高中京师数学建模典型试题及参考答案

高中京师数学建模典型试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在数学建模中，下列哪种方法不属于定量分析方法？（）A.统计分析B.优化算法C.概率论D.定性决策【答案】D【解析】定性决策属于定性分析方法，其他选项均为定量分析方法

2.某城市交通流量模型中，通常用哪个变量表示车辆通过某个路口的时间？（）A.速度B.流量C.延误D.密度【答案】C【解析】延误是车辆通过路口时受到的阻碍，直接影响通行时间

3.在传染病传播模型中，SIR模型中的S代表什么状态？（）A.易感人群B.感染人群C.康复人群D.移除人群【答案】A【解析】SIR模型中S代表易感人群

4.以下哪个不是常用的数学建模软件？（）A.MATLABB.SPSSC.LingoD.Maple【答案】B【解析】SPSS主要用于统计分析，其他选项均为数学建模常用软件

5.在运筹学中，线性规划问题的目标函数通常表示为？（）A.最大值或最小值B.约束条件C.决策变量D.目标函数【答案】A【解析】线性规划问题的目标函数是要求最大化或最小化的目标

6.在马尔可夫链模型中，转移概率矩阵中的元素表示什么？（）A.状态持续时间B.状态转移频率C.状态转移概率D.状态期望值【答案】C【解析】转移概率矩阵的元素表示从一种状态转移到另一种状态的概率

7.在排队论中，M/M/1模型中的M代表什么？（）A.泊松到达B.指数服务时间C.单服务台D.多服务台【答案】A【解析】M/M/1模型中，第一个M代表泊松到达

8.在决策分析中，期望值通常用于评估哪种情况？（）A.风险B.不确定性C.概率D.收益【答案】D【解析】期望值用于评估不同决策方案的预期收益

9.在几何规划中，目标函数和约束条件通常是什么形式？（）A.线性B.非线性C.指数D.对数【答案】B【解析】几何规划的目标函数和约束条件通常为乘积形式，属于非线性规划

10.在模拟仿真中，蒙特卡洛方法主要用于解决哪种问题？（）A.确定性问题B.随机性问题C.线性问题D.非线性问题【答案】B【解析】蒙特卡洛方法通过随机抽样解决随机性问题

二、多选题（每题4分，共20分）

1.数学建模的基本步骤包括哪些？（）A.问题分析B.模型假设C.模型建立D.模型求解E.模型验证【答案】A、B、C、D、E【解析】数学建模的基本步骤包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证

2.在概率统计中，常用的分布有哪些？（）A.正态分布B.泊松分布C.指数分布D.二项分布E.均匀分布【答案】A、B、C、D、E【解析】这些都是常用的概率分布

3.在优化问题中，以下哪些属于目标函数的常见形式？（）A.线性函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数E.多项式函数【答案】A、B、C、D、E【解析】这些函数都可以作为优化问题的目标函数

4.在排队论中，M/M/c模型中的c代表什么？（）A.到达率B.服务率C.服务台数量D.队列长度E.等待时间【答案】C【解析】M/M/c模型中c代表服务台数量

5.在决策树分析中，以下哪些是常用的决策方法？（）A.期望值法B.决策表C.决策矩阵D.后悔值法E.敏感性分析【答案】A、D【解析】期望值法和后悔值法是常用的决策方法

三、填空题（每题4分，共32分）

1.数学建模的核心思想是将实际问题转化为______问题【答案】数学（4分）

2.在马尔可夫链模型中，状态之间的转移是______的【答案】无后效（4分）

3.排队论中的Little公式表示______与______的比值等于平均到达率【答案】平均队长；平均等待时间（4分）

4.在模拟仿真中，蒙特卡洛方法的核心是______【答案】随机抽样（4分）

5.线性规划问题的约束条件通常是______不等式【答案】线性（4分）

6.几何规划的目标函数通常是______形式【答案】乘积（4分）

7.在传染病传播模型中，SIR模型中的I代表什么状态？【答案】感染人群（4分）

8.决策分析中，期望值是______的加权平均值【答案】不同结果的收益（4分）

四、判断题（每题2分，共20分）

1.数学建模只适用于自然科学领域（）【答案】（×）【解析】数学建模广泛应用于社会科学、经济管理等领域

2.线性规划问题的解一定是唯一的（）【答案】（×）【解析】线性规划问题的解可能是唯一的，也可能是多个或无解

3.排队论中的M/M/1模型表示单服务台、指数到达和指数服务时间（）【答案】（√）

4.马尔可夫链模型中的转移概率是随时间变化的（）【答案】（×）【解析】马尔可夫链模型中的转移概率是固定的，不随时间变化

5.蒙特卡洛方法适用于所有类型的问题（）【答案】（×）【解析】蒙特卡洛方法主要适用于随机性问题

6.决策树分析是一种定量分析方法（）【答案】（√）

7.几何规划的目标函数必须是线性函数（）【答案】（×）【解析】几何规划的目标函数可以是乘积形式，不一定是线性函数

8.传染病传播模型中的SIR模型假设人群是无限大的（）【答案】（×）【解析】SIR模型假设人群是封闭的，不考虑人口流动

9.排队论中的Little公式适用于所有排队系统（）【答案】（×）【解析】Little公式适用于M/M/c等特定排队系统

10.决策分析中的期望值法适用于所有决策问题（）【答案】（×）【解析】期望值法适用于风险型决策问题

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述数学建模的基本步骤【答案】数学建模的基本步骤包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证【解析】问题分析是理解问题的本质和需求；模型假设是简化问题，建立数学模型；模型建立是根据假设建立数学关系；模型求解是求解数学模型；模型验证是检验模型的准确性和适用性

2.简述马尔可夫链模型的特点【答案】马尔可夫链模型的特点是无后效性，即当前状态只依赖于前一个状态，与更早的状态无关【解析】马尔可夫链模型是一种随机过程，其状态转移只依赖于当前状态和转移概率，与过去的状态无关

3.简述排队论中的M/M/1模型的应用场景【答案】M/M/1模型适用于单服务台、指数到达和指数服务时间的排队系统，如单人理发店、自动售货机等【解析】M/M/1模型是一种常见的排队模型，适用于服务台数量为1，到达和服务时间均为指数分布的排队系统

4.简述决策分析中的期望值法【答案】期望值法是通过计算不同决策方案的期望收益来评估决策方法，选择期望收益最大的方案【解析】期望值法适用于风险型决策问题，通过计算不同结果的概率和收益，得到期望收益，选择期望收益最大的方案

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析数学建模在解决实际问题中的作用和意义【答案】数学建模在解决实际问题中的作用和意义主要体现在以下几个方面

（1）简化问题将复杂问题转化为数学问题，便于分析和解决；

（2）提供决策依据通过数学模型提供决策支持，提高决策的科学性和准确性；

（3）预测未来通过模型预测未来趋势，为规划和控制提供依据；

（4）优化资源配置通过模型优化资源配置，提高效率；

（5）验证理论通过模型验证理论假设，推动理论发展【解析】数学建模通过简化和抽象，将实际问题转化为数学问题，便于分析和解决通过数学模型，可以提供决策支持，提高决策的科学性和准确性数学模型还可以预测未来趋势，为规划和控制提供依据通过模型优化资源配置，可以提高效率此外，数学模型还可以验证理论假设，推动理论发展

2.分析排队论在实际生活中的应用【答案】排队论在实际生活中的应用广泛，主要体现在以下几个方面

（1）交通管理分析交通流量，优化交通信号灯控制，减少交通拥堵；

（2）服务行业分析顾客到达和服务时间，优化服务台数量，提高服务质量；

（3）计算机科学分析网络数据包到达和服务时间，优化网络资源分配，提高网络性能；

（4）医疗系统分析病人到达和就诊时间，优化医院资源分配，提高医疗服务效率；

（5）生产管理分析生产过程中的等待时间，优化生产流程，提高生产效率【解析】排队论通过分析顾客到达和服务时间，可以优化服务台数量，提高服务质量在交通管理中，排队论可以分析交通流量，优化交通信号灯控制，减少交通拥堵在计算机科学中，排队论可以分析网络数据包到达和服务时间，优化网络资源分配，提高网络性能在医疗系统中，排队论可以分析病人到达和就诊时间，优化医院资源分配，提高医疗服务效率在生产管理中，排队论可以分析生产过程中的等待时间，优化生产流程，提高生产效率

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某城市交通管理部门希望优化交通信号灯控制，以减少交通拥堵假设某路口的车辆到达服从泊松分布，平均每小时到达50辆车；车辆通过路口的服务时间服从指数分布，平均服务时间为1分钟该路口目前只有1个信号灯，问该路口的平均等待时间是多少？如果增加1个信号灯，平均等待时间会减少多少？【答案】

（1）根据排队论中的M/M/1模型，平均等待时间可以通过Little公式计算Lq=λ^2/μμ-λ其中，λ为到达率，μ为服务率本题中，λ=50辆车/小时，μ=60辆车/小时（因为服务时间为1分钟，即60分钟/小时）代入公式得Lq=50^2/6060-50=250/600=

0.4167辆车平均等待时间Wq=Lq/λ=

0.4167/50=

0.00833小时=

0.5分钟

（2）如果增加1个信号灯，即变为M/M/2模型，平均等待时间可以通过以下公式计算Lq=λ^2/[μ-λ^2μ]其中，λ=50辆车/小时，μ=120辆车/小时（因为有两个信号灯，即每分钟可以服务2辆车）代入公式得Lq=50^2/[120-50^2120]=2500/[70^2120]=2500/588000=

0.00424辆车平均等待时间Wq=Lq/λ=

0.00424/50=

0.0000848小时=

0.05分钟因此，增加1个信号灯后，平均等待时间从

0.5分钟减少到

0.05分钟，减少了

0.45分钟【解析】通过计算M/M/1和M/M/2模型下的平均等待时间，可以看出增加信号灯可以显著减少平均等待时间，从而优化交通信号灯控制，减少交通拥堵

2.某公司希望投资一个新的项目，有三种投资方案可供选择方案A的期望收益为100万元，标准差为20万元；方案B的期望收益为80万元，标准差为10万元；方案C的期望收益为120万元，标准差为30万元如果该公司希望选择风险最小的投资方案，应选择哪个方案？如果该公司希望选择收益最大的投资方案，应选择哪个方案？【答案】

（1）如果该公司希望选择风险最小的投资方案，应选择标准差最小的方案比较三个方案的标准差，方案B的标准差为10万元，最小，因此应选择方案B

（2）如果该公司希望选择收益最大的投资方案，应选择期望收益最大的方案比较三个方案的期望收益，方案C的期望收益为120万元，最大，因此应选择方案C【解析】选择风险最小的投资方案，应选择标准差最小的方案；选择收益最大的投资方案，应选择期望收益最大的方案根据标准差和期望收益的比较，可以得出选择方案B和方案C的结论

八、标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.A

4.B

5.A

6.C

7.A

8.D

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C、D、E

4.C

5.A、D

三、填空题

1.数学

2.无后效

3.平均队长；平均等待时间

4.随机抽样

5.线性

6.乘积

7.感染人群

8.不同结果的收益

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

6.（√）

7.（×）

8.（×）

9.（×）

10.（×）

五、简答题

1.数学建模的基本步骤包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证

2.马尔可夫链模型的特点是无后效性，即当前状态只依赖于前一个状态，与更早的状态无关

3.排队论中的M/M/1模型适用于单服务台、指数到达和指数服务时间的排队系统，如单人理发店、自动售货机等

4.决策分析中的期望值法是通过计算不同决策方案的期望收益来评估决策方法，选择期望收益最大的方案

六、分析题

1.数学建模在解决实际问题中的作用和意义主要体现在简化问题、提供决策依据、预测未来、优化资源配置和验证理论等方面

2.排队论在实际生活中的应用广泛，主要体现在交通管理、服务行业、计算机科学、医疗系统和生产管理等方面

七、综合应用题

1.根据M/M/1和M/M/2模型，计算平均等待时间，增加信号灯可以显著减少平均等待时间

2.选择风险最小的投资方案应选择标准差最小的方案，选择收益最大的投资方案应选择期望收益最大的方案。