高等数学易错选择题及答案讲解

高等数学易错选择题及答案讲解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=3xD.y=x^3【答案】A【解析】y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→0sinx/x的值为（）A.0B.1C.∞D.-1【答案】B【解析】根据基本极限公式，limx→0sinx/x=

13.函数fx=lnx在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x+1D.y=-x-1【答案】A【解析】fx=1/x，f1=1，切线方程为y-f1=f1x-1，即y=x-

14.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/n^4【答案】B【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p当p1时收敛，故B收敛

5.函数fx=e^x的麦克劳林展开式中x^3项的系数为（）A.1B.1/2C.1/6D.1/3【答案】C【解析】e^x的麦克劳林展开式为∑n=0to∞x^n/n!，x^3项系数为1/

66.下列向量组中，线性无关的是（）A.1,0,1B.1,1,1C.0,1,1D.1,1,0【答案】D【解析】向量组线性无关当且仅当其行列式不为0，D的行列式为-1≠

07.矩阵A=1,2;3,4的逆矩阵为（）A.-4,2;3,-1B.4,-2;-3,1C.-1,2;3,-4D.1,-2;-3,4【答案】A【解析】A的行列式为-2，逆矩阵为1/detA伴随矩阵，计算得A

8.下列积分中，值为0的是（）A.∫0toπsinxdxB.∫0to2πcosxdxC.∫0toπ/2sinxdxD.∫0to1xdx【答案】B【解析】B的积分区间为半周期，cos函数正负面积抵消

9.下列方程中，不是微分方程的是（）A.y+3y-2y=0B.y+y=xC.y=2x+1D.y-4y=x^2【答案】C【解析】C是普通方程，不含导数

10.下列变换中，不是正交变换的是（）A.旋转矩阵B.反射矩阵C.投影矩阵D.缩放矩阵【答案】D【解析】缩放矩阵改变长度，不是正交变换

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.y=x^3B.y=|x|C.y=x^2D.y=3x【答案】C、D【解析】C、D在x=0处导数为0，可导

2.下列级数中，发散的有（）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/n^3【答案】A、C【解析】A条件收敛，C发散

3.下列向量组中，线性相关的有（）A.1,0,1B.1,1,1C.0,1,1D.1,1,0【答案】A、B【解析】A、B行列式为0，线性相关

4.下列积分中，值为π的有（）A.∫0toπsinxdxB.∫0to2πcosxdxC.∫0toπ/2sinxdxD.∫0to1xdx【答案】A、C【解析】A、C积分值为π/2，乘2为π

5.下列方程中，有通解的有（）A.y+3y-2y=0B.y+y=xC.y=2x+1D.y-4y=x^2【答案】A、B【解析】C是特解，A、B有通解

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=e^x的n阶导数f^nx的值为______【答案】e^x【解析】e^x的任何阶导数仍为e^x

2.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和S_n的极限为______【答案】1【解析】等比数列求和，极限为1/1-1/2=

13.向量1,2,3与1,-1,1的夹角θ满足cosθ=______【答案】-1/3【解析】cosθ=11+2-1+31/sqrt1^2+2^2+3^2sqrt1^2+-1^2+1^2=-1/

34.矩阵A=1,2;3,4的特征值为______和______【答案】-1和2【解析】解detA-λI=0得λ=-1和

25.微分方程y-y=0的通解为______【答案】c_1e^x+c_2e^-x【解析】特征方程r^2-1=0得r=±1，通解为c_1e^x+c_2e^-x

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在x=0处可导（）【答案】（√）【解析】f0=20=0，可导

2.级数∑n=1to∞-1^n/n是绝对收敛的（）【答案】（×）【解析】绝对值级数∑n=1to∞1/n发散，原级数条件收敛

3.向量1,0,0和0,1,0是线性无关的（）【答案】（√）【解析】两个非零向量线性无关

4.矩阵A=1,0;0,1是正交矩阵（）【答案】（√）【解析】A^TA=I，是正交矩阵

5.微分方程y+y=0的解是y=sinx（）【答案】（×）【解析】y=sinx是特解，通解为c_1sinx+c_2cosx

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数在某点可导的几何意义【答案】函数在某点可导的几何意义是曲线在该点有切线，且切线斜率等于函数在该点的导数

2.简述正交变换的性质【答案】正交变换保持向量长度和向量间夹角不变，其矩阵的列向量是两两正交的单位向量

3.简述微分方程通解的概念【答案】微分方程的通解是包含任意常数的解，该解能表示方程的所有解

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在x=0处的极值【答案】fx=3x^2-3，f0=0；fx=6x，f0=0需用高阶导数，f0=6≠0，故x=0处为拐点，非极值点

2.分析矩阵A=1,2;3,4的特征值和特征向量【答案】detA-λI=0得λ^2-5λ-6=0，解得λ=-1和6对应λ=-1，A+Ix=0得特征向量k_11,-1^T；对应λ=6，A-6Ix=0得特征向量k_2-2,1^T

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求其在区间[0,3]上的最大值和最小值【答案】fx=2x-2，f1=0比较f0=3，f1=2，f3=6，最大值为6，最小值为

22.已知向量组{1,0,1,1,1,0,0,1,1}，求其秩并判断是否线性相关【答案】矩阵=1,0,1;1,1,0;0,1,1，行简化为1,0,1;0,1,-1;0,0,0，秩为2，向量组线性相关。