绵阳二诊数学学科试题及答案

绵阳二诊数学学科试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.-8B.2C.8D.0【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，f-2=-8，f-1=3，f1=-1，f2=0，最大值为

82.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】a+b=4,-2，|a+b|=√4^2+-2^2=√20=2√5≈

53.不等式|2x-1|3的解集为（）（2分）A.-1,2B.-2,1C.-1,4D.-2,4【答案】A【解析】-32x-13，得-1x

24.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】配方得x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-

35.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_3=11，则a_5的值为（）（2分）A.17B.19C.21D.23【答案】C【解析】2d=a_3-a_1=6，d=3，a_5=a_3+2d=11+6=

216.函数y=sin2x的图像向左平移π/4个单位后，得到的函数是（）（2分）A.y=sin2x+π/4B.y=sin2x-π/4C.y=sinπ/4-2xD.y=-sin2x-π/4【答案】B【解析】y=sin[2x+π/4]=sin2x+π/2=cos2x，与y=sin2x-π/4相同

7.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】共有36种等可能结果，和为7的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种

8.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行，则a的值为（）（2分）A.-2B.1C.-2或1D.0【答案】A【解析】斜率k1=-a/2，k2=-1/a+1，平行即k1=k2，得-a/2=-1/a+1，解得a=-

29.设集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|0x4}，则A∩B=（）（2分）A.0,1B.1,2C.2,4D.1,4【答案】C【解析】A={x|x2或x1}，A∩B={x|2x4}

10.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1ab0的离心率为√2/2，则a与b的关系是（）（2分）A.a=√2bB.a=2bC.b=√2aD.b=2a【答案】A【解析】e=c/a=√a^2-b^2/a=√2/2，得a^2=2b^2，即a=√2b

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,π上单调递减的是（）（4分）A.y=cosxB.y=2x+1C.y=lnxD.y=e^-x【答案】A、C【解析】y=cosx00xπ/2，y=1/x00xπ，y=-e^-x00xπ

2.三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则三角形ABC可能是（）（4分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】A、C【解析】由勾股定理，若a^2+b^2=c^2，则为直角三角形；若a^2+b^2c^2，则为锐角三角形

3.函数y=fx在点x_0处可导，则下列结论正确的是（）（4分）A.fx在x_0处连续B.fx在x_0处可微C.fx在x_0处有切线D.fx在x_0处有极值【答案】A、B、C【解析】可导必连续、可微，可微必存在切线，但未必有极值

4.下列命题中，真命题是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若fx是偶函数，则fx是奇函数C.若数列{a_n}单调递增，则lima_n=+∞D.若x0，则lnxx【答案】B【解析】B正确，偶函数fx=f-x，f-x=-fx，即fx为奇函数；A反例a=2,b=-3；C反例a_n=1；D反例x=

15.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=-fx，则f2023的值为（）（4分）A.0B.2023C.-2023D.无法确定【答案】A【解析】fx+4=fx，周期为4，f2023=f3=f-1=-f1=0

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若tanα=2/3，α为锐角，则sin2α=______，cosα+β=______（α+β=π/4）（4分）【答案】12/13；5√2/13【解析】sin2α=2sinαcosα=2tanα/1+tan^2α=12/13，cosα+β=√2/2cosαcosβ-sinαsinβ=√2/2[1/tanα√2/2-2/3√2/2]=5√2/

132.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则fx在区间[-2,4]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】6；-10【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或2，f-2=-10，f0=2，f2=-2，f4=6，最大6，最小-

103.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则公比q=______，a_7=______（4分）【答案】2；64【解析】a_4=a_1q^3，q=2，a_7=a_4q^3=

644.已知直线l过点1,2，且与直线x-y+1=0垂直，则直线l的方程是______（4分）【答案】x+y-3=0【解析】垂直即斜率k=-1，方程x+y+c=0，过1,2，得c=1，即x+y-3=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则lnalnb（）（2分）【答案】（×）【解析】lnalnb要求a0且b0，若b≤0不成立

2.已知三点A1,2，B3,4，C5,6，则A、B、C三点共线（）（2分）【答案】（×）【解析】斜率k_AB=4-2/3-1=1，k_AC=6-2/5-1=1，k_BC=6-4/5-3=1，共线

3.函数y=|x|在定义域内处处可导（）（2分）【答案】（×）【解析】x=0处不可导，导数为-1和

14.若fx是定义在R上的偶函数，则fx^2也是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fx^2=f-x^2=fx^2，是偶函数

5.若数列{a_n}单调递增，且lima_n=L，则L一定是正数（）（2分）【答案】（×）【解析】L可以是0或任何实数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^4-4x^3+4x^2+1在区间[-1,3]上的最值（4分）【答案】最大值5，最小值0【解析】fx=4x^3-12x^2+8x=4xx-1x-2，令fx=0，得x=0,1,2，f-1=10，f0=1，f1=2，f2=5，f3=7，最大5，最小

02.求过点1,2且与直线2x-y+1=0平行的直线方程（4分）【答案】2x-y=0【解析】平行即斜率k=2，方程2x-y+c=0，过1,2，得c=0，即2x-y=

03.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的增区间和减区间（4分）【答案】增区间-∞,0∪2,+∞，减区间0,2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx0，得x0或x2；令fx0，得0x2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知fx=x^3-3x^2+2，证明fx在1,2上至少存在一个零点（10分）【证明】fx在R上连续，f1=-10，f2=0，由介值定理，存在c∈1,2，使fc=

02.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=-fx，求证fx是以4为周期的周期函数（10分）【证明】fx+4=f[x+2+2]=-fx+2=fx，周期为4

七、综合应用题（20分）已知A1,2，B3,4，C2,-1，求过点P0,1的直线l，使得|PA|+|PB|=|PC|（20分）【解】设直线l过点P0,1，令l方程为y=kx+1，A到l的距离d1=|k-1|/√1+k^2，B到l的距离d2=|3k-3|/√1+k^2，C到l的距离d3=|2k+2|/√1+k^2，由|PA|+|PB|=|PC|，得|k-1|+|3k-3|=|2k+2|，解得k=1或k=1/2，直线方程为y=x+1或y=1/2x+1---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.C

5.C

6.B

7.A

8.A

9.C

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、B、C

4.B

5.A

三、填空题

1.12/13；5√2/

132.6；-

103.2；

644.x+y-3=0

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值5，最小值

02.2x-y=

03.增区间-∞,0∪2,+∞，减区间0,2

六、分析题

1.见证明过程

2.见证明过程

七、综合应用题

1.见解题过程。