中考开放性试题展示与答案探讨

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.如图，在一个由边长为1的正方形组成的网格中，点A、B、C、D的坐标分别为A（1，1）、B（3，2）、C（5，4）、D（7，5），则四边形ABCD的面积是（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】四边形ABCD可以分解为一个边长为2的正方形和一个边长为2的正方形的一半，因此面积为

62.某工厂生产一种产品，每月固定支出为5000元，每件产品的生产成本为10元，售价为20元设每月生产量为x件，则月利润y（元）与生产量x（件）之间的函数关系式为（）（2分）A.y=10x-5000B.y=20x-5000C.y=20x-10x-5000D.y=10x+5000【答案】C【解析】月利润等于月收入减去月支出，月收入为20x元，月支出为5000+10x元，因此月利润y=20x-5000+10x=20x-10x-

50003.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为（）（2分）A.15πcm²B.20πcm²C.30πcm²D.24πcm²【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，因此侧面积为π×3×5=15πcm²

4.函数y=3x²-4x+1的图像的对称轴是（）（2分）A.x=-2B.x=2C.x=-1/2D.x=1/2【答案】D【解析】二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/2a，因此对称轴为x=--4/2×3=2/3，即x=1/

25.若x²+mx+1可以分解为x+1x+n，则m的值为（）（2分）A.-2B.-1C.0D.1【答案】A【解析】展开x+1x+n得到x²+n+1x+n，与x²+mx+1比较系数，得到m=n+1，且n=1，因此m=

26.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是（）（2分）A.75°B.65°C.45°D.35°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，因此∠C=180°-45°-60°=75°

7.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（2，-3），则k的值是（）（2分）A.-6B.6C.-3D.3【答案】A【解析】将点（2，-3）代入反比例函数y=k/x，得到-3=k/2，解得k=-

68.一个不透明的袋子里有5个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（）（2分）A.1/2B.3/5C.5/8D.5/3【答案】C【解析】摸到红球的概率为红球数除以总球数，即5/5+3=5/

89.已知一组数据3，4，x，6，7的众数是4，则这组数据的平均数是（）（2分）A.4B.5C.

4.5D.

5.5【答案】B【解析】众数是出现次数最多的数，因此x=4，平均数为3+4+4+6+7/5=

510.若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】C【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，当且仅当判别式Δ=0，即-2²-4×1×m=0，解得m=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=x²B.y=2x+1C.y=1/xD.y=-x²+1【答案】B【解析】y=x²在x≥0时是增函数，y=2x+1在整个定义域内是增函数，y=1/x在整个定义域内是减函数，y=-x²+1在x≤0时是增函数

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比C.一元二次方程x²-3x+2=0的解是x=1或x=2D.相反数等于本身的数只有0【答案】A、C【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，一元二次方程x²-3x+2=0可以分解为x-1x-2=0，解得x=1或x=2两个相似三角形的周长比等于它们的相似比，不等于面积比相反数等于本身的数只有0和

13.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.平行四边形B.等腰梯形C.角D.线段【答案】B、C、D【解析】等腰梯形、角和线段都是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形

4.下列事件中，是随机事件的有（）（4分）A.抛掷一枚硬币，正面朝上B.从一个装有红、白、黑三种颜色球的袋中随机摸出一个球，摸到红球C.偶数能被2整除D.直角三角形两条腰的长度相等【答案】A、B【解析】抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件从一个装有红、白、黑三种颜色球的袋中随机摸出一个球，可能摸到红球，也可能摸到白球或黑球，是随机事件偶数能被2整除是必然事件直角三角形两条腰的长度相等是等腰直角三角形，不是随机事件

5.下列说法中，正确的有（）（4分）A.一元一次方程3x-2=5的解是x=3B.平方根是一个正数C.不等式2x-13的解集是x2D.圆的半径是圆的直径的一半【答案】A、C、D【解析】一元一次方程3x-2=5解得x=3平方根包括正数和负数，以及0不等式2x-13解得x2圆的半径是圆的直径的一半

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x+2y=5，则2x+4y=______（4分）【答案】10【解析】将x+2y=5两边同时乘以2，得到2x+4y=

102.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______°（4分）【答案】75【解析】三角形内角和为180°，因此∠C=180°-60°-45°=75°

3.若一个圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，则这个圆柱的侧面积是______cm²（4分）【答案】12π【解析】圆柱的侧面积公式为2πrh，其中r为底面半径，h为高，因此侧面积为2π×2×3=12πcm²

4.若x=2是方程x²-3x+k=0的一个根，则k的值是______（4分）【答案】2【解析】将x=2代入方程x²-3x+k=0，得到2²-3×2+k=0，解得k=

25.若函数y=kx+b的图像经过点（1，2）和（3，0），则k的值是______，b的值是______（4分）【答案】-1，3【解析】将点（1，2）和（3，0）代入函数y=kx+b，得到方程组2=k×1+b，0=k×3+b，解得k=-1，b=

36.若一个圆的周长是12πcm，则这个圆的面积是______cm²（4分）【答案】36π【解析】圆的周长公式为2πr，其中r为半径，因此半径为12π/2π=6cm，圆的面积公式为πr²，因此面积为π×6²=36πcm²

7.若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______（4分）【答案】m1【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，当且仅当判别式Δ0，即-2²-4×1×m0，解得m

18.若一个样本数据为5，6，7，8，9，则这个样本的中位数是______，众数是______（4分）【答案】7，无【解析】将样本数据从小到大排序为5，6，7，8，9，中位数为中间的数，即7样本数据中没有重复的数，因此众数不存在

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab，但a²=1，b²=4，因此a²b²不成立

2.一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，5cm，则这个三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】根据勾股定理，3²+4²=5²，因此这个三角形是直角三角形

3.若函数y=kx+b的图像经过第

二、四象限，则k0（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=kx+b的图像经过第

二、四象限，说明图像从左上方向右下方倾斜，因此k

04.若一个圆的半径增加一倍，则它的面积也增加一倍（）（2分）【答案】（×）【解析】圆的面积公式为πr²，其中r为半径，若半径增加一倍，则面积变为π2r²=4πr²，即面积变为原来的四倍

5.若一个样本数据为5，6，7，8，9，则这个样本的方差是0（）（2分）【答案】（×）【解析】样本数据的平均数为5+6+7+8+9/5=7，方差为[5-7²+6-7²+7-7²+8-7²+9-7²]/5=4，因此方差不为

06.若一个圆柱的底面半径和高都增加一倍，则它的体积也增加一倍（）（2分）【答案】（×）【解析】圆柱的体积公式为πr²h，其中r为底面半径，h为高，若底面半径和高都增加一倍，则体积变为π2r²2h=8πr²h，即体积变为原来的八倍

7.若一个样本数据为5，6，7，8，9，则这个样本的极差是4（）（2分）【答案】（×）【解析】样本数据的极差为最大值减去最小值，即9-5=4，因此极差是

48.若一个样本数据为5，6，7，8，9，则这个样本的均值是7（）（2分）【答案】（√）【解析】样本数据的平均数为5+6+7+8+9/5=7，因此均值是

79.若一个圆的周长是12πcm，则这个圆的半径是6cm（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的周长公式为2πr，其中r为半径，因此半径为12π/2π=6cm

10.若一个样本数据为5，6，7，8，9，则这个样本的众数是7（）（2分）【答案】（×）【解析】样本数据中没有重复的数，因此众数不存在

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，求这个圆锥的侧面积和体积（5分）【答案】侧面积15πcm²，体积15π/3cm³【解析】侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，因此侧面积为π×3×5=15πcm²体积公式为1/3πr²h，其中h为高，根据勾股定理，h=√5²-3²=√25-9=√16=4cm，因此体积为1/3π×3²×4=12πcm³

2.已知一个样本数据为5，6，7，8，9，求这个样本的中位数、众数和方差（5分）【答案】中位数7，众数无，方差4【解析】中位数为中间的数，即7样本数据中没有重复的数，因此众数不存在平均数为5+6+7+8+9/5=7，方差为[5-7²+6-7²+7-7²+8-7²+9-7²]/5=

43.已知一个圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，求这个圆柱的表面积和体积（5分）【答案】表面积20πcm²，体积12πcm³【解析】表面积包括侧面积和两个底面积，侧面积公式为2πrh，底面积公式为πr²，因此表面积为2π×2×3+2π×2²=12π+8π=20πcm²体积公式为πr²h，因此体积为π×2²×3=12πcm³

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知一个样本数据为5，6，7，8，9，分析这个样本的分布特征（10分）【答案】这个样本数据是从小到大排列的，数据分布均匀，没有明显的集中趋势，数据的极差为4，方差为4，说明数据的波动性较小【解析】样本数据是从小到大排列的，数据分布均匀，没有明显的集中趋势数据的极差为4，方差为4，说明数据的波动性较小

2.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，分析这个圆锥的几何特征（10分）【答案】这个圆锥的底面是一个半径为3cm的圆，侧面是一个扇形，扇形的半径为5cm，圆心角为360°，圆锥的高为4cm【解析】这个圆锥的底面是一个半径为3cm的圆，侧面是一个扇形，扇形的半径为5cm，圆心角为360°，圆锥的高为4cm，根据勾股定理计算得到

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知一个圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，求这个圆柱的表面积和体积，并分析当底面半径和高都增加一倍时，表面积和体积的变化情况（25分）【答案】原表面积20πcm²，原体积12πcm³，新表面积80πcm²，新体积96πcm³【解析】原表面积包括侧面积和两个底面积，侧面积公式为2πrh，底面积公式为πr²，因此原表面积为2π×2×3+2π×2²=12π+8π=20πcm²原体积公式为πr²h，因此原体积为π×2²×3=12πcm³当底面半径和高都增加一倍，即半径为4cm，高为6cm，新表面积为2π×4×6+2π×4²=48π+32π=80πcm²，新体积为π×4²×6=96πcm³

2.已知一个样本数据为5，6，7，8，9，求这个样本的中位数、众数和方差，并分析这个样本的分布特征（25分）【答案】中位数7，众数无，方差4【解析】中位数为中间的数，即7样本数据中没有重复的数，因此众数不存在平均数为5+6+7+8+9/5=7，方差为[5-7²+6-7²+7-7²+8-7²+9-7²]/5=4这个样本数据是从小到大排列的，数据分布均匀，没有明显的集中趋势，数据的极差为4，方差为4，说明数据的波动性较小。