高二数列必做试题及详细解答过程

高二数列必做试题及详细解答过程

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），则a_5的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】根据题意，a_1=1，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），先求出a_

2、a_

3、a_

4、a_5S_1=a_1=1，S_2=a_1+a_2=1+a_2，a_2=S_2S_1=1+a_21，解得a_2=1S_3=a_1+a_2+a_3=1+1+a_3，a_3=S_3S_2=2+a_31+1，解得a_3=2S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+1+2+a_4，a_4=S_4S_3=4+a_43+2，解得a_4=3S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+1+2+3+a_5，a_5=S_5S_4=7+a_56+3，解得a_5=4所以a_5=4，故选A

2.已知等差数列{a_n}中，a_1+a_2+a_3=12，a_2+a_3+a_4=18，则该数列的公差为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】设等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为da_1+a_2+a_3=12，即a_1+a_1+d+a_1+2d=12，化简得3a_1+3d=12，即a_1+d=4a_2+a_3+a_4=18，即a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=18，化简得3a_1+6d=18，即a_1+2d=6联立方程组，解得d=2所以该数列的公差为2，故选A

3.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_3=8，则b_5的值为（）A.16B.24C.32D.48【答案】C【解析】设等比数列{b_n}的公比为qb_1=2，b_3=8，即b_1q^2=8，代入b_1=2，解得q=2b_5=b_1q^4=22^4=32所以b_5的值为32，故选C

4.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-2n，则该数列的通项公式为（）A.c_n=2nB.c_n=2n-1C.c_n=2n+1D.c_n=2n-2【答案】B【解析】由题意，c_n=S_n-2n当n=1时，c_1=S_1-2=2-2=0当n≥2时，c_n=S_n-2n，c_{n-1}=S_{n-1}-2n-1两式相减得c_n-c_{n-1}=S_n-S_{n-1}-2，即c_n-c_{n-1}=c_n-2，解得c_{n-1}=2所以数列{c_n}的通项公式为c_n=2n-1，故选B

5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，则d_4的值为（）A.26B.27C.28D.29【答案】A【解析】由题意，S_n=3^n-1d_4=S_4-S_3=3^4-1-3^3-1=81-27=54所以d_4的值为54，故选A

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于数列的说法中，正确的有（）A.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的通项公式可以表示为a_n=a_1q^{n-1}C.数列的前n项和S_n可以表示为S_n=na_1+a_n/2D.数列{a_n}是等差数列的充分必要条件是存在常数d，使得a_n-a_{n-1}=dE.数列{a_n}是等比数列的充分必要条件是存在常数q，使得a_n/a_{n-1}=q【答案】A、B、C、D、E【解析】A选项正确，等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1dB选项正确，等比数列的通项公式为a_n=a_1q^{n-1}C选项正确，等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2D选项正确，数列{a_n}是等差数列的充分必要条件是存在常数d，使得a_n-a_{n-1}=dE选项正确，数列{a_n}是等比数列的充分必要条件是存在常数q，使得a_n/a_{n-1}=q所以正确选项为A、B、C、D、E

2.以下关于数列的性质中，正确的有（）A.等差数列的任意两项之差为常数B.等比数列的任意两项之比为常数C.等差数列的前n项和为二次函数D.等比数列的前n项和为指数函数E.等差数列和等比数列都可以用递推公式定义【答案】A、B、C、E【解析】A选项正确，等差数列的任意两项之差为常数，即公差dB选项正确，等比数列的任意两项之比为常数，即公比qC选项正确，等差数列的前n项和为S_n=na_1+a_n/2，是关于n的二次函数D选项错误，等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q，不是指数函数E选项正确，等差数列和等比数列都可以用递推公式定义所以正确选项为A、B、C、E

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则a_5=______【答案】11【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，代入a_1=3，d=2，n=5，得a_5=3+5-12=

112.已知等比数列{b_n}中，b_1=1，公比q=3，则b_4=______【答案】27【解析】等比数列的通项公式为b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=1，q=3，n=4，得b_4=13^{4-1}=

273.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-2n，则c_3=______【答案】4【解析】由题意，c_n=S_n-2n当n=1时，c_1=S_1-2=2-2=0当n=2时，c_2=S_2-4，S_2=c_1+c_2=0+c_2，代入得c_2=4当n=3时，c_3=S_3-6，S_3=c_1+c_2+c_3=0+4+c_3，代入得c_3=

44.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，则d_5=______【答案】121【解析】由题意，S_n=3^n-1d_5=S_5-S_4=3^5-1-3^4-1=243-81=

1215.已知数列{e_n}是等差数列，且a_1=2，a_5=10，则该数列的前10项和S_{10}=______【答案】60【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，代入a_1=2，a_5=10，得10=2+5-1d，解得d=2等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，代入n=10，a_1=2，a_{10}=2+10-12=20，得S_{10}=102+20/2=60

四、判断题（每题2分，共10分）

1.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+n-1d（）【答案】（√）【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，该说法正确

2.等比数列的通项公式可以表示为a_n=a_1q^{n-1}（）【答案】（√）【解析】等比数列的通项公式为a_n=a_1q^{n-1}，该说法正确

3.数列的前n项和S_n可以表示为S_n=na_1+a_n/2（）【答案】（√）【解析】等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，该说法正确

4.数列{a_n}是等差数列的充分必要条件是存在常数d，使得a_n-a_{n-1}=d（）【答案】（√）【解析】数列{a_n}是等差数列的充分必要条件是存在常数d，使得a_n-a_{n-1}=d，该说法正确

5.数列{a_n}是等比数列的充分必要条件是存在常数q，使得a_n/a_{n-1}=q（）【答案】（√）【解析】数列{a_n}是等比数列的充分必要条件是存在常数q，使得a_n/a_{n-1}=q，该说法正确

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记作d等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记作q等比数列的通项公式为a_n=a_1q^{n-1}

2.简述数列的前n项和的定义及其公式【答案】数列的前n项和是指数列的前n项相加的总和，记作S_n等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）

3.简述数列的递推公式的定义及其作用【答案】数列的递推公式是指用数列的前一项或前几项来表示后一项的公式递推公式可以用来定义数列，也可以用来计算数列的项

4.简述数列的通项公式的定义及其作用【答案】数列的通项公式是指用项数n来表示数列的第n项的公式通项公式可以用来计算数列的任意一项，也可以用来研究数列的性质

5.简述数列的前n项和与通项公式之间的关系【答案】数列的前n项和S_n与通项公式a_n之间有密切关系等差数列的前n项和公式S_n=na_1+a_n/2可以用来计算通项公式a_n，即a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）等比数列的前n项和公式S_n=a_11-q^n/1-q可以用来计算通项公式a_n，即a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），a_1=1，求证数列{a_n}是等比数列【证明】由题意，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），a_1=1当n=2时，a_2=S_2S_1=1+a_21，解得a_2=1当n≥3时，a_n=S_nS_{n-1}，a_{n-1}=S_{n-1}S_{n-2}两式相除得a_n/a_{n-1}=S_n/S_{n-1}S_{n-1}/S_{n-2}，即a_n/a_{n-1}=1，解得a_n=a_{n-1}所以数列{a_n}是等比数列，公比为

12.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，求证数列{b_n}是等比数列【证明】由题意，S_n=3^n-1当n=1时，b_1=S_1=3^1-1=2当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}-1=3^n-3^{n-1}=23^{n-1}所以数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-2n，a_1=1，求证数列{c_n}是等差数列，并求出其通项公式【证明】由题意，c_n=S_n-2n，a_1=1当n=1时，c_1=S_1-2=2-2=0当n≥2时，c_n=S_n-2n，c_{n-1}=S_{n-1}-2n-1两式相减得c_n-c_{n-1}=S_n-S_{n-1}-2，即c_n-c_{n-1}=c_n-2，解得c_{n-1}=2所以数列{c_n}是等差数列，首项为0，公差为2数列{c_n}的通项公式为c_n=0+n-12=2n-

22.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，求证数列{d_n}是等比数列，并求出其通项公式【证明】由题意，S_n=3^n-1当n=1时，d_1=S_1=3^1-1=2当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}-1=3^n-3^{n-1}=23^{n-1}所以数列{d_n}是等比数列，首项为2，公比为3数列{d_n}的通项公式为d_n=23^{n-1}---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.C

4.B

5.A

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、C、E

三、填空题

1.

112.

273.

44.

1215.60

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记作d等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记作q等比数列的通项公式为a_n=a_1q^{n-1}

2.数列的前n项和是指数列的前n项相加的总和，记作S_n等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）

3.数列的递推公式是指用数列的前一项或前几项来表示后一项的公式递推公式可以用来定义数列，也可以用来计算数列的项

4.数列的通项公式是指用项数n来表示数列的第n项的公式通项公式可以用来计算数列的任意一项，也可以用来研究数列的性质

5.数列的前n项和S_n与通项公式a_n之间有密切关系等差数列的前n项和公式S_n=na_1+a_n/2可以用来计算通项公式a_n，即a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）等比数列的前n项和公式S_n=a_11-q^n/1-q可以用来计算通项公式a_n，即a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）

六、分析题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），a_1=1，求证数列{a_n}是等比数列【证明】由题意，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），a_1=1当n=2时，a_2=S_2S_1=1+a_21，解得a_2=1当n≥3时，a_n=S_nS_{n-1}，a_{n-1}=S_{n-1}S_{n-2}两式相除得a_n/a_{n-1}=S_n/S_{n-1}S_{n-1}/S_{n-2}，即a_n/a_{n-1}=1，解得a_n=a_{n-1}所以数列{a_n}是等比数列，公比为

12.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，求证数列{b_n}是等比数列【证明】由题意，S_n=3^n-1当n=1时，b_1=S_1=3^1-1=2当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}-1=3^n-3^{n-1}=23^{n-1}所以数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为3

七、综合应用题

1.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-2n，a_1=1，求证数列{c_n}是等差数列，并求出其通项公式【证明】由题意，c_n=S_n-2n，a_1=1当n=1时，c_1=S_1-2=2-2=0当n≥2时，c_n=S_n-2n，c_{n-1}=S_{n-1}-2n-1两式相减得c_n-c_{n-1}=S_n-S_{n-1}-2，即c_n-c_{n-1}=c_n-2，解得c_{n-1}=2所以数列{c_n}是等差数列，首项为0，公差为2数列{c_n}的通项公式为c_n=0+n-12=2n-

22.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，求证数列{d_n}是等比数列，并求出其通项公式【证明】由题意，S_n=3^n-1当n=1时，d_1=S_1=3^1-1=2当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}-1=3^n-3^{n-1}=23^{n-1}所以数列{d_n}是等比数列，首项为2，公比为3数列{d_n}的通项公式为d_n=23^{n-1}。