聚焦宁夏自主招生数学试题及答案

聚焦宁夏自主招生数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即|-2-1|=3，但实际最小值为

22.若复数z满足z^2=1，则z的取值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1得z=±

13.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的大小为（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.115°【答案】C【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

4.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】点数之和为7的组合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），共6种，概率为6/36=1/

65.直线y=kx+3与x轴相交于点（-3，0），则k的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】直线与x轴相交时，y=0，所以0=k-3+3，解得k=-

16.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2，-3B.-2，3C.2，3D.-2，-3【答案】C【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，将方程变形得x-2^2+y+3^2=16，圆心坐标为2，-

37.函数fx=sinx+π/2的图像与函数gx=cosx的图像（）（2分）A.完全重合B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于原点对称【答案】A【解析】sinx+π/2=cosx，所以两函数图像完全重合

8.若向量a=1，2，向量b=3，-4，则向量a与向量b的夹角是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】向量a·向量b=13+2-4=-5，|a|=√5，|b|=√5，cosθ=-5/√5√5=-1，θ=90°

9.某工厂生产的产品合格率为90%，随机抽取3件产品，至少有1件不合格的概率是（）（2分）A.

0.27B.

0.73C.

0.07D.

0.9【答案】B【解析】至少1件不合格的概率=1-3件都合格的概率=1-

0.9^3=

0.

2710.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则a_10的值为（）（2分）A.14B.16C.18D.20【答案】C【解析】等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，d=a_5-a_1/5-1=8/4=2，a_10=2+10-12=18

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=sinx【答案】A、B【解析】y=x^2在（0，+∞）上单调递增，y=2^x在（0，+∞）上单调递增，y=1/x在（0，+∞）上单调递减，y=sinx非单调

2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的是（）（4分）A.边a=3，边b=4，角C=60°B.边a=5，边c=7，边b=8C.边a=6，边b=8，角A=45°D.边a=2，边b=3，角C=90°【答案】A、B、D【解析】根据边角边、边边边、直角三角形条件可确定三角形

3.下列命题中，真命题是（）（4分）A.若x^2=1，则x=1B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若|a|=|b|，则a=b【答案】A、D【解析】A中x=-1也满足，B中a=-2，b=1时不成立，C中α=π-β时成立，D中a=-b也成立

4.函数fx=e^x的图像具有的性质是（）（4分）A.图像过原点B.函数单调递增C.函数有反函数D.函数有最大值【答案】A、B、C【解析】e^x过原点，单调递增，有反函数lnx，无最大值

5.在空间几何中，下列说法正确的是（）（4分）A.过一点有且只有一个平面垂直于已知直线B.两条异面直线所成角的范围是（0°，90°）C.直线与平面所成角的范围是（0°，90°）D.三个平面可以把空间分成四部分【答案】A、C【解析】B中范围是（0°，90°]，D中最多分八部分

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=1+i，则|z|^2=______（4分）【答案】2【解析】|z|^2=1^2+1^2=

22.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q=______（4分）【答案】3【解析】a_4=a_2q^2，q^2=54/6=9，q=

33.函数fx=log_2x-1的定义域是______（4分）【答案】1，+∞【解析】x-10，x

14.已知向量a=3，-1，向量b=1，k，若a∥b，则k=______（4分）【答案】-1/3【解析】3k=-1，k=-1/

35.在直角坐标系中，点A1，2关于直线x-y+1=0的对称点B的坐标是______（4分）【答案】1，0【解析】设Bx，y，则中点坐标满足方程组x+1/2=1，y+2/2=1，解得x=1，y=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则fx=ax^2+bx+c的最小值比gx=bx^2+cx+a的最小值大（）（2分）【答案】（×）【解析】两函数最小值与a，b大小无关，取决于二次项系数符号

2.在△ABC中，若角A=角B，则边a=边b（）（2分）【答案】（√）【解析】等角对等边

3.函数fx=tanx是周期函数，周期为π（）（2分）【答案】（√）【解析】tanx+π=tanx，周期为π

4.若直线l1与直线l2平行，则l1与l2无公共点（）（2分）【答案】（×）【解析】l1与l2可能在同一平面上重合

5.在等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q（）（2分）【答案】（√）【解析】a_m+a_n=a_1+m-1d+a_1+n-1d=2a_1+m+n-2d，a_p+a_q同理

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|在[-3，3]上的最大值和最小值（5分）【解析】分段函数fx=-2x-1（x∈[-3，-2]），3（x∈[-2，1]），2x+1（x∈[1，3]），最小值为3，最大值为

72.已知向量a=2，3，向量b=x，1，且|a+b|=√26，求x的值（5分）【解析】a+b=2+x，4，|a+b|=√2+x^2+4^2=√26，解得x=2或x=-

63.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度（5分）【解析】边b=√3√2/2√3=3/2，边c=√32/√2√3=3√2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间（10分）【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-3，令fx=0得x=1±√3，当x∈-∞，1-√3和1+√3，+∞时fx0，单调递增；当x∈1-√3，1+√3时fx0，单调递减

2.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，求通项公式a_n（10分）【解析】S_10=10a_1+45d=100，S_20=20a_1+190d=380，解得a_1=2，d=2，a_n=2+n-12=2n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，直线l的方程为x-y+5=0，求圆C上的点到直线l的最小距离（25分）【解析】圆心C2，-3，半径r=√2^2+-3^2+3=√16=4，圆心到直线距离d=|2--3+5|/√2=10√2/2=5√2，最小距离为4-5√

22.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求△ABC的面积（25分）【解析】边b=3/2，边c=3√2，面积S=1/2√33/2√2sin60°=3√3/4。