专科高数下册模拟试题及答案

专科高数下册模拟试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数y=lnx^2+1在区间-1,1上的单调性是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】y=2x/x^2+1，在-1,1上，y始终大于0，故单调递增

2.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

13.级数∑n=1to∞1/2^n的和是（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】等比级数求和公式，首项为1/2，公比为1/2，和为1/1-1/2=

14.微分方程y-y=0的通解是（）（2分）A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=2e^xD.y=Ce^2x【答案】A【解析】一阶线性齐次微分方程，通解为Ce^∫-1dx=Ce^-x

5.函数fx=x^3-3x在x=1处的极值是（）（2分）A.极大值2B.极小值2C.极大值-2D.极小值-2【答案】B【解析】fx=3x^2-3，x=1时f1=0，f1=60，故x=1处有极小值f1=-

26.设z=fx,y满足∂z/∂x=2x+y，∂z/∂y=x+3y^2，则fx,y是（）（2分）A.x^2+xy+y^3B.x^2+2xy+y^3C.x^2+xy+3y^2D.x^2+2xy+3y^2【答案】B【解析】fx,y=∫2x+ydx=x^2+xy+gy，代入∂z/∂y=x+gy=x+3y^2，得gy=3y^2，积分得gy=y^3，故fx,y=x^2+2xy+y^

37.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是（）（2分）A.1,-2B.2,-3C.5,-2D.5,-3【答案】C【解析】detλI-A=λ^2-5λ-2=0，解得特征值λ=5±√25+8=5±√

338.若向量a=1,2,3和向量b=2,-1,1的向量积是（）（2分）A.-5,1,5B.1,5,-5C.5,-1,-5D.-1,5,-5【答案】A【解析】a×b=|ijk|=i2×1-3×-1-j1×1-3×2+k1×-1-2×2=i2+3-j1-6+k-1-4=-5,1,

59.抛物线y^2=4x的焦点坐标是（）（2分）A.1,0B.0,1C.-1,0D.0,-1【答案】A【解析】标准形y^2=4px，p=1，焦点坐标为1,

010.在区间[0,π]上，积分∫sinxdx的值是（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】∫sinxdx=-cosx|_0^π=-cosπ--cos0=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时，等价于x的有（）（4分）A.sinxB.tanxC.x^2D.ex-1【答案】A、B、D【解析】sinx、tanx等价于x，x^2等价于x^2，ex-1等价于1+x+x^2/2+...≈x

2.关于向量a=1,1,1和向量b=1,0,1，下列说法正确的有（）（4分）A.a和b平行B.a和b垂直C.a和b的向量积为零向量D.a和b的模长相等【答案】B、C【解析】a·b=1×1+1×0+1×1=2≠0，故不垂直；a×b=|ijk|=i1×1-1×0-j1×1-1×1+k1×0-1×1=-1,0,-1≠0，故不平行；|a|=√3，|b|=√2≠|a|

3.微分方程y-4y=0的通解形式为（）（4分）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=xe^2xC.y=C1e^-2x+C2xe^-2xD.y=C1sin2x+C2cos2x【答案】A【解析】特征方程λ^2-4=0，解得λ=±2√2，通解为y=C1e^2√2x+C2e^-2√2x

4.关于矩阵的秩，下列说法正确的有（）（4分）A.矩阵的秩等于其行向量组的秩B.矩阵的秩等于其列向量组的秩C.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数D.矩阵经初等行变换后秩不变【答案】A、B、C、D【解析】矩阵的秩是其行秩和列秩的公共部分，等于非零子式的最高阶数，初等行变换不改变秩

5.关于定积分的应用，下列说法正确的有（）（4分）A.定积分可用于计算曲线围成的面积B.定积分可用于计算旋转体的体积C.定积分可用于计算曲线的弧长D.定积分可用于计算物体的功【答案】A、B、C、D【解析】定积分有多种几何和物理应用，包括面积、体积、弧长、功等

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，x≥

12.若limx→2fx-3/x=2，则f2的值是______（4分）【答案】7【解析】fx-3≈2x，x=2时f2-3=4，f2=

73.微分方程y-3y=0的通解是______（4分）【答案】y=Ce^3x【解析】特征方程λ-3=0，解得λ=3，通解为Ce^3x

4.若向量a=1,2和向量b=3,4，则向量a和向量b的夹角θ满足cosθ=______（4分）【答案】-3/5【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×4/√1^2+2^2√3^2+4^2=-3/

55.曲线y=e^x在点1,e处的切线方程是______（4分）【答案】y-e=x-1【解析】y=e^x，x=1时y=e，切线方程y-e=ex-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则∫fxdx一定是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x^3，∫x^3dx=x^4/4+C，不是偶函数

2.级数∑n=1to∞1/n是收敛的（）（2分）【答案】（×）【解析】调和级数发散

3.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则它在a,b上必有极值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在0,1上无极值

4.矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为零（）（2分）【答案】（√）【解析】方阵可逆当且仅当detA≠

05.若向量a和向量b垂直，则|a+b|=|a|+|b|（）（2分）【答案】（√）【解析】|a+b|^2=|a|^2+|b|^2，故|a+b|=√|a|^2+|b|^2=|a|+|b|

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=2x^3-3x^2+1的极值点（5分）【答案】x=1/2为极大值点，x=1为极小值点【解析】y=6x^2-6x=6xx-1，令y=0得x=0或x=1，y=12x-6，x=1/2时y=-30，x=1时y=60，故x=1/2为极大值点，x=1为极小值点

2.求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量（5分）【答案】特征值为λ1=5+√33，λ2=5-√33；特征向量分别为对应特征值解齐次方程的解【解析】detλI-A=λ^2-5λ-2=0，解得λ=5±√33，分别代入λI-Ax=0，解得对应特征向量

3.求由曲线y=x^2和y=1围成的平面图形的面积（5分）【答案】面积S=1/3【解析】交点x=-1和x=1，S=∫-1to11-x^2dx=[x-x^3/3]_-1^1=2--2/3=4/3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析级数∑n=1to∞n/n+1^2的收敛性（10分）【答案】级数收敛【解析】n/n+1^21/n^2，比较法，∑1/n^2是p-级数，p=21，收敛，故原级数收敛

2.分析函数fx=x^3-3x在[-2,2]上的单调性和极值（10分）【答案】单调增[-2,-1，单调减-1,1，单调增1,2]；极大值f-1=2，极小值f1=-2【解析】f=3x^2-3=3x+1x-1，在-2,-1和1,2上f0，单调增；在-1,1上f0，单调减；x=-1时f-1=60，极大值；x=1时f1=-60，极小值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数y=fx满足微分方程y-y=2x，且f0=1，求fx的表达式并求∫fxe^-xdx（25分）【答案】fx=2x+1，∫fxe^-xdx=-e^-x2x+3+C【解析】微分方程y-y=2x，通解y=Ce^x+2x+1，f0=1，得C=1，fx=2x+1；令I=∫2x+1e^-xdx，分部积分得I=-2x+3e^-x+2∫e^-xdx=-e^-x2x+3-2e^-x+C=-e^-x2x+3+C

2.已知向量a=1,2,3，向量b=2,1,0，向量c=0,1,1，求

（1）向量a、b、c的混合积；

（2）以向量a、b、c为邻边的平行六面体的体积（25分）【答案】

（1）混合积-1；

（2）体积√6【解析】

（1）[abc]=det[[1,2,3],[2,1,0],[0,1,1]]=1×1×1-0×1-2×2×1-0×0+3×2×1-1×0=-1；

（2）体积=|[abc]|=|-1|=1，平行六面体体积=|[abc]|√|a|^2|b|^2|c|^2-2a·bb·cc·a=√14×1×2-2×2×1×3=√6。