高中数学PS试题及详细答案

高中数学PS经典试题及详细答案

一、单选题

1.函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=5故最大值为

72.若复数z满足|z|=1，则z^2的辐角主值可能是（）（2分）A.π/3B.π/2C.2π/3D.3π/4【答案】B【解析】设z=a+bia,b∈R，则a^2+b^2=1z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi由于|z|=1，a^2+b^2=1若a=0，则b=±1，z^2=±b^2=±1，辐角主值为π或0若b=0，则a=±1，z^2=a^2=1，辐角主值为0或2π故z^2的辐角主值可能是π/

23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=π/3，则cosB的值是（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】D【解析】由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-12cosπ/3=7再由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+7-9/2×2×√7=√3/

44.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名现要随机抽取4名学生参加活动，则抽到3名男生和1名女生的概率是（）（2分）A.3/5B.1/5C.1/10D.1/50【答案】A【解析】P=组合数C30,3×组合数C20,1/组合数C50,4=3/

55.已知函数fx=e^x+1/x，则fx在x=1处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=2xC.y=x+1D.y=2x+1【答案】C【解析】fx=e^x-1/x^2，f1=e-1f1=e+1切线方程为y-e+1=e-1x-1，即y=e-1x+

26.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_7的值是（）（2分）A.64B.128C.256D.512【答案】C【解析】q^3=a_4/a_1=16，q=2a_7=a_1q^6=1×2^6=

647.已知点A1,2，点B3,0，则线段AB的垂直平分线的方程是（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-1=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0【答案】A【解析】AB中点为2,1，斜率为-1/2垂直平分线方程为y-1=2x-2，即x-y+1=

08.执行如下程序段后，变量s的值是（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.1B.3C.8D.15【答案】C【解析】i=1,s=0;i=3,s=1;i=5,s=4;i=7,跳出循环s=4+4=

89.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，则圆心C到直线3x-4y-5=0的距离是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】d=|3×1-4×-2-5|/√3^2+-4^2=

210.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA的值是（）（2分）A.3/5B.4/5C.1/2D.√3/2【答案】A【解析】设a=3k,b=4k,c=5k由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=3/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是？（）A.y=x^2B.y=1/xC.y=lnxD.y=√x【答案】A、C、D【解析】y=x^2在0,1上单调递增；y=1/x在0,1上单调递减；y=lnx在0,1上单调递增；y=√x在0,1上单调递增

2.下列命题中，正确的有？（）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb【答案】C、D【解析】ab时，a^2b^2不一定成立（如a=-2,b=-1）；√a√b不一定成立（如a=4,b=3）；1/a1/b成立；lnalnb成立

3.下列函数中，是以2π为周期的偶函数的是？（）A.y=cosxB.y=sinxC.y=secxD.y=tanx【答案】A、C【解析】cosx和secx是以2π为周期的偶函数；sinx是奇函数；tanx是奇函数

4.下列不等式成立的有？（）A.2^1003^50B.1/2^-101/3^-10C.√10√8D.log_28log_39【答案】A、C【解析】2^100=2^10^10=1024^10，3^50=3^5^10=243^10，1024243，故2^1003^501/2的负10次方比1/3的负10次方大√10√8成立log_28=3，log_39=2，32，成立

5.下列数列中，是等差数列的有？（）A.a_n=2n+1B.a_n=n^2C.a_n=3n-2D.a_n=5^n【答案】A、C【解析】a_n=2n+1，a_n+1-a_n=2n+3-2n-1=2，是等差数列a_n=n^2，a_n+1-a_n=n+1^2-n^2=2n+1，不是等差数列a_n=3n-2，a_n+1-a_n=3n+1-2-3n-2=3，是等差数列a_n=5^n，a_n+1/a_n=5^n+1/5^n=5，不是等差数列

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值是______【答案】√6【解析】由正弦定理，b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√

62.函数fx=x^3-3x+1的极值点是______和______【答案】-1，1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±

13.已知点A1,2，点B3,0，则线段AB的长是______【答案】√8【解析】|AB|=√3-1^2+0-2^2=√

84.在等比数列{a_n}中，若a_2=2，a_5=16，则公比q的值是______【答案】2【解析】q^3=a_5/a_2=16/2=8，q=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个奇数的和一定是偶数（）【答案】（√）【解析】奇数可以表示为2k+1，两个奇数和为2k+1+2m+1=2k+m+1，是偶数

2.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在反函数（）【答案】（×）【解析】单调递增函数不一定一一对应，如fx=x^3在R上单调递增，但不是一一对应，不存在反函数

3.在△ABC中，若a:b:c=1:√2:1，则△ABC是直角三角形（）【答案】（√）【解析】设a=k，b=k√2，c=k由勾股定理，k^2+k^2=2k^2=c^2，是直角三角形

4.若复数z满足|z|=1，则z^2的模一定是2（）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，|z|=1，a^2+b^2=1z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi|z^2|=√a^2-b^2^2+4a^2b^2=√a^4+2a^2b^2+b^4=√a^2+b^2^2=√1=1故z^2的模是1，不是

25.执行如下程序段后，变量s的值是10（）i=1;s=0;whilei=10dos=s+i;i=i+1;endwhile【答案】（×）【解析】s=1+2+3+...+10=55

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+4在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为4，最小值为0【解析】fx=3x^2-6x令fx=0，得x=0或x=2f-1=-2，f0=4，f2=0，f3=1最大值为max{4,1}=4，最小值为min{-2,0}=

02.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，求圆C的圆心和半径【答案】圆心为1,-2，半径为3【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2圆心为a,b，半径为r故圆心为1,-2，半径为√9=

33.写出等差数列{a_n}的前n项和公式，并说明其应用【答案】S_n=na_1+a_n/2或S_n=na_1+nn-1d/2【解析】等差数列前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2或S_n=na_1+nn-1d/2应用可以计算等差数列前n项的和，解决与等差数列相关的问题

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2求fx的单调区间和极值【答案】单调增区间为-∞,1和2,+∞，单调减区间为1,2极大值为f1=0，极小值为f2=-2【解析】fx=3x^2-6x令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，单调增；当0x2时，fx0，单调减；当x2时，fx0，单调增f1=0，f2=-2故极大值为f1=0，极小值为f2=-

22.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，直线l的方程为x-y-1=0求圆C到直线l的距离，并判断直线l与圆C的位置关系【答案】距离为√2，直线l与圆C相离【解析】圆心为1,-2，直线方程为x-y-1=0距离d=|1--2-1|/√1^2+-1^2=√2√23（半径），故直线l与圆C相离

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n-1求通项公式a_n，并判断{a_n}是否为等差数列【答案】a_n=4n+1，是等差数列【解析】a_1=S_1=6当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n^2+3n-1-[2n-1^2+3n-1-1]=4n+1故a_n=4n+1a_n+1-a_n=4n+1+1-4n+1=4，是等差数列

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值，并画出函数的简图【答案】最大值为10，最小值为-2【解析】f。