专升本高数三试卷及答案全解

专升本高数三试卷及答案全解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限中，发散的是（）A.limx→0sinx/xB.limx→∞1/xC.limx→1x^2-1/x-1D.limx→0e^x-1/x【答案】B【解析】limx→∞1/x=0，其他三个极限均存在且为有限值

2.函数fx=|x|在x=0处不可导，但连续，这表明（）A.可导必连续B.连续必可导C.可导不一定连续D.连续不一定可导【答案】D【解析】函数在一点连续不一定在该点可导，如绝对值函数在x=0处

3.函数fx=x^3-3x+2的极值点为（）A.x=1B.x=-1C.x=1和x=-1D.x=0【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，且f1=-60，f-1=

604.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞n/n+1【答案】B【解析】p-级数当p1时收敛，此处p=

25.设函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=fb-fa/b-aB.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=0D.fξ=0【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理

6.函数fx=sinx的麦克劳林展开式的前三项为（）A.x-x^3/6+x^5/120B.x-x^2/2+x^3/6C.x-x^2/2-x^3/6D.x+x^2/2+x^3/6【答案】A【解析】sinx的泰勒展开式为x-x^3/6+x^5/120+...

7.设z=fx,y，若∂z/∂x在点x0,y0存在，则（）A.∂z/∂y在点x0,y0存在B.∂z/∂y在点x0,y0不一定存在C.dz在点x0,y0存在D.dz在点x0,y0不一定存在【答案】B【解析】一个变量可偏导不一定两个变量都可偏导

8.函数fx=e^-x^2在[-1,1]上的最小值是（）A.0B.e^-1C.1D.e^-2【答案】A【解析】fx=-2xe^-x^2，令fx=0得x=0，f0=1，f-1=f1=e^-

19.设函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=fb-fa/b-aB.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=0D.fξ=0【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理

10.函数fx=arctanx的导数为（）A.1/1+x^2B.-1/1+x^2C.x/1+x^2D.-x/1+x^2【答案】A【解析】arctanx的导数为1/1+x^2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时是无穷小量的有（）A.sinxB.x^2C.e^x-1D.tanxE.1/x【答案】A、B、C、D【解析】无穷小量是极限为0的变量，1/x极限为无穷大

2.关于函数fx=x^3-ax+1在区间[-1,1]上的说法正确的有（）A.至少存在一个ξ∈-1,1，使得fξ=0B.fx在[-1,1]上必有最大值和最小值C.fx在[-1,1]上单调递增D.fx=3x^2-a，若a3，则fx在[-1,1]上无零点【答案】B、D【解析】根据闭区间上连续函数的性质和导数判断单调性

3.关于向量函数fx,y=x^2i+y^2j，下列说法正确的有（）A.fx,y是二元函数B.∇fx,y在任意点存在C.fx,y在原点处不可微D.fx,y在任意点都可微【答案】A、B【解析】向量函数不是普通函数，梯度在任意点存在

4.关于定积分∫[a,b]fxdx，下列说法正确的有（）A.若fx在[a,b]上连续，则定积分存在B.若fx在[a,b]上可积，则定积分存在C.若fx在[a,b]上黎曼可积，则定积分存在D.若fx在[a,b]上黎曼不可积，则定积分不存在【答案】A、B、C、D【解析】这些都是定积分的基本性质

5.关于级数∑n=1to∞u_n，下列说法正确的有（）A.若级数收敛，则u_n→0B.若u_n→0，则级数收敛C.若级数绝对收敛，则级数条件收敛D.若级数条件收敛，则级数绝对收敛【答案】A【解析】收敛级数的必要条件是通项趋于0，其他选项不成立

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设函数fx在x=0处可导，且f0=0，若limx→0fx/x=2，则f0=______【答案】2【解析】根据导数定义

2.级数∑n=1to∞1/nn+1的求和结果是______【答案】1【解析】用部分分式分解后求和

3.函数fx=x^2在[1,2]上的定积分∫[1,2]x^2dx的值是______【答案】7/3【解析】计算定积分

4.设函数z=fx,y在点x0,y0处偏导数存在，若fx,y在点x0,y0处可微，则必有______【答案】∂²f/∂x²和∂²f/∂y²在点x0,y0处存在【解析】可微函数的充分条件

5.函数fx=sinx的n阶麦克劳林展开式中，x^5的系数是______【答案】-1/120【解析】计算泰勒系数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有界（）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在0,1上连续但无界

2.若级数∑n=1to∞u_n收敛，则级数∑n=1to∞|u_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】收敛级数不一定绝对收敛

3.若函数fx在点x0处可微，则fx在点x0处必连续（）【答案】（√）【解析】可微必连续

4.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则fx在区间[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】根据闭区间上连续函数性质

5.若函数fx在点x0处取得极值，且fx在点x0处可导，则必有fx0=0（）【答案】（√）【解析】根据费马定理

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述洛必达法则的适用条件【答案】洛必达法则适用于0/0型或∞/∞型未定式，且要求分子分母导数存在且极限存在或为无穷大

2.简述函数fx在区间I上可微与连续的关系【答案】可微必连续，连续不一定可微可微是连续的充分条件

3.简述定积分∫[a,b]fxdx的几何意义【答案】定积分表示函数fx在区间[a,b]上的曲边梯形面积（fx≥0时）或代数面积之和

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，证明∫[a,b]√fxdx≤√∫[a,b]fxdx【证明】令Ft=∫[a,t]√fxdx，Gt=∫[a,t]fxdx，则Ft=√ft，Gt=ft，由柯西不等式得Ft^2≤GtFt在[a,b]上成立，两边积分得结论

2.设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，证明若∫[a,b]fxdx=1，则对任意x∈[a,b]，有∫[a,x]ftdt≥0【证明】根据定积分的性质，若fx≥0，则∫[a,x]ftdt为非负函数，且当x=a时值为0，当x=b时值为1，故对任意x∈[a,b]，有∫[a,x]ftdt≥0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在[-2,3]上的最大值和最小值【解】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f-2=-16，f0=2，f2=-2，f3=0，故最大值为2，最小值为-

162.计算定积分∫[0,π/2]sin^3xdx【解】∫[0,π/2]sin^3xdx=∫[0,π/2]sinx1-cos^2xdx=∫[0,π/2]sinxdx-∫[0,π/2]sinxcos^2xdx=[-cosx][0,π/2]-∫[0,π/2]sinx1-sin^2xdx=1-∫[0,π/2]sinxdx+∫[0,π/2]sin^3xdx令I=∫[0,π/2]sin^3xdx，则I=1-[-cosx][0,π/2]+I，解得I=1/4，故原积分值为1/4---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.C

4.B

5.B

6.A

7.B

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.B、D

3.A、B

4.A、B、C、D

5.A

三、填空题

1.

22.

13.7/

34.∂²f/∂x²和∂²f/∂y²在点x0,y0处存在

5.-1/120

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。