高考方差测试题及详尽答案解析

高考方差测试题及详尽答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知一组数据5,6,7,8,9的方差为2，则数据10,11,12,13,14的方差为（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】数据10,11,12,13,14比原数据每个数都增加了5，均值也增加了5，但方差不变，仍为2但选项中无正确答案，重新分析数据10,11,12,13,14比原数据每个数都增加了5，均值也增加了5，方差计算公式中平方项不变，因此方差仍为2，但选项中无正确答案，需修正题目

2.设一组数据x1,x2,...,xn的方差为s²，则数据2x1,2x2,...,2xn的方差为（）（2分）A.s²B.2s²C.4s²D.8s²【答案】C【解析】将每个数据都乘以2，均值也乘以2，方差变为原来的4倍，即4s²因此正确答案为C

3.已知样本数据为2,4,6,8,10，则该样本的极差为（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】极差是样本中的最大值减去最小值，即10-2=8因此正确答案为D

4.设一组数据x1,x2,...,xn的均值为μ，方差为s²，则下列说法正确的是（）（2分）A.数据都小于μB.数据都大于μC.数据的平方都小于s²D.数据的平方和大于nμ²【答案】D【解析】根据方差的定义，s²=[x1-μ²+x2-μ²+...+xn-μ²]/n，所以数据的平方和大于nμ²因此正确答案为D

5.已知样本数据为3,4,5,6,7，则该样本的中位数为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】中位数是将数据从小到大排序后位于中间的数，因此该样本的中位数为5因此正确答案为B

6.设一组数据的均值为5，方差为4，则数据-1,5,9,13,17的均值为（）（2分）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】均值为所有数据的总和除以数据的个数，因此数据-1,5,9,13,17的均值为5+9+13+17-1/5=5因此正确答案为A

7.已知样本数据为1,2,3,4,5，则该样本的众数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】无【解析】众数是样本中出现次数最多的数，该样本中每个数都只出现一次，因此没有众数

8.设一组数据x1,x2,...,xn的均值为μ，方差为s²，则下列说法正确的是（）（2分）A.数据都小于μB.数据都大于μC.数据的平方都小于s²D.数据的平方和大于nμ²【答案】D【解析】根据方差的定义，s²=[x1-μ²+x2-μ²+...+xn-μ²]/n，所以数据的平方和大于nμ²因此正确答案为D

9.已知样本数据为2,4,6,8,10，则该样本的平均差为（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】平均差是样本中每个数与均值的差的绝对值的平均数，因此该样本的平均差为2+2+2+2+2/5=2因此正确答案为B

10.设一组数据的均值为5，方差为4，则数据10,15,20,25,30的均值为（）（2分）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】均值为所有数据的总和除以数据的个数，因此数据10,15,20,25,30的均值为10+15+20+25+30/5=20因此正确答案为D

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于方差的描述，正确的是（）（4分）A.方差越大，数据的波动越大B.方差越小，数据的波动越小C.方差是数据偏离均值的平方和的平均数D.方差是数据偏离均值的绝对值的平均数【答案】A、B、C【解析】方差是数据偏离均值的平方和的平均数，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小因此正确答案为A、B、C

2.下列关于中位数的描述，正确的是（）（4分）A.中位数是将数据从小到大排序后位于中间的数B.中位数不受极端值的影响C.中位数是数据出现次数最多的数D.中位数是数据的平均值【答案】A、B【解析】中位数是将数据从小到大排序后位于中间的数，不受极端值的影响因此正确答案为A、B

3.下列关于众数的描述，正确的是（）（4分）A.众数是样本中出现次数最多的数B.众数可能不存在C.众数是数据的平均值D.众数不受极端值的影响【答案】A、B【解析】众数是样本中出现次数最多的数，可能不存在因此正确答案为A、B

4.下列关于极差的描述，正确的是（）（4分）A.极差是样本中的最大值减去最小值B.极差不受极端值的影响C.极差是数据的平均值D.极差可以反映数据的波动程度【答案】A、D【解析】极差是样本中的最大值减去最小值，可以反映数据的波动程度因此正确答案为A、D

5.下列关于平均差的描述，正确的是（）（4分）A.平均差是样本中每个数与均值的差的绝对值的平均数B.平均差不受极端值的影响C.平均差是数据的平均值D.平均差可以反映数据的波动程度【答案】A、D【解析】平均差是样本中每个数与均值的差的绝对值的平均数，可以反映数据的波动程度因此正确答案为A、D

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设一组数据x1,x2,...,xn的均值为μ，方差为s²，则数据μ+1,μ+2,...,μ+n的方差为______（4分）【答案】s²【解析】将每个数据都增加μ，均值也增加μ，方差不变，仍为s²

2.已知样本数据为1,2,3,4,5，则该样本的方差为______（4分）【答案】2【解析】方差s²=[1-3²+2-3²+3-3²+4-3²+5-3²]/5=[4+1+0+1+4]/5=

23.设一组数据的均值为10，方差为9，则数据20,30,40,50,60的方差为______（4分）【答案】36【解析】将每个数据都乘以2，均值也乘以2，方差变为原来的4倍，即9×4=

364.已知样本数据为2,4,6,8,10，则该样本的极差为______（4分）【答案】8【解析】极差是样本中的最大值减去最小值，即10-2=

85.设一组数据的均值为5，方差为4，则数据-5,5,15,25,35的方差为______（4分）【答案】36【解析】将每个数据都增加10，均值也增加10，方差不变，仍为4，但数据范围变大，因此方差为4×9=36

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数小（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.如果一组数据的方差为0，则这组数据中所有数都相等（）（2分）【答案】（√）【解析】方差为0意味着所有数据与均值的差的平方和为0，因此所有数据都相等

3.中位数是数据出现次数最多的数（）（2分）【答案】（×）【解析】中位数是将数据从小到大排序后位于中间的数，众数才是数据出现次数最多的数

4.极差是数据中的最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】极差是数据中的最大值减去最小值，不是最大值本身

5.平均差是数据偏离均值的绝对值的平均数（）（2分）【答案】（√）【解析】平均差是数据偏离均值的绝对值的平均数

五、简答题（每题5分，共10分）

1.简述方差在统计学中的意义（5分）【答案】方差是统计学中用来描述数据离散程度的一个重要指标方差越大，数据的波动越大，数据的分布越分散；方差越小，数据的波动越小，数据的分布越集中方差在统计学中广泛应用于数据分析、统计推断、质量控制等多个领域

2.简述如何计算一组数据的平均差（5分）【答案】计算一组数据的平均差的步骤如下

（1）计算数据的均值；

（2）计算每个数据与均值的差的绝对值；

（3）将所有差的绝对值相加；

（4）将差的绝对值的总和除以数据的个数，得到平均差

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知样本数据为1,2,3,4,5，计算该样本的均值、方差、中位数、众数和极差，并分析数据的分布特征（10分）【答案】

（1）均值μ=1+2+3+4+5/5=3；

（2）方差s²=[1-3²+2-3²+3-3²+4-3²+5-3²]/5=[4+1+0+1+4]/5=2；

（3）中位数将数据从小到大排序后位于中间的数，即3；

（4）众数该样本中每个数都只出现一次，因此没有众数；

（5）极差最大值减去最小值，即5-1=4数据分布特征数据分布较为均匀，没有明显的偏态或峰态，数据的波动程度适中

2.已知一组数据的均值为10，方差为9，数据个数为5，计算数据20,30,40,50,60的均值、方差、中位数、众数和极差，并分析数据的分布特征（10分）【答案】

（1）均值μ=20+30+40+50+60/5=40；

（2）方差s²=9×4=36；

（3）中位数将数据从小到大排序后位于中间的数，即40；

（4）众数该样本中每个数都只出现一次，因此没有众数；

（5）极差最大值减去最小值，即60-20=40数据分布特征数据分布较为均匀，没有明显的偏态或峰态，数据的波动程度较大

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知一组数据为5,7,9,11,13,15,17，计算该样本的均值、方差、中位数、众数和极差，并分析数据的分布特征在此基础上，假设数据集增加了两个数值，分别为3和19，重新计算新数据集的均值、方差、中位数、众数和极差，并分析数据的分布特征的变化（25分）【答案】原数据集

（1）均值μ=5+7+9+11+13+15+17/7=11；

（2）方差s²=[5-11²+7-11²+9-11²+11-11²+13-11²+15-11²+17-11²]/7=[36+16+4+0+4+16+36]/7=16；

（3）中位数将数据从小到大排序后位于中间的数，即11；

（4）众数该样本中每个数都只出现一次，因此没有众数；

（5）极差最大值减去最小值，即17-5=12数据分布特征数据分布较为均匀，没有明显的偏态或峰态，数据的波动程度适中新数据集

（1）均值μ=3+5+7+9+11+13+15+17+19/9=11；

（2）方差s²=[3-11²+5-11²+7-11²+9-11²+11-11²+13-11²+15-11²+17-11²+19-11²]/9=[64+36+16+4+0+4+16+36+64]/9=32；

（3）中位数将数据从小到大排序后位于中间的数，即11；

（4）众数该样本中每个数都只出现一次，因此没有众数；

（5）极差最大值减去最小值，即19-3=16数据分布特征的变化增加两个数值后，数据的波动程度增大，数据的分布范围变大，数据的分布不再均匀，出现了偏态。