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高校联考数学真题探秘及答案详解
一、单选题
1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值,且f1=2,则b的值为()(2分)A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx在x=1处取得极值,则f1=0,即2ax+b=0,解得b=-2a又f1=a+b+c=2,代入b=-2a得a=1,b=-2,所以b=
12.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a^2+b^2=c^2,则角C的大小为()(1分)A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】根据勾股定理,若a^2+b^2=c^2,则△ABC为直角三角形,角C为直角
3.设集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A,则a的取值集合为()(2分)A.{1,2}B.{1,1/2}C.{1}D.{1,1/2,0}【答案】D【解析】A={1,2},若B⊆A,则B可能为空集,a=0;或者B={1},a=1;或者B={2},a=1/
24.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为()(1分)A.2πB.πC.π/2D.2π/3【答案】B【解析】正弦函数y=sinkx+φ的最小正周期为2π/|k|,这里k=2,所以最小正周期为π
5.若复数z=1+i,则|z|^2的值为()(2分)A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】|z|^2=1^2+1^2=2,但复数z的模的平方应为|z|^2=1^2+1^2=2,所以正确答案为C
6.设fx=log_ax+1,若f2=1,则a的值为()(2分)A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】f2=log_a3=1,则a^1=3,所以a=
37.在等比数列{a_n}中,a_1=1,a_4=16,则公比q的值为()(1分)A.2B.-2C.4D.-4【答案】A【解析】a_4=a_1q^3,即16=1q^3,解得q=
28.若直线l的方程为y=kx+b,且直线l过点1,2和-1,-4,则k的值为()(2分)A.-3B.3C.-1D.1【答案】B【解析】由两点式得k=2--4/1--1=
39.设函数fx=x^3-ax^2+bx+1,若fx在x=1和x=-1处均取得极值,则a+b的值为()(2分)A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】fx=3x^2-2ax+b,由题意知f1=0且f-1=0,解得a=1,b=-2,所以a+b=-
110.在直角坐标系中,点Px,y到直线x+y=1的距离为d,则d的最小值为()(1分)A.√2/2B.1C.√2D.2【答案】A【解析】点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax+By+C|/√A^2+B^2,这里A=B=1,C=-1,所以d=|x+y-1|/√2,最小值为√2/2
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列函数中,在其定义域内单调递增的有()A.y=x^2B.y=2^xC.y=log_2xD.y=sinxE.y=x^3【答案】B、C、E【解析】指数函数y=2^x和对数函数y=log_2x在其定义域内单调递增,幂函数y=x^3在其定义域内单调递增
2.下列命题中,正确的有()A.若ab,则a^2b^2B.若a^2b^2,则abC.若ab,则1/a1/bD.若a^2b^2,则|a||b|E.若ab0,则√a√b【答案】C、D、E【解析】若ab,则1/a1/b;若a^2b^2,则|a||b|;若ab0,则√a√b
3.下列函数中,以x=π/2为对称轴的有()A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=cotxE.y=secx【答案】A、B【解析】正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx以x=π/2为对称轴
4.下列不等式成立的有()A.3^
1.
11.1^3B.log_32log_
31.5C.1/2^-31/2^-2D.1/3^-11/3^0E.2^-33^-2【答案】A、C、D【解析】3^
1.
11.1^3,1/2^-31/2^-2,1/3^-11/3^
05.下列数列中,是等差数列的有()A.a_n=2n+1B.a_n=3^nC.a_n=n^2+nD.a_n=5n-2E.a_n=2^n+1【答案】A、D【解析】a_n=2n+1和a_n=5n-2是等差数列
三、填空题
1.在等差数列{a_n}中,a_1=3,d=2,则a_10的值为______(4分)【答案】23【解析】a_10=a_1+9d=3+92=
212.若复数z=2+3i,则z的共轭复数为______(4分)【答案】2-3i【解析】复数z的共轭复数是将z的虚部取相反数,即2-3i
3.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最大值为______,最小值为______(4分)【答案】1,0【解析】函数y=|x-1|在x=1处取得最小值0,在x=0或x=2处取得最大值
14.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=3,b=4,c=5,则cosA的值为______(4分)【答案】4/5【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/245=4/
55.设函数fx=e^x-x,则fx在x=0处的导数为______(4分)【答案】1【解析】fx=e^x-1,f0=e^0-1=1
四、判断题(每题2分,共10分)
1.若函数fx在区间I上单调递增,则fx在区间I上连续()【答案】(×)【解析】函数在某区间上单调递增不一定连续,如分段函数
2.若复数z=a+bi,则|z|^2=a^2+b^2()【答案】(√)【解析】复数z的模的平方为|z|^2=a^2+b^
23.若ab0,则a^2b^2()【答案】(√)【解析】正数ab,则a^2b^
24.若函数fx在x=c处取得极值,则fc=0()【答案】(√)【解析】函数在某点取得极值,则该点的导数为
05.若数列{a_n}是等比数列,则a_n=a_1q^n-1()【答案】(√)【解析】等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1
五、简答题(每题4分,共20分)
1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为2,最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x,令fx=0得x=0或x=2f-1=-2,f0=2,f2=-2,f3=2所以最大值为2,最小值为-
22.求过点1,2和3,0的直线方程【答案】y=-x+3【解析】由两点式得斜率k=0-2/3-1=-1,所以直线方程为y-2=-1x-1,即y=-x+
33.求极限limx→∞x^2+1/2x^2-3x+1【答案】1/2【解析】分子分母同时除以x^2得limx→∞1+1/x^2/2-3/x+1/x^2=1/
24.求函数fx=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最大值【答案】√2【解析】fx=cosx-sinx,令fx=0得x=π/4f0=1,fπ/4=√2,fπ/2=1所以最大值为√
25.求过点1,1且与直线y=2x-1平行的直线方程【答案】y=2x-1【解析】与直线y=2x-1平行的直线斜率为2,所以直线方程为y-1=2x-1,即y=2x-1
六、分析题(每题10分,共20分)
1.设函数fx=x^3-3x^2+2,证明fx在区间[1,3]上至少存在一个零点【证明】f1=0,f3=2由介值定理知,存在c∈1,3,使得fc=0所以fx在区间[1,3]上至少存在一个零点
2.设数列{a_n}是等差数列,a_1=2,a_5=10,求a_10的值【解】设公差为d,由a_5=a_1+4d得10=2+4d,解得d=2所以a_10=a_1+9d=2+92=20
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.设函数fx=x^3-ax^2+bx+1,若fx在x=1和x=-1处均取得极值,求a和b的值,并判断fx的单调性【解】fx=3x^2-2ax+b,由题意知f1=0且f-1=0,解得a=1,b=-2所以fx=x^3-x^2-2x+1,fx=3x^2-2x-2令fx=0得x=1或x=-2/3fx0当x-2/3或x1,fx0当-2/3x1所以fx在-∞,-2/3和1,+∞上单调递增,在-2/3,1上单调递减
2.设复数z=a+bi,且|z|=5,argz=π/3,求z的值【解】|z|=5,argz=π/3,所以z=5cosπ/3+isinπ/3=51/2+i√3/2=5/2+5√3/2i所以z=5/2+5√3/2i
八、标准答案
一、单选题
1.B
2.D
3.D
4.B
5.C
6.A
7.A
8.B
9.C
10.A
二、多选题
1.B、C、E
2.C、D、E
3.A、B
4.A、C、D
5.A、D
三、填空题
1.
232.2-3i
3.1,
04.4/
55.1
四、判断题
1.(×)
2.(√)
3.(√)
4.(√)
5.(√)
五、简答题
1.最大值为2,最小值为-
22.y=-x+
33.1/
24.√
25.y=2x-1
六、分析题
1.证明见解析
2.a_10=20
七、综合应用题
1.a=1,b=-2;fx在-∞,-2/3和1,+∞上单调递增,在-2/3,1上单调递减
2.z=5/2+5√3/2i。
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