高等几何课后习题与详细答案解析

高等几何课后习题与详细答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面C.一条直线和直线外一点确定一个平面D.三个不共线的点确定一个平面【答案】D【解析】根据平面基本性质，不在同一直线上的三点确定一个平面

2.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形【答案】D【解析】根据三角形中位线定理，连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形

3.已知直线l⊥平面α，直线m∥l，则直线m与平面α的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定【答案】C【解析】垂直于同一直线的两条直线互相平行，故m⊥α

4.空间中，过一点可以作（）条直线与已知直线垂直A.1B.2C.无数D.0【答案】C【解析】过一点有无数条直线与已知直线垂直，构成一个平面

5.若直线a∥平面α，直线b⊥a，则直线b与平面α的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定【答案】D【解析】直线b可能与平面α平行，也可能相交或垂直

6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点，则EF与平面ABB1A1的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定【答案】C【解析】EF⊥平面ABB1A1，因为EF⊥BB1且EF⊥AB

7.空间中，若三条直线共点但不共面，则这三条直线（）A.两两平行B.两两相交C.至少有两条平行D.至少有两条垂直【答案】B【解析】三条共点但不共面的直线两两相交

8.已知直线l与平面α所成角为30°，则直线l与平面α的法线所成角为（）A.30°B.60°C.90°-30°=60°D.90°【答案】B【解析】直线与平面所成角是其与法线所成角的余角

9.空间中，若直线a⊥直线b，直线b⊥直线c，则直线a与直线c的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定【答案】D【解析】直线a与直线c可能平行、相交或垂直

10.已知正四面体ABCD的棱长为a，则其高为（）A.aB.a/√2C.a/√3D.a√2/3【答案】C【解析】正四面体高为√a^2-a√3/3^2=a/√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.两条平行直线确定一个平面B.一条直线和直线外一点确定一个平面C.三个不共线的点确定一个平面D.三个共线的点确定一个平面【答案】A、B、C【解析】根据平面基本性质，两条平行直线确定一个平面，一条直线和直线外一点确定一个平面，三个不共线的点确定一个平面

2.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论正确的是（）A.EF∥GHB.EF=GHC.EF⊥ACD.EF⊥BD【答案】A、B【解析】根据三角形中位线定理，连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故EF∥GH且EF=GH

3.已知直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则下列结论正确的是（）A.l∥mB.l⊥mC.l与m相交D.l与m不确定【答案】A【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行

4.空间中，过一点可以作（）条直线与已知直线垂直A.1B.2C.无数D.0【答案】C【解析】过一点有无数条直线与已知直线垂直，构成一个平面

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点，则下列结论正确的是（）A.EF∥平面ABB1A1B.EF⊥平面ABB1A1C.EF⊥BCD.EF⊥CD【答案】B、C【解析】EF⊥平面ABB1A1，因为EF⊥BB1且EF⊥AB；EF⊥BC，因为EF⊥BC

三、填空题（每题4分，共32分）

1.空间中，过一点有______条直线与已知直线垂直【答案】无数【解析】过一点有无数条直线与已知直线垂直，构成一个平面

2.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是______【答案】平行四边形【解析】根据三角形中位线定理，连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形

3.已知直线l⊥平面α，直线m∥l，则直线m与平面α的位置关系是______【答案】垂直【解析】垂直于同一直线的两条直线互相平行，故m⊥α

4.空间中，若三条直线共点但不共面，则这三条直线______【答案】两两相交【解析】三条共点但不共面的直线两两相交

5.已知直线a⊥直线b，直线b⊥直线c，则直线a与直线c的位置关系是______【答案】不确定【解析】直线a与直线c可能平行、相交或垂直

6.空间中，若直线l与平面α所成角为30°，则直线l与平面α的法线所成角为______【答案】60°【解析】直线与平面所成角是其与法线所成角的余角

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点，则EF与平面ABB1A1的位置关系是______【答案】垂直【解析】EF⊥平面ABB1A1，因为EF⊥BB1且EF⊥AB

8.已知正四面体ABCD的棱长为a，则其高为______【答案】a/√3【解析】正四面体高为√a^2-a√3/3^2=a/√3

四、判断题（每题2分，共20分）

1.三点确定一个平面（）【答案】（×）【解析】不在同一直线上的三点确定一个平面

2.两条平行直线确定一个平面（）【答案】（√）【解析】根据平面基本性质，两条平行直线确定一个平面

3.一条直线和直线外一点确定一个平面（）【答案】（√）【解析】根据平面基本性质，一条直线和直线外一点确定一个平面

4.三个共线的点确定一个平面（）【答案】（√）【解析】三个共线的点确定无数个平面

5.垂直于同一直线的两条直线互相平行（）【答案】（√）【解析】垂直于同一直线的两条直线互相平行

6.过一点有无数条直线与已知直线垂直（）【答案】（√）【解析】过一点有无数条直线与已知直线垂直，构成一个平面

7.三条共点但不共面的直线两两相交（）【答案】（√）【解析】三条共点但不共面的直线两两相交

8.直线与平面所成角是其与法线所成角的余角（）【答案】（√）【解析】直线与平面所成角是其与法线所成角的余角

9.连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形（）【答案】（√）【解析】根据三角形中位线定理，连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形

10.正四面体的高为棱长的一半（）【答案】（×）【解析】正四面体高为√a^2-a√3/3^2=a/√3，不为棱长的一半

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述空间四边形的性质【答案】空间四边形没有平行边，其对角线不一定相等，但中点连线平行且等于对角线的一半

2.简述直线与平面所成角的定义【答案】直线与平面所成角是指直线与其在平面上的投影所夹的锐角

3.简述正四面体的性质【答案】正四面体是由四个全等的正三角形面构成的正多面体，其所有棱长都相等

4.简述三角形中位线定理的内容【答案】三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半

5.简述平面基本性质的内容【答案】

（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；

（2）过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面；

（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点，求EF与平面ABB1A1的位置关系【答案】EF⊥平面ABB1A1，因为EF⊥BB1且EF⊥AB具体证明如下取BC中点G，连接EG和FG因为E是BB1的中点，G是BC的中点，所以EG∥B1C且EG=B1C/2；同理，FG∥CD且FG=CD/2因为B1C∥CD，所以EG∥FG，四边形EFGG1是平行四边形，故EF⊥平面ABB1A

12.分析空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求四边形EFGH的形状【答案】四边形EFGH是平行四边形具体证明如下取AC中点M，连接EM和FM因为E是AB的中点，M是AC的中点，所以EM∥BC且EM=BC/2；同理，FM∥AD且FM=AD/2因为BC∥AD，所以EM∥FM，四边形EMFG是平行四边形同理，四边形FGH1也是平行四边形，故四边形EFGH是平行四边形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求对角线AC1与平面ABB1A1所成角的大小【答案】AC1与平面ABB1A1所成角为45°具体计算如下取A1B中点E，连接CE因为A1B⊥平面ABB1A1，所以AC1与CE所成角为AC1与平面ABB1A1所成角在正方体中，AE=AB/2=a/2，AC=√2a，CE=√AE^2+AC^2=√a^2/4+2a^2=√9a^2/4=3a/2所以tanAC1与平面ABB1A1所成角=AE/CE=a/3a/2=2/3，故AC1与平面ABB1A1所成角为arctan2/3≈

36.87°

2.已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求四边形EFGH的面积【答案】四边形EFGH的面积为ABCD面积的一半具体计算如下设ABCD的面积为S，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，所以四边形EFGH的面积是ABCD面积的一半，即EFGH的面积为S/2。