解锁海南高中竞赛试题及完整答案

解锁海南高中竞赛试题及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.1或3【答案】D【解析】解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，即A={1,2}若B⊆A，则方程x^2-ax+1=0的解只能是1或2，带入验证得a=1或

32.函数fx=log_ax+1在区间-1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.0,1【答案】B【解析】对数函数fx=log_ax+1在定义域内单调递增，需底数a

13.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为（）（2分）A.1+iB.2√3+iC.2-iD.√3+i【答案】B【解析】|z|=2，argz=π/3，z=2cosπ/3+isinπ/3=21/2+√3/2i=√3+i

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理a^2+b^2-c^2=2abcosC，代入已知条件得cosC=1/2，则C=60°

5.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+i2（2分）A.55B.56C.65D.70【答案】D【解析】依次计算s=0+1^2=1，1+2^2=5，5+3^2=14，14+4^2=30，30+5^2=

556.某校有男生500人，女生300人，现要随机抽取50人参加活动，则抽到男生和女生人数比值为1:2的概率为（）（2分）A.1/3B.1/5C.3/5D.2/5【答案】A【解析】抽到25名男生和25名女生的概率为C500,25×C300,25/C800,50，比值近似为1/

37.若函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3计算f-1=4，f1-√3/3=4-2√3，f1+√3/3=4+2√3，f3=0，最大值与最小值之差为4+2√3-4-2√3=4√3≈

78.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_9=18，则S_13的值为（）（2分）A.108B.126C.144D.162【答案】B【解析】由a_5+a_9=2a_7=18得a_7=9，S_13=13×a_1+a_13/2=13×a_7=

1179.执行以下算法后输出的结果为（）（2分）deffuncx:ifx1:returnfuncx-1+2else:return1printfunc5（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】func5=func4+2=func3+4=func2+6=func1+8=1+8=

910.在空间直角坐标系中，点A1,2,3关于平面x-y=0的对称点的坐标为（）（2分）A.1,-2,3B.-1,2,3C.1,2,-3D.-1,-2,3【答案】A【解析】平面x-y=0即平面z=0，对称点与原点关于z轴对称，x不变，y取相反数，z不变

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.函数y=1/x在定义域内单调递减D.若x^2=x，则x=1E.等比数列的任意两项之比等于公比【答案】A、E【解析】A正确，空集是任何集合的子集B错误，如a=2b=-3，但a^2=4b^2=9C错误，y=1/x在0,+∞和-∞,0上分别递减D错误，x=0也满足x^2=xE正确，等比数列定义性质

2.关于函数fx=|x-a|+|x-b|（ab），下列说法正确的有（）（4分）A.函数的最小值为b-aB.函数的图像关于直线x=a+b/2对称C.函数在a,b上单调递减D.fx≥a+bE.函数的值域为[0,+∞【答案】A、B、D【解析】A正确，|x-a|+|x-b|≥|a-b|=b-aB正确，图像关于x=a+b/2对称C错误，在a,b上单调递增D正确，|x-a|+|x-b|≥|a-b|=b-a≥a+bE错误，最小值为b-a

03.下列数列中，一定是等差数列的有（）（4分）A.{a_n}满足a_n=a_n-1+d（n≥2）B.{a_n}的前n项和S_n=na_nC.{a_n}满足a_n=a_1q^n-1D.{a_n}的前n项和S_n=n^2E.{a_n}满足a_n-a_n-1=d（n≥2）【答案】A、E【解析】A是等差数列定义B若a_1≠0，则a_n=n-1，不是等差数列C是等比数列D若a_1=0，则a_n=2n-1，不是等差数列E是等差数列定义

4.关于抛物线y^2=2px（p0），下列说法正确的有（）（4分）A.焦点坐标为p/2,0B.准线方程为x=-p/2C.抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离D.抛物线开口向右E.抛物线的对称轴为y轴【答案】A、C、D【解析】A正确，焦点在x轴正半轴且坐标为p/2,0B错误，准线方程为x=-p/2C正确，抛物线定义性质D正确，p0时抛物线开口向右E错误，对称轴为x轴

5.执行以下算法后输出的结果为偶数的有（）（4分）deffuncn:ifn==0:return0elifn==1:return1else:returnfuncn-1+funcn-2printfunc6printfunc7（4分）A.第一个输出B.第二个输出C.两个都输出D.都不输出【答案】A、C【解析】func6=8是偶数，func7=13是奇数，故第一个输出为偶数

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知向量a=3,-1，b=1,2，则向量2a-3b的坐标为______（4分）【答案】3,-7【解析】2a-3b=23,-1-31,2=6,-2-3,6=3,-

82.函数fx=sin2x+√3cos2x的最小正周期为______（4分）【答案】π【解析】fx=2sin2x+π/3，周期T=2π/|ω|=π

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√6，则边b的长度为______（4分）【答案】3【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a×sinB/sinA=√6×√2/2÷√3=

34.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现要从中随机抽取4人，则抽到2名男生和2名女生的概率为______（4分）【答案】15/98【解析】C30,2×C20,2/C50,4=15/

985.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）s=0foriinrange1,11:s=s+i%2（4分）【答案】10【解析】s=1+3+5+7+9=

256.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_5=32，则公比q的值为______（4分）【答案】2【解析】q^5-3=a_5/a_3=32/8，得q=

27.若复数z满足z^2+z+1=0，则|z+1|的值为______（4分）【答案】√3【解析】z是单位根，z=-1/2+√3/2i，|z+1|=|√3/2i|=√

38.在直角坐标系中，曲线x^2/9+y^2/4=1的焦点坐标为______（4分）【答案】±√5,0【解析】a=3，b=2，c=√9-4=√5，焦点在x轴上为±√5,0

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数

2.若|z|=1，则z的平方一定是正实数（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±i时，z^2=-

13.三角形的三条高线交于一点，该点称为垂心（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形垂心性质

4.若ab，则log_axlog_bx对任意x0成立（）（2分）【答案】（×）【解析】需ab0且x

15.执行以下程序段后，变量count的值为5（）（2分）count=0i=0whilei5:count=count+1i=i+1（2分）【答案】（√）【解析】循环5次，count从1递增到

56.若向量a=1,2，b=3,4，则a×b=5（）（2分）【答案】（×）【解析】向量积a×b=1×4-2×3=-

27.等差数列的前n项和S_n与2n项和S_2n之比为n^2/n+1（）（2分）【答案】（√）【解析】S_n=na_1+a_n/2，S_2n=2na_1+a_2n/2=na_1+a_2n，比值=n^2/n+

18.若复数z满足|z|=2且argz=π/4，则z的代数形式为√2+i（）（2分）【答案】（√）【解析】z=2cosπ/4+isinπ/4=√2+i

9.执行以下程序段后，变量sum的值为15（）（2分）sum=0foriinrange1,6:sum=sum+ii+1（2分）【答案】（×）【解析】sum=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=

7010.若函数fx=x^3-ax^2+bx+c在x=1时取得极值，则a+b+c=1（）（2分）【答案】（√）【解析】f1=3-2a+b=0，f1=6-2a=0，得a=3，b=-3，c=1，a+b+c=1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为7，最小值为2【解析】fx=2x-2，令fx=0得x=1计算f-1=6，f1=2，f3=6，最大值为7，最小值为

22.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/3，求z的代数形式（5分）【答案】1/2+√3/2i【解析】设z=x+yi，由|z-1|=1得x-1^2+y^2=1，由argz=π/3得y/x=√3，解得x=1/2，y=√3/2，z=1/2+√3/2i

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√6，求边b和边c的长度（5分）【答案】b=3，c=√6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得b=a×sinB/sinA=√6×√2/2÷√3=3，c=a×sinC/sinA=a×sin75°/√3=√6

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x^2-4x+3|，求函数的值域和单调区间（12分）【答案】值域[0,3]，单调递减区间-∞,1，单调递增区间1,3和3,+∞【解析】fx=|x-1||x-3|，图像为V型，顶点2,0，在-∞,1和3,+∞上递增，在1,3上递减，值域为[0,3]

2.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_9=18，S_13=117，求通项公式a_n（12分）【答案】a_n=9+n-1×0=9【解析】由a_5+a_9=2a_7=18得a_7=9，S_13=13×a_7=117，验证无误，公差d=0，a_n=a_7=9

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为20元，售价为30元，若销售量x件时，利润函数为Lx（25分）

（1）求利润函数Lx的解析式；（12分）

（2）求销售量x=100件时的利润；（6分）

（3）求至少销售多少件才能保本？（7分）【答案】

（1）Lx=10x-10000

（2）L100=0

（3）x≥1000【解析】

（1）Lx=30x-20x-10000=10x-10000

（2）L100=10×100-10000=0

（3）令Lx=0得10x-10000=0，x=

10002.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的极值点、极值以及单调区间（25分）【答案】极值点x=1，极大值f1=0，单调递增区间-∞,0和2,+∞，单调递减区间0,2【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3计算f1-√3/3=4-2√3，f1+√3/3=4+2√3在0,2上递减，在-∞,0和2,+∞上递增---标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.C

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、E

2.A、B、D

3.A、E

4.A、C、D

5.A、C

三、填空题

1.3,-

72.π

3.

34.15/

985.

256.

27.√

38.±√5,0

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

6.（×）

7.（√）

8.（√）

9.（×）

10.（√）

五、简答题

1.最大值为7，最小值为

22.1/2+√3/2i

3.b=3，c=√6

六、分析题

1.值域[0,3]，单调递减区间-∞,1，单调递增区间1,3和3,+∞

2.a_n=9

七、综合应用题

1.

（1）Lx=10x-10000

（2）0

（3）

10002.极值点x=1，极大值0，单调递增区间-∞,0和2,+∞，单调递减区间0,2。