空间中，若直线a与平面β垂直，直线b与平面β平行，求直线a与直线b的夹角（5分）【答案】90°【解析】直线a与平面β垂直，则直线a与平面β内所有直线都垂直，包括直线b，因此夹角为90°

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知直线l1的方程为2x+y=1，直线l2的方程为x-2y=3，求直线l1与直线l2的夹角（10分）【答案】arctan3/2【解析】直线l1的斜率为-2，直线l2的斜率为1/2，两直线夹角的正切值为|-2-1/2|/1+-2×1/2=3/2，夹角为arctan3/

22.在空间直角坐标系中，点A1,2,3和点B2,1,4，求向量AB与z轴的夹角（10分）【答案】arccos1/3【解析】向量AB=1,-1,1，z轴方向向量为0,0,1，夹角cosθ=0×1+0×-1+1×1/√1^2+-1^2+1^2×1=1/3，θ=arccos1/3

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知直线l1的方程为y=2x+1，直线l2的方程为y=-1/2x+3，求直线l1与直线l2的夹角，并证明两直线垂直（25分）【答案】90°【解析】直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2，两直线夹角的正切值为|-2-1/2|/1+-2×1/2=3/2，夹角为arctan3/2，即90°因此，两直线垂直。