三年竞赛真题剖析与答案呈现

三年竞赛真题剖析与答案呈现

一、单选题（每题1分，共20分）

1.在数学竞赛中，下列哪个概念不属于代数范畴？（）A.多项式B.方程C.函数D.向量【答案】D【解析】向量属于几何范畴，多项式、方程和函数都属于代数范畴

2.一个凸多边形内角和为720°，则该多边形边数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】凸多边形内角和公式为n-2×180°，720°=n-2×180°，解得n=8，但选项中无8，重新检查题意，应为720=n-2×180，解得n=

63.下列哪个数是无理数？（）A.

0.

333...B.

0.25C.

1.5D.√2【答案】D【解析】无理数是不能表示为两个整数之比的数，√2是无理数

4.在直角坐标系中，点2,3关于y轴对称的点的坐标是（）A.2,-3B.-2,3C.-2,-3D.3,2【答案】B【解析】关于y轴对称，x坐标变号，y坐标不变

5.一个圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为（）A.12πB.15πC.18πD.20π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，l为母线长，l=√r^2+h^2=√3^2+4^2=5，侧面积为π×3×5=15π，但选项中无15π，重新检查题意，应为π×3×√3^2+4^2=15π

6.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】二次函数图像开口方向由a决定，a0开口向上

7.一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则其底角大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】设底角为θ，由余弦定理cosθ=6^2+5^2-5^2/2×6×5=1/2，θ=60°，但题目问底角，两个底角相等，故为30°

8.在直角三角形中，若两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（）A.5B.7C.8D.9【答案】A【解析】勾股定理a^2+b^2=c^2，3^2+4^2=9+16=25，c=

59.一个圆的周长为12π，则其面积为（）A.36πB.144πC.36D.144【答案】A【解析】周长C=2πr，r=6，面积A=πr^2=36π

10.若a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值为（）A.13B.25C.31D.35【答案】C【解析】a+b^2=a^2+b^2+2ab，25=a^2+b^2+12，a^2+b^2=

1311.一个圆柱的底面半径为2，高为3，则其体积为（）A.12πB.16πC.20πD.24π【答案】D【解析】体积V=πr^2h=π×2^2×3=12π，但选项中无12π，重新检查题意，应为π×2^2×3=12π

12.一个等差数列的首项为1，公差为2，则第10项为（）A.19B.20C.21D.22【答案】C【解析】第n项a_n=a_1+n-1d，a_10=1+10-1×2=

2113.一个等比数列的首项为2，公比为3，则第5项为（）A.18B.24C.36D.54【答案】D【解析】第n项a_n=a_1q^n-1，a_5=2×3^5-1=

5414.在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C为（）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-60°-45°=75°

15.一个正方体的棱长为3，则其表面积为（）A.27B.54C.81D.108【答案】B【解析】表面积6×3^2=

5416.若函数fx=x^2-4x+3，则其顶点坐标为（）A.2,-1B.2,1C.-2,-1D.-2,1【答案】A【解析】顶点坐标-b/2a,-Δ/4a，即--4/2×1,-4^2-4×1×3/4×1=2,-

117.在直角坐标系中，点1,2关于原点对称的点的坐标是（）A.-1,-2B.-1,2C.1,-2D.2,-1【答案】A【解析】关于原点对称，x、y坐标均变号

18.一个圆的半径为4，则其面积与周长之比为（）A.1:1B.2:1C.4:1D.8:1【答案】B【解析】面积πr^2=16π，周长2πr=8π，比值为2:

119.若a0，b0，则下列不等式正确的是（）A.a+b0B.a-b0C.ab0D.a/b0【答案】B【解析】a-b=a+-b，-b0，故a-b

020.一个正五边形的内角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°【答案】C【解析】内角和公式n-2×180°，5-2×180°=540°

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些数是有理数？（）A.

0.5B.

0.25C.

1.

333...D.√3E.π【答案】A、B、C【解析】有理数是可以表示为两个整数之比的数，

0.

5、

0.

25、

1.

333...都是有理数，√

3、π是无理数

2.以下哪些命题是真命题？（）A.相似三角形的对应角相等B.全等三角形的对应边相等C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角都是直角的四边形是正方形E.有两个角相等的三角形是等腰三角形【答案】A、B、E【解析】相似三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等，有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，四个角都是直角的四边形不一定是正方形

3.以下哪些函数是偶函数？（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=|x|D.fx=sinxE.fx=cosx【答案】A、C、E【解析】偶函数满足f-x=fx，x^

2、|x|、cosx是偶函数，x^

3、sinx不是偶函数

4.以下哪些图形是中心对称图形？（）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆E.正五边形【答案】B、C、D【解析】正方形、矩形、圆是中心对称图形，等腰三角形、正五边形不是

5.以下哪些命题是真命题？（）A.一个数的平方根有两个B.一个数的绝对值非负C.两个负数相加，和为正数D.两个负数相乘，积为正数E.两个负数相除，商为正数【答案】B、D、E【解析】一个数的平方根有两个（正负），一个数的绝对值非负，两个负数相乘、相除，积商为正数是真命题，两个负数相加，和为负数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在直角坐标系中，点3,4关于x轴对称的点的坐标是______（4分）【答案】3,-4【解析】关于x轴对称，x坐标不变，y坐标变号

2.一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为______（4分）【答案】14【解析】第n项a_n=a_1+n-1d，a_5=2+5-1×3=

143.一个等比数列的首项为5，公比为2，则第4项为______（4分）【答案】40【解析】第n项a_n=a_1q^n-1，a_4=5×2^4-1=

404.一个圆的半径为6，则其面积为______（4分）【答案】36π【解析】面积A=πr^2=π×6^2=36π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，和为有理数

2.一个三角形的内角和总是180°（）【答案】（×）【解析】只有平面三角形的内角和是180°，立体几何中三角形内角和大于180°

3.一个数的平方根一定有两个（）【答案】（×）【解析】0的平方根只有一个，即

04.两个正数相乘，积一定是正数（）【答案】（√）【解析】正数乘积为正数

5.两个负数相除，商一定是负数（）【答案】（√）【解析】负数除以负数，商为正数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^2-4x+3的顶点坐标和对称轴方程（5分）【答案】顶点坐标2,-1，对称轴方程x=2【解析】顶点坐标-b/2a,-Δ/4a，即--4/2×1,-4^2-4×1×3/4×1=2,-1，对称轴方程x=-b/2a=x=

22.求等差数列3,7,11,...的第10项（5分）【答案】第10项=3+10-1×4=39【解析】首项a_1=3，公差d=7-3=4，第n项a_n=a_1+n-1d，a_10=3+10-1×4=

393.求等比数列2,4,8,...的第6项（5分）【答案】第6项=2×2^6-1=64【解析】首项a_1=2，公比q=4/2=2，第n项a_n=a_1q^n-1，a_6=2×2^6-1=64

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^2-4x+3的单调区间（10分）【答案】函数fx=x^2-4x+3的图像是开口向上的抛物线，顶点坐标2,-1，对称轴方程x=2在-∞,2区间内，函数单调递减；在2,+∞区间内，函数单调递增

2.分析等差数列3,7,11,...的前n项和公式（10分）【答案】等差数列3,7,11,...的首项a_1=3，公差d=7-3=4，前n项和公式S_n=n/2[2a_1+n-1d]代入得S_n=n/2[2×3+n-1×4]=n/26+4n-4=n/24n+2=2n^2+n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.一个圆锥的底面半径为3，高为4，求其侧面积和体积（25分）【答案】侧面积l=√r^2+h^2=√3^2+4^2=5，侧面积=πrl=π×3×5=15π体积V=1/3πr^2h=1/3π×3^2×4=12π

2.一个等差数列的首项为2，公差为3，求其前10项和（25分）【答案】前n项和公式S_n=n/2[2a_1+n-1d]，代入n=10，a_1=2，d=3S_10=10/2[2×2+10-1×3]=5[4+27]=5×31=155。