高校联考数学试题全解与参考答案

高校联考数学试题全解与参考答案

一、单选题

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（）（2分）A.[-1，4]B.-∞，-1]∪[4，+∞C.-∞，1]∪[2，+∞D.[-1，1]∪[2，4]【答案】C【解析】A={1，2}，因为A∪B=A，所以B⊆A考虑B的判别式△=m^2-8，若△0，则B=∅⊆A，m∈-∞，-2∪2，+∞；若△≥0，则B的解必须属于{1，2}，经检验m=1或m=2满足条件综上，m∈-∞，1]∪[2，+∞

2.函数fx=sin2x+φ的图像关于y轴对称，则φ的可能取值为（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】D【解析】图像关于y轴对称，则f-x=fx，即sin-2x+φ=sin2x+φ，必有φ=kπ，k∈Z取k=1得φ=π

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_4=4，S_8=8，则a_9+a_10+a_11+a_12的值为（）（2分）A.4B.8C.12D.16【答案】B【解析】由S_4=4，S_8=8可得S_8-S_4=a_5+a_6+a_7+a_8=4，所以a_9+a_10+a_11+a_12=S_12-S_8=

44.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则角B的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosB，给定条件a^2=b^2+c^2-bc，可得-2bccosB=-bc，即cosB=-1/2，所以角B=120°，故选C

5.直线y=kx-1与圆x^2+y^2=5相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.-√5/2，√5/2B.-2，2C.-√10/2，√10/2D.-√15/3，√15/3【答案】C【解析】由圆心到直线的距离d=|k0-1|/√k^2+1=1√5，解得k^210，即k∈-√10/2，√10/

26.某校高三年级有1000名学生参加数学竞赛，随机抽取200名学生进行调查，其中成绩优秀的有40人，则该校高三年级成绩优秀的估计人数约为（）（2分）A.400B.500C.600D.700【答案】A【解析】优秀率为40/200=20%，估计人数为100020%=400人

7.函数fx=log_ax+3-1（a0且a≠1）的图像恒过定点（）（2分）A.0，-1B.1，0C.3，0D.a，-1【答案】C【解析】令x+3=1，得x=-2，此时f-2=log_a1-1=-1，故图像恒过-2，-1，选项无正确答案，题目有误

8.若复数z满足z^2=1-i，则|z|的值为（）（2分）A.√2B.√3C.√5D.2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=a^2-b^2+2abi=1-i，比较实虚部得a^2-b^2=1，2ab=-1，解得a=b=√2/2，所以|z|=√√2/2^2+√2/2^2=√

29.执行以下程序段后，变量S的值为（）（2分）i=1;S=0;WHILEi=5DOS=S+i;i=i+2;ENDWHILEA.3B.8C.15D.21【答案】B【解析】i=1时，S=1；i=3时，S=1+3=4；i=5时，S=4+5=9；i=7时，退出循环，最终S=

910.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_2=1，a_3+a_4=8，则a_5+a_6的值为（）（2分）A.64B.32C.16D.8【答案】A【解析】设公比为q，则a_2=a_1q，a_3=a_1q^2，a_4=a_1q^3，由a_1+a_1q=1，a_1q^2+a_1q^3=8，解得a_1=1/3，q=2，所以a_5+a_6=a_1q^4+a_1q^5=1/316+1/332=64

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的真子集B.若ab，则a^2b^2C.若fx是奇函数，则f0=0D.若△ABC是等腰三角形，则其顶角必为60°【答案】C【解析】A错误，空集是任何非空集合的真子集；B错误，如a=1，b=-2；C正确，奇函数图像关于原点对称，必过原点；D错误，等腰直角三角形的顶角为90°

2.函数y=fx在区间a，b上单调递增，则下列结论中正确的有（）A.y=f2x在区间1/2a，1/2b上单调递增B.y=1/fx在区间a，b上单调递减C.y=fx^2在区间√a，√b上单调递增D.y=f|x|在区间a，b上单调递增【答案】A、B【解析】A正确，若x1x2，则2x12x2，f2x1f2x2；B正确，若x1x2，则fx1fx2，1/fx11/fx2；C错误，如fx=x在1，2上递增，但fx^2=x^2在1，√2上递增；D错误，如fx=x在-1，1上递增，但f|x|=|x|在-1，1上先减后增

3.关于圆锥曲线，下列说法中正确的有（）A.椭圆的离心率e∈0，1B.双曲线的渐近线方程可表示为y=±b/axC.抛物线的焦点弦中，过焦点的弦最长D.椭圆与双曲线有相同的焦点时，它们的离心率之和为2【答案】A、B、C【解析】A正确，椭圆e=c/a，0ca；B正确，双曲线渐近线方程为y=±b/ax；C正确，抛物线焦点弦中，过焦点的弦垂直于对称轴时最长；D错误，设椭圆a10，双曲线a20，c^2=a1^2-b1^2=a2^2+b2^2，e1=√1-b1^2/a1^2，e2=√1+b2^2/a2^2，e1+e2≠

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列条件中能确定△ABC的充分条件有（）A.a^2+b^2=c^2B.sinA/sinB=a/bC.acosB=bcosAD.c^2=a^2+b^2-2abcosC【答案】A、B、C【解析】A正确，满足勾股定理，是直角三角形；B正确，满足正弦定理；C正确，sinAcosB=sinBcosA，即sinA-B=0，A=B，是等腰三角形；D是余弦定理的一般形式，不能确定三角形形状

5.关于算法，下列说法中正确的有（）A.算法必须具有有穷性B.算法的输出至少有一个C.算法的执行步骤必须是精确的D.算法可以用自然语言描述【答案】A、B、C、D【解析】算法的定义要求有穷性、确定性、输入、输出、有限性，执行步骤精确，可以用多种方式描述（自然语言、流程图等）

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知集合A={1，2，3}，B={x|x^2-5x+6=0}，则A∩B=______，A∪B=______（4分）【答案】{2，3}，{1，2，3}【解析】B={2，3}，所以A∩B={2，3}，A∪B={1，2，3}

2.函数fx=√x^2+4x+4的定义域是______（4分）【答案】-∞，-2]【解析】x^2+4x+4≥0，解得x≤-

23.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为______（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得√3/sin60°=b/sin45°，解得b=√

64.等比数列{a_n}中，a_3=1，a_5=4，则公比q=______（4分）【答案】√2【解析】a_5=a_3q^2，4=1q^2，q=±√

25.直线y=2x+1与圆x^2+y^2-4x+4y-1=0的交点坐标为______和______（4分）【答案】0，1，-1，-1【解析】联立方程组解得交点坐标

6.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现要随机抽取3名学生组成一个小组，则抽到的3名学生都是男生的概率为______（4分）【答案】8/125【解析】P=C20,3/C30,3=8/

1257.函数fx=e^x在区间-1，1上的平均值是______（4分）【答案】e-1/2【解析】平均值=e^1-e^-1/1--1=e-1/

28.执行以下程序段后，变量T的值为______（4分）T=1;FORi=1TO4DOT=Ti+1;ENDFOR【答案】24【解析】T=1234=24

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则a^2=1，b^2=4，a^2b^2不成立

2.函数y=1/x在区间-∞，0上单调递增（）【答案】（×）【解析】若x1x20，则1/x11/x2，函数在区间-∞，0上单调递减

3.若复数z满足z^2=1，则z=±1（）【答案】（×）【解析】z=±1或z=±i

4.等差数列的前n项和S_n是一个二次函数（）【答案】（×）【解析】S_n=n^2/2+bn/2，是关于n的二次函数当且仅当b≠0，若b=0，则S_n=n^2/

25.若函数fx在区间a，b上可导且fx0，则fx在区间a，b上单调递增（）【答案】（√）【解析】符合导数单调性定理

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0，x=2当x∈-∞，0时，fx0，fx递增；当x∈0，2时，fx0，fx递减；当x∈2，+∞时，fx0，fx递增所以fx在-∞，0，2，+∞上递增，在0，2上递减

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=30°，求sinA的值（4分）【答案】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得2/sinA=√3/sin60°，sinA=2/√3√3/2=2/

33.求函数fx=sin2x+√3cos2x的最小正周期（4分）【答案】fx=2sin2x+π/3，最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π

4.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，公比q≠1，且S_n=80，a_n=40，求n的值（4分）【答案】由等比数列求和公式S_n=a_11-q^n/1-q=80，a_n=a_1q^n-1=40，即q^n-1=40联立方程解得n=

55.已知直线l y=kx-1与圆C x^2+y^2=5相交于A、B两点，且|AB|=2√5，求k的值（4分）【答案】圆心到直线距离d=|k0-1|/√k^2+1=1√5，满足相交条件由弦长公式|AB|=2√r^2-d^2=2√5-1=4，解得k=±1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的所有极值点，并判断其极值是极大值还是极小值（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1=0，得x=1±√1/3fx=6x-6，f1+√1/3=6√1/30，fx在x=1+√1/3处取极小值；f1-√1/3=-6√1/30，fx在x=1-√1/3处取极大值

2.某工厂生产某种产品，固定成本为A万元，每生产一件产品的可变成本为B万元，售价为C万元，市场需求量y（件）与价格x（万元）的关系为y=1000-100x工厂希望获得最大利润，求最优价格和最大利润（10分）【答案】利润P=C-Bx-A-1000Cx=-100C+Bx^2+100Cx-A当x=-b/2a=-100C/2-100C-B=10C/C+B时，P取最大值P_max=-100C^2/2-100C-B=500C^2/2C+B-A

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=√x^2+px+q，定义域为[-1，3]，且f1=2，f-1=-2（10分）

（1）求p、q的值；（5分）

（2）判断fx的单调性；（5分）【答案】

（1）f1=√1+p+q=2，f-1=√1-p+q=-2，联立方程组解得p=4，q=1

（2）fx=√x^2+4x+1，fx=x+2/2√x^2+4x+1，x∈[-1，3]时，fx0，fx递增

2.某班有m名学生，其中男生n名，现要随机抽取k名学生组成一个小组，求抽到的k名学生中至少有1名女生的概率（15分）【答案】P至少1名女生=1-P全是男生=1-Cn，k/Cm，k=1-n!/n-k!/m!/m-k!标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.B

4.C

5.C

6.A

7.题目有误

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.C

2.A、B

3.A、B、C

4.A、B、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.{2，3}，{1，2，3}

2.-∞，-2]

3.√

64.√

25.0，1，-1，-

16.8/

1257.e-1/

28.24

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.递增区间-∞，0，2，+∞；递减区间0，

22.sinA=2/

33.最小正周期π

4.n=

55.k=±1

六、分析题

1.极小值点x=1+√1/3，极小值；极大值点x=1-√1/3，极大值

2.最优价格x=10C/C+B，最大利润P=500C^2/2C+B-A

七、综合应用题

1.

（1）p=4，q=1；

（2）fx在[-1，3]上递增

2.概率为1-Cn，k/Cm，k。