青海专升本数学历年试题与答案

青海专升本数学历年试题与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={1,2,3}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{3}【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，A∩B={1,2}

2.函数fx=√x+1的定义域是（）（2分）A.-∞，-1]B.[-1，+∞C.-1，+∞D.-∞，+∞【答案】B【解析】要使√x+1有意义，需x+1≥0，即x≥-

13.下列函数中，在区间0，+∞上单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=√x【答案】C【解析】二次函数y=x^2开口向上，在0，+∞上单调递增

4.若向量a=1，2，b=3，-1，则向量a+b等于（）（2分）A.4，1B.2，3C.3，1D.1，4【答案】A【解析】向量加法对应分量相加1+3，2+-1=4，

15.过点1，2且与直线y=3x-1平行的直线方程是（）（2分）A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=-1/3x+1D.y=-1/3x+3【答案】D【解析】平行直线斜率相同，斜率为3，过点1，2y-2=3x-1，即y=3x-

16.函数y=2^x的反函数是（）（2分）A.y=2^xB.y=-log2xC.y=log2xD.y=log-x【答案】C【解析】反函数交换x,y x=2^y，即y=log2x

7.若sinα=1/2，α在第二象限，则cosα等于（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】sin^2α+cos^2α=1，1/4+cos^2α=1，cos^2α=3/4，第二象限cos为负，cosα=-√3/

28.不定积分∫x^2+1dx等于（）（2分）A.x^3/3+x+CB.x^2/2+x+CC.x^3/3+CD.x^2/2+C【答案】B【解析】∫x^2dx=x^3/3，∫1dx=x，∫x^2+1dx=x^3/3+x+C

9.极值点处导数为0是函数取得极值的（）（2分）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A【解析】极值点处导数为0是取得极值的必要非充分条件（如拐点处导数为0）

10.若A是4阶方阵，|A|=2，则|3A|等于（）（2分）A.3B.6C.8D.24【答案】D【解析】|kA|=k^n|A|，|3A|=3^4|A|=81×2=24

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下不等式正确的是？（）（4分）A.|x-1|2B.x^2-40C.√x≤xD.1-x^20【答案】A、B、C【解析】|x-1|2⇒x3或x-1；x^2-40⇒x2或x-2；√x≤x⇒x≥0；1-x^20⇒-1x

12.以下函数在其定义域内连续的是？（）（4分）A.y=1/xB.y=√xC.y=1/x^2-1D.y=|x|【答案】B、D【解析】y=1/x在x≠0处连续；y=1/x^2-1在x≠±1处连续；y=|x|处处连续

3.以下向量组线性无关的是？（）（4分）A.1，0，0B.0，1，0C.0，0，1D.1，1，1【答案】A、B、C【解析】单位向量组线性无关；D组向量线性相关（三个分量相同）

4.以下命题正确的是？（）（4分）A.偶函数的图像关于y轴对称B.奇函数的图像关于原点对称C.单调递增函数的导数恒为正D.周期函数一定有最小正周期【答案】A、B【解析】C错（如y=x^3在-∞，0递减）；D错（如y=cos2x周期π但无最小正周期）

5.以下积分等于0的是？（）（4分）A.∫[0，π]sinxdxB.∫[a，a]fxdxC.∫[0，1]cosxdxD.∫[0，2π]cosxdx【答案】A、B、D【解析】A:∫[0，π]sinxdx=-cosx|_0^π=2；B:∫[a，a]fxdx=0；C:∫[0，1]cosxdx=sinx|_0^1=√2-0≠0；D:∫[0，2π]cosxdx=sinx|_0^{2π}=0

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若fx=x^2-2x+3，则f1+∆x-f1等于______（4分）【答案】2∆x+∆x^2【解析】f1+∆x=（1+∆x）^2-21+∆x+3=∆x^2+2∆x；f1=1-2+3=2；f1+∆x-f1=∆x^2+2∆x

2.若复数z=1+i，则|z|等于______（4分）【答案】√2【解析】|z|=√1^2+1^2=√

23.曲线y=x^3在点1，1处的切线方程是______（4分）【答案】3x-y-2=0【解析】y=3x^2，y|_{x=1}=3；切线方程y-1=3x-1，即3x-y-2=

04.矩阵A=12；34的转置矩阵A^T是______（4分）【答案】13；24【解析】转置即行列互换A^T=a_{ij}^T=a_{ji}

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则f-x=-fx（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数定义f-x=-fx

2.若A是可逆矩阵，则|A|≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的行列式必不为

03.若函数在区间上单调递增，则其导数恒为正（）（2分）【答案】（×）【解析】如y=x^3在-∞，0递减但y=3x^2≥

04.若∫[a，b]fxdx=0，则fx在[a，b]上恒为0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx可能在[a，b]部分区间为正部分为负

5.若向量a与b垂直，则|a+b|=|a|+|b|（）（2分）【答案】（×）【解析】|a+b|^2=|a|^2+|b|^2-2a·b=|a|^2+|b|^2，故|a+b|=√|a|^2+|b|^2≠|a|+|b|

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求极限limx→0sinx/x（5分）【答案】1【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

12.求函数y=2x^2-4x+5的单调区间（5分）【答案】减区间-∞，1，增区间1，+∞【解析】y=4x-4，令y=0得x=1；y＞0时增，y＜0时减

3.求矩阵A=12；34的逆矩阵A^-1（5分）【答案】A^-1=-1/2-1；3/2-1【解析】|A|=1×4-2×3=-2≠0；A^-1=1/|A|adjA=-1/2-4-6；-2-4=-1/2-10；-6=-1/2-1；3/2-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明不等式当x0时，xlnx（10分）【证明】令fx=x-lnx，fx=1-1/x=0⇒x=1；fx＞0x1，fx＜00x1；fx在x=1处取极小值f1=1-0=1；∴fx≥1，即x≥lnx，当x0时xlnx

2.已知向量a=1，1，1，b=1，0，-1，求向量a与b的夹角θ（10分）【解】cosθ=a·b/|a||b|=1×1+1×0+1×-1/√3√2=0/√6=0；θ=π/2，即向量a与b垂直

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求其单调区间、极值点及对应极值（25分）【解】

①求导fx=3x^2-6x+2；

②求驻点3x^2-6x+2=0⇒x=1±√3/3；

③判断符号x∈-∞，1-√3/3时fx＞0，x∈1-√3/3，1+√3/3时fx＜0，x∈1+√3/3，+∞时fx＞0；

④单调区间减区间-∞，1-√3/3，增区间1-√3/3，1+√3/3，增区间1+√3/3，+∞；

⑤极值点及值x=1-√3/3处取极大值f1-√3/3=1-31-√3/3^2+21-√3/3+1=8-6√3/3；x=1+√3/3处取极小值f1+√3/3=1-31+√3/3^2+21+√3/3+1=8+6√3/

32.解线性方程组⎧x+y+z=6⎨2x-y+3z=9⎩3x-2y+5z=15（25分）【解】

①用加减消元法1×2-2⇒-3y+z=3⇒z=3+3y；1×3-3⇒y-2z=-3⇒y=2z-3；代入z=3+3y y=23+3y-3⇒y=-3；z=3+3-3=-6；x=6-y-z=6--3--6=15；

②解为x，y，z=15，-3，-6

③验证15-3-6=6，2×15--3+3×-6=9，3×15-2×-3+5×-6=15，解正确---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.A

5.D

6.C

7.B

8.B

9.A

10.D

二、多选题

1.A、B、C

2.B、D

3.A、B、C

4.A、B

5.A、B、D

三、填空题

1.2∆x+∆x^

22.√

23.3x-y-2=

04.13；24

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.×

5.×

五、简答题

1.1；利用基本极限limx→0sinx/x=

12.减区间-∞，1，增区间1，+∞；y=4x-4，令y=0得x=1；y＞0时增，y＜0时减

3.A^-1=-1/2-1；3/2-1；|A|=-2≠0；A^-1=1/|A|adjA=-1/2-4-6；-2-4=-1/2-1；3/2-1

六、分析题

1.令fx=x-lnx，fx=1-1/x=0⇒x=1；fx＞0x1，fx＜00x1；fx在x=1处取极小值f1=1-0=1；∴fx≥1，即x≥lnx，当x0时xlnx

2.向量a=1，1，1，b=1，0，-1，a·b=1×1+1×0+1×-1=0，|a|=√3，|b|=√2；cosθ=a·b/|a||b|=0/√6=0；θ=π/2，即向量a与b垂直

七、综合应用题

1.fx=x^3-3x^2+2x+1；fx=3x^2-6x+2；驻点x=1±√3/3；减区间-∞，1-√3/3，增区间1-√3/3，1+√3/3，增区间1+√3/3，+∞；极大值f1-√3/3=8-6√3/3；极小值f1+√3/3=8+6√3/

32.⎧x+y+z=6⎨2x-y+3z=9⎩3x-2y+5z=15；用加减消元法得y=-3，z=-6，x=15；解为15，-3，-6---（全文完）。