高校联考数学真题探秘及答案详解

高校联考数学真题探秘及答案详解

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=2，则b的值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx在x=1处取得极值，则f1=0，即2ax+b=0，解得b=-2a又f1=a+b+c=2，代入b=-2a得a=1，b=-2，所以b=

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则角C的大小为（）（1分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】根据勾股定理，若a^2+b^2=c^2，则△ABC为直角三角形，角C为直角

3.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1,1/2}C.{1}D.{1,1/2,0}【答案】D【解析】A={1,2}，若B⊆A，则B可能为空集，a=0；或者B={1}，a=1；或者B={2}，a=1/

24.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为（）（1分）A.2πB.πC.π/2D.2π/3【答案】B【解析】正弦函数y=sinkx+φ的最小正周期为2π/|k|，这里k=2，所以最小正周期为π

5.若复数z=1+i，则|z|^2的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】|z|^2=1^2+1^2=2，但复数z的模的平方应为|z|^2=1^2+1^2=2，所以正确答案为C

6.设fx=log_ax+1，若f2=1，则a的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】f2=log_a3=1，则a^1=3，所以a=

37.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则公比q的值为（）（1分）A.2B.-2C.4D.-4【答案】A【解析】a_4=a_1q^3，即16=1q^3，解得q=

28.若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点1,2和-1,-4，则k的值为（）（2分）A.-3B.3C.-1D.1【答案】B【解析】由两点式得k=2--4/1--1=

39.设函数fx=x^3-ax^2+bx+1，若fx在x=1和x=-1处均取得极值，则a+b的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】fx=3x^2-2ax+b，由题意知f1=0且f-1=0，解得a=1，b=-2，所以a+b=-

110.在直角坐标系中，点Px,y到直线x+y=1的距离为d，则d的最小值为（）（1分）A.√2/2B.1C.√2D.2【答案】A【解析】点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax+By+C|/√A^2+B^2，这里A=B=1，C=-1，所以d=|x+y-1|/√2，最小值为√2/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有（）A.y=x^2B.y=2^xC.y=log_2xD.y=sinxE.y=x^3【答案】B、C、E【解析】指数函数y=2^x和对数函数y=log_2x在其定义域内单调递增，幂函数y=x^3在其定义域内单调递增

2.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若a^2b^2，则|a||b|E.若ab0，则√a√b【答案】C、D、E【解析】若ab，则1/a1/b；若a^2b^2，则|a||b|；若ab0，则√a√b

3.下列函数中，以x=π/2为对称轴的有（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=cotxE.y=secx【答案】A、B【解析】正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx以x=π/2为对称轴

4.下列不等式成立的有（）A.3^

1.

11.1^3B.log_32log_

31.5C.1/2^-31/2^-2D.1/3^-11/3^0E.2^-33^-2【答案】A、C、D【解析】3^

1.

11.1^3，1/2^-31/2^-2，1/3^-11/3^

05.下列数列中，是等差数列的有（）A.a_n=2n+1B.a_n=3^nC.a_n=n^2+nD.a_n=5n-2E.a_n=2^n+1【答案】A、D【解析】a_n=2n+1和a_n=5n-2是等差数列

三、填空题

1.在等差数列{a_n}中，a_1=3，d=2，则a_10的值为______（4分）【答案】23【解析】a_10=a_1+9d=3+92=

212.若复数z=2+3i，则z的共轭复数为______（4分）【答案】2-3i【解析】复数z的共轭复数是将z的虚部取相反数，即2-3i

3.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】1，0【解析】函数y=|x-1|在x=1处取得最小值0，在x=0或x=2处取得最大值

14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/245=4/

55.设函数fx=e^x-x，则fx在x=0处的导数为______（4分）【答案】1【解析】fx=e^x-1，f0=e^0-1=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）【答案】（×）【解析】函数在某区间上单调递增不一定连续，如分段函数

2.若复数z=a+bi，则|z|^2=a^2+b^2（）【答案】（√）【解析】复数z的模的平方为|z|^2=a^2+b^

23.若ab0，则a^2b^2（）【答案】（√）【解析】正数ab，则a^2b^

24.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（√）【解析】函数在某点取得极值，则该点的导数为

05.若数列{a_n}是等比数列，则a_n=a_1q^n-1（）【答案】（√）【解析】等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2所以最大值为2，最小值为-

22.求过点1,2和3,0的直线方程【答案】y=-x+3【解析】由两点式得斜率k=0-2/3-1=-1，所以直线方程为y-2=-1x-1，即y=-x+

33.求极限limx→∞x^2+1/2x^2-3x+1【答案】1/2【解析】分子分母同时除以x^2得limx→∞1+1/x^2/2-3/x+1/x^2=1/

24.求函数fx=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最大值【答案】√2【解析】fx=cosx-sinx，令fx=0得x=π/4f0=1，fπ/4=√2，fπ/2=1所以最大值为√

25.求过点1,1且与直线y=2x-1平行的直线方程【答案】y=2x-1【解析】与直线y=2x-1平行的直线斜率为2，所以直线方程为y-1=2x-1，即y=2x-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，证明fx在区间[1,3]上至少存在一个零点【证明】f1=0，f3=2由介值定理知，存在c∈1,3，使得fc=0所以fx在区间[1,3]上至少存在一个零点

2.设数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_5=10，求a_10的值【解】设公差为d，由a_5=a_1+4d得10=2+4d，解得d=2所以a_10=a_1+9d=2+92=20

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-ax^2+bx+1，若fx在x=1和x=-1处均取得极值，求a和b的值，并判断fx的单调性【解】fx=3x^2-2ax+b，由题意知f1=0且f-1=0，解得a=1，b=-2所以fx=x^3-x^2-2x+1，fx=3x^2-2x-2令fx=0得x=1或x=-2/3fx0当x-2/3或x1，fx0当-2/3x1所以fx在-∞,-2/3和1,+∞上单调递增，在-2/3,1上单调递减

2.设复数z=a+bi，且|z|=5，argz=π/3，求z的值【解】|z|=5，argz=π/3，所以z=5cosπ/3+isinπ/3=51/2+i√3/2=5/2+5√3/2i所以z=5/2+5√3/2i

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.D

4.B

5.C

6.A

7.A

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.B、C、E

2.C、D、E

3.A、B

4.A、C、D

5.A、D

三、填空题

1.

232.2-3i

3.1，

04.4/

55.1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值为2，最小值为-

22.y=-x+

33.1/

24.√

25.y=2x-1

六、分析题

1.证明见解析

2.a_10=20

七、综合应用题

1.a=1，b=-2；fx在-∞,-2/3和1,+∞上单调递增，在-2/3,1上单调递减

2.z=5/2+5√3/2i。