高一奥赛试题与精准答案

高一奥赛经典试题与精准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】A={1,2}，若B⊆A，则B的可能情况为空集∅，{1}，{2}，{1,2}对应a的取值分别为1，2，1，2，即a的取值集合为{1,2}

2.函数y=2^x+1的反函数是（）（2分）A.y=2^x-1B.y=2^1-xC.y=1-2^xD.y=1+log2x【答案】D【解析】设y=2^x+1，则x=log2y-1，反函数为y=1+log2x

3.若复数z满足|z|=1，则|z²+1|的取值范围是（）（2分）A.[0,2]B.[1,2]C.[0,√2]D.[1,√2]【答案】B【解析】设z=cosθ+isinθ，则z²+1=cos2θ+isin2θ+1=cos2θ+1+isin2θ，|z²+1|=√cos2θ+1²+sin²2θ=√2+2cos2θ=2|cosθ|∈[1,2]

4.已知函数fx=ax³+bx²+cx+d，若f1=1，f-1=-1，f0=1，f2=7，则b+c的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】由f1=1，f-1=-1得a+b+c+d=1，-a+b-c+d=-1，由f0=1得d=1，由f2=7得8a+4b+2c+d=7，联立解得a=1，b=1，c=2，d=1，则b+c=

35.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由a²=b²+c²-bc得cosA=b²+c²-a²/2bc=1/2，则A=60°

6.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+i2A.55B.56C.65D.70【答案】D【解析】s=1+4+9+16+25=

557.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_4=12，则a_3的值为（）（2分）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】由a_1+a_5=2a_3=10得a_3=5，由a_2+a_4=2a_3=12得a_3=6，矛盾，应选B

8.执行以下算法语句后，输出的结果是（）（2分）i=1sum=0whilei=10:sum=sum+ii=i+2A.55B.60C.65D.70【答案】B【解析】sum=1+3+5+7+9=

259.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=-fx，则f2019的值为（）（2分）A.1B.-1C.2019D.-2019【答案】B【解析】fx+2=-fx得fx+4=fx，周期为4，f2019=f3=-f1=-

110.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，则二面角B-PC-D的平面角的余弦值为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3【答案】A【解析】取PC中点E，连BE，DE，则∠BED为所求平面角，BE=√1^2+1^2/2=√2/2，DE=√1^2+1^2/2=√2/2，BD=√2，由余弦定理cos∠BED=BE²+DE²-BD²/2BE·DE=1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若fx是偶函数，则fx²也是偶函数D.若数列{a_n}单调递增，则其通项a_n≥a_1【答案】A、C、D【解析】A显然正确；B反例a=1b=-1，但a²=1b²=1；C因为fx²=f-x²，是偶函数；D因为单调递增，a_n-a_1≥0，则a_n≥a_

12.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）（4分）A.y=-2x+1B.y=1/xC.y=x²D.y=lnx【答案】A、B【解析】A导数y=-20，递减；B导数y=-1/x²0，递减；C导数y=2x0，递增；D导数y=1/x0，递增

3.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的取值及极值的类型为（）（4分）A.a=3B.极大值C.a=3D.极小值【答案】A、C、D【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0得a=3，fx=6x，f1=60，所以x=1处取得极小值

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=c²，则下列结论中正确的有（）（4分）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形【答案】A【解析】由勾股定理，a²+b²=c²当且仅当△ABC是直角三角形

5.已知向量a=1,2，b=3,-4，则下列说法中正确的有（）（4分）A.|a+b|=√10B.a·b=-5C.2a-3b=-7,-14D.a与b的夹角为钝角【答案】A、B、D【解析】a+b=4,-2，|a+b|=√4²+-2²=√20=2√5；a·b=1×3+2×-4=-5；2a-3b=21,2-33,-4=-7,-14；a·b0，a与b的夹角为钝角

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=log_ax+3-1a0,a≠1，若fx的图像过点1,0，则a=______（4分）【答案】2【解析】f1=log_a1+3-1=0得log_a4=1，a=

42.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB=______（4分）【答案】3/4【解析】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=4+9-7/2×2×3=3/

43.若复数z=1+i，则z³的实部为______（4分）【答案】-3【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=1+2i，实部为

14.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_7=______（4分）【答案】64【解析】a_4=a_1q³，16=q³，q=2，a_7=a_1q⁶=1×2⁶=64

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x0，则e^x1+lnx（）（2分）【答案】（√）【解析】令fx=e^x-lnx-1，fx=e^x-1/x，当x0时，e^x1/x，fx0，fx单调递增，f0=-1，fxf0，即e^x1+lnx

2.若数列{a_n}是递增数列，则数列{-1ⁿ·a_n}也是递增数列（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a_n=n，则{-1ⁿ·n}={-1,2,-3,4,...}，不是递增数列

3.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f⁻¹x也在区间I上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=x²在-∞,0上单调递减，但反函数f⁻¹x=-√x在0,+∞上单调递减

4.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的任何直线都平行（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l可能与平面α内的直线相交、平行或异面

5.若函数fx是定义在R上的奇函数，且fx在0,+∞上单调递增，则fx在-∞,0上也单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】设x1,x2∈-∞,0，且x1x2，则-x1-x20，由fx在0,+∞上单调递增得f-x1f-x2，即fx1fx2，所以fx在-∞,0上单调递增

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求函数的单调区间（4分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2当x∈-∞,0时，fx0，递增；当x∈0,2时，fx0，递减；当x∈2,+∞时，fx0，递增单调增区间为-∞,0,2,+∞，单调减区间为0,

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，求△ABC的面积（4分）【答案】cosB=a²+c²-b²/2ac=9+4-7/2×3×2=3/4，sinB=√1-cos²B=√1-9/16=√7/4S=1/2ac·sinB=1/2×3×2×√7/4=3√7/

43.已知函数fx=2cos²x+sinx-1，求函数的最小正周期及最小值（4分）【答案】fx=1+cos2x+sinx-1=cos2x+sinx，T=2π/|ω|=2π/1=2π令t=sinx，则y=cos2x+sinx=-2t²+t，t∈[-1,1]对称轴t=-1/4，当t=-1/4时，y=-2-1/4²-1/4=-9/8，当t=-1时，y=-2-1²-1=-3，最小值为-3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，S_n=na_n+1（n≥1）

（1）求证数列{a_n}是等比数列（10分）【答案】S_n=na_n+1，S_{n-1}=n-1a_{n-1}+1，a_n=S_n-S_{n-1}=na_n+1-n-1a_{n-1}+1，na_n+1-n-1a_{n-1}+1=na_n+n-n-1a_{n-1}-n-1=na_n+n-n-1a_{n-1}-n-1，na_n-n-1a_{n-1}=1，a_n/a_{n-1}=1/n-1，a_n/a_{n-1}=n/n-1，a_n/a_{n-1}=2，数列{a_n}是等比数列，公比为2

（2）求数列{a_n}的通项公式（10分）【答案】a_1=1，公比q=2，a_n=a_1q^{n-1}=1×2^{n-1}=2^{n-1}

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，E是PC的中点

（1）求证平面ABE⊥平面PAC（10分）【答案】取AC中点F，连EF，DF，则EF平行且等于PC的一半，DF⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥CD，因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC，AB⊥CD，BC⊥CD，所以DF⊥平面ABC，EF⊥平面ABC，平面ABE包含EF⊥平面ABC，所以平面ABE⊥平面ABC，又平面ABE⊥平面PAC，所以平面ABE⊥平面PAC

（2）求二面角B-PC-D的平面角的余弦值（10分）【答案】取PC中点E，连BE，DE，则∠BED为所求平面角，BE=√1^2+1^2/2=√2/2，DE=√1^2+1^2/2=√2/2，BD=√2，cos∠BED=BE²+DE²-BD²/2BE·DE=1/2+1/2-2/2×√2/2×√2/2=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-a|+|x-1|（a∈R）

（1）当a=2时，求函数fx在[-1,3]上的最小值及取得最小值时的x值（25分）【答案】当a=2时，fx=|x-2|+|x-1|，分段函数x∈[-1,1]时，fx=2-x+x-1=1；x∈[1,2]时，fx=2-x+x-1=1；x∈[2,3]时，fx=x-2+x-1=2x-3，在[-1,1]和[1,2]上fx=1，在[2,3]上fx单调递增，最小值为1所以最小值为1，取得最小值时的x值在[-1,2]上

（2）若函数fx在R上恒成立fx≥|a-1|，求a的取值范围（25分）【答案】fx=|x-a|+|x-1|≥|a-1|，即|x-a|+|x-1|≥|a-1|，由绝对值三角不等式得|a-1|≤|x-a|+|x-1|，当x=1时，|a-1|≤|1-a|+|1-1|=|a-1|，恒成立，所以a的取值范围是R

2.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AC=√2，AA₁=1，D是BC的中点

（1）求证AD⊥平面BCC₁B₁（10分）【答案】底面ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，因为AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥BC，AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，因为BC⊥AB，BC⊥AC，所以BC⊥平面ABC，所以AD⊥BC，AD⊥平面BCC₁B₁

（2）求二面角A-BC-C₁的平面角的余弦值（15分）【答案】取BC中点E，连AE，CE，则∠AEC为所求平面角，AE=√1^2+1^2=√2，CE=√2/2，AC=√2，cos∠AEC=AE²+CE²-AC²/2AE·CE=2+1/2-2/2×√2×√2/2=1/4

（3）求点A₁到平面ABC的距离（10分）【答案】平面ABC的法向量n=1,0,0，A₁0,0,1，A1,0,0，A₁到平面ABC的距离d=|n·A₁-0|/|n|=1×0+0×0+0×1/1=0---标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.B

4.C

5.C

6.D

7.B

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B

3.A、C、D

4.A

5.A、B、D

三、填空题

1.

22.3/

43.-

34.64

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.×

5.√

五、简答题

1.单调增区间-∞,0,2,+∞，单调减区间0,

22.S=3√7/

43.T=2π，最小值-3

六、分析题

1.

（1）证明见解析

（2）a_n=2^{n-1}

2.

（1）证明见解析

（2）cos∠BED=1/2

七、综合应用题

1.

（1）最小值1，x∈[-1,2]

（2）a∈R

2.

（1）证明见解析

（2）cos∠AEC=1/4

（3）距离0。