丰县中学创新班选拔试题及答案解析

丰县中学创新班选拔试题及答案解析

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列哪个数不是实数？（）（1分）A.√2B.πC.-3D.

0.

1010010001...【答案】D【解析】选项A、B、C、D都是实数，其中选项D是无限不循环小数，属于无理数

2.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x到1的距离，在区间[0,2]上，当x=1时取得最小值

13.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3的值是（）（1分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，所以a_3=

54.抛物线y^2=2pxp0的焦点到准线的距离是（）（1分）A.pB.2pC.p/2D.2p^2【答案】A【解析】抛物线焦点到准线的距离等于p

5.若复数z满足|z|=1，则z^2的模是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由复数模的性质|z^n|=|z|^n，所以|z^2|=1^2=

16.下列函数中，在定义域上单调递增的是（）（1分）A.y=-x^2+1B.y=1/xC.y=2^xD.y=lnx【答案】C【解析】指数函数y=2^x在整个实数域上单调递增

7.一个八边形的内角和是（）（1分）A.360°B.540°C.720°D.900°【答案】C【解析】n边形的内角和为n-2×180°，所以八边形的内角和为8-2×180°=720°

8.三角形的三边长分别为

3、

4、5，则该三角形是（）（1分）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】满足勾股定理3^2+4^2=5^2，所以是直角三角形

9.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα的值是（）（1分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由sin^2α+cos^2α=1，且α在第二象限cosα0，所以cosα=-√1-sin^2α=-√3/

210.下列命题中，真命题是（）（1分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个真命题的与仍是真命题D.两个假命题的或是假命题【答案】C【解析】命题逻辑中，真命题与真命题的与仍是真命题

11.若向量a=1,2，b=3,-4，则a·b的值是（）（1分）A.-5B.5C.11D.-11【答案】A【解析】向量数量积a·b=1×3+2×-4=-

512.下列不等式成立的是（）（1分）A.-2^31B.|-3||-2|C.√

21.5D.0-1^21【答案】D【解析】011显然成立

13.若函数fx是奇函数，且f1=2，则f-1的值是（）（1分）A.2B.-2C.0D.1【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

214.下列图形中，不是轴对称图形的是（）（1分）A.等腰梯形B.正五边形C.圆D.平行四边形【答案】D【解析】平行四边形不是轴对称图形

15.若直线y=kx+1与圆x-1^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）（1分）A.k2或k-2B.-2k2C.k≠0D.k=0【答案】B【解析】联立方程消元后得到k^2+1x^2-2kx-3=0，判别式Δ0，解得-2k

216.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C是（）（1分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

17.下列数列中，是等比数列的是（）（1分）A.2,4,6,8B.1,3,5,7C.1,1/2,1/4,1/8D.1,4,9,16【答案】C【解析】选项C中相邻项之比为1/2，是等比数列

18.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期为2π/|ω|，所以周期为π

19.下列命题中，错误的是（）（1分）A.若A⊆B，则∁_UB⊆∁_UAB.空集是任何集合的子集C.两个真命题的或仍是真命题D.两个假命题的与是假命题【答案】C【解析】两个真命题的或是真命题，不是假命题

20.若fx是定义在R上的奇函数，且fx在0,+∞上单调递增，则fx在-∞,0上（）（1分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定【答案】A【解析】奇函数关于原点对称，所以fx在-∞,0上单调递增

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是命题？（）A.2+3=5B.地球是方的C.x2D.请开门E.今天天气真好【答案】A、B、C【解析】命题是可以判断真假的陈述句，选项A、B、C是命题，选项D、E不是命题

2.以下哪些是等差数列的性质？（）A.a_n=a_1+n-1dB.a_n-a_{n-1}=dC.S_n=na_1+a_n/2D.S_n=na_1E.a_{n+p}=a_n+pd【答案】A、B、C、E【解析】等差数列的通项公式、相邻项差、前n项和公式、以及通项的推广公式都是其性质

3.以下哪些函数是偶函数？（）A.y=x^2B.y=cosxC.y=1/xD.y=|sinx|E.y=lnx【答案】A、B、D【解析】偶函数满足f-x=fx，选项A、B、D是偶函数

4.以下哪些是直线l3x-4y+5=0的截距式方程？（）A.x/5+y/-5/4=1B.x/-5+y/5=1C.3x-4y=5D.x/-5/3+y/-5/4=1E.x/5+y/5/4=1【答案】A、B、D、E【解析】截距式方程为x/a+y/b=1，将原方程变形得到选项A、B、D、E的形式

5.以下哪些是复数z=a+bia,b∈R为纯虚数的条件？（）A.|z|=1B.z+z=0C.az=biD.z/a=bE.z·z=0【答案】B、C【解析】复数为纯虚数当且仅当实部为0且虚部不为0，选项B、C满足条件

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=√x^2-4x+3的定义域是______（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】根号内部非负，解不等式x^2-4x+3≥0得到答案

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q的值是______（4分）【答案】3【解析】由等比数列性质a_4=a_2q^2，所以q=√a_4/a_2=√54/6=

33.若函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，且对称轴为x=-1，则b的值是______（4分）【答案】-2【解析】由对称轴公式x=-b/2a=-1，且f1=0得到a+b+c=0和-b=2a，解得b=-

24.若向量a=2,1，b=1,-3，则向量a+b的坐标是______，向量a·b的值是______（4分）【答案】3,-2；-5【解析】向量a+b=2+1,1-3=3,-2，向量a·b=2×1+1×-3=-5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若A⊆B，则A∩B=A（）（2分）【答案】（√）【解析】由集合包含定义，A中的所有元素都在B中，所以A∩B=A

2.对任意实数x，y，有|x+y|=|x|+|y|（）（2分）【答案】（×）【解析】只有当x、y同号或其中一个为0时才成立，反例x=1，y=-1时|x+y|=0≠|x|+|y|=

23.若fx是奇函数，则fx^2是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2，所以fx^2是偶函数

4.若复数z=a+bia,b∈R的模为1，则z/z=1（）（2分）【答案】（√）【解析】z/z=a+bi/a+bi=1（当a≠0时），若a=0则b≠0，z/z=i/i=

15.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上有反函数（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数不一定是严格单调递增，可能存在水平渐近线等情况，反例y=x^3在R上单调递增但不是一一对应

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]【解析】函数fx表示x到1和-2的距离之和，当x在-2和1之间时取得最小值

32.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式（5分）【答案】a_n=5n-5【解析】由等差数列性质a_{m+n}=a_m+a_n，得到a_{10}=a_5+5d，解得d=3，所以a_n=a_5+n-5d=5n-

53.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最小值为2，最大值为6【解析】函数图像为抛物线开口向上，对称轴x=1在区间[1,3]左侧，所以最小值在x=1处取得f1=2，最大值在x=3处取得f3=6

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x-a|+|x-1|，其中a为实数，讨论a的取值范围，使得fx在R上取得最小值1（12分）【答案】a∈[0,2]【解析】函数fx表示x到a和1的距离之和，最小值在a和1之间时取得为|a-1|，令|a-1|=1得到a=0或a=2，所以a∈[0,2]时取得最小值

12.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2√a_n+1，证明数列{a_n}是单调递增的（12分）【答案】证明见解析【解析】证明a_{n+1}a_n，即证明a_n+2√a_n+1a_n，等价于证明2√a_n+10，显然成立，所以数列单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax^2+bx+ca≠0，且满足f0=1，f1=-1，f-1=3（25分）

（1）求函数fx的解析式；（10分）

（2）判断函数fx的图像是否经过点2,0，并说明理由（10分）

（3）若函数fx在区间[0,2]上取得最大值2，求a的取值范围（5分）【答案】

（1）fx=-2x^2+x+1

（2）不经过点2,0，因为f2=-5≠0

（3）a-1/2【解析】

（1）由f0=1得到c=1，由f1=-1得到a+b+c=-1，由f-1=3得到a-b+c=3，联立解得a=-2，b=2，所以fx=-2x^2+x+1

（2）f2=-22^2+2+1=-5≠0，所以不经过点2,0

（3）函数图像为抛物线开口向下，对称轴x=1/4在区间[0,2]内，所以最大值在x=2处取得f2=-5，要使最大值为2，需-2x^2+x+1≥2，解得x=0或x=1/2，所以a-1/

22.已知函数fx=|x-1|+|x+2|（25分）

（1）作出函数fx的图像；（10分）

（2）求函数fx的单调区间；（10分）

（3）若存在实数x使得fx=k成立，求k的取值范围（5分）【答案】

（1）图像见解析

（2）单调递减区间-∞,-2]，单调递增区间[-2,1]，[1,+∞

（3）k∈[3,+∞【解析】

（1）分段函数fx=-x-1x-2，2-2≤x≤1，x+1x1，图像为折线段

（2）在-∞,-2]上递减，[-2,1]上递增，[1,+∞上递增

（3）最小值为3，所以k≥3---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.C

8.C

9.B

10.C

11.A

12.D

13.B

14.D

15.B

16.A

17.C

18.A

19.C

20.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、C、E

3.A、B、D

4.A、B、D、E

5.B、C

三、填空题

1.-∞,1]∪[3,+∞

2.

33.-

24.3,-2；-5

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.a_n=5n-

53.最小值为2，最大值为6

六、分析题

1.a∈[0,2]

2.证明见解析

七、综合应用题

1.

（1）fx=-2x^2+x+1；

（2）不经过点2,0，因为f2=-5≠0；

（3）a-1/

22.

（1）图像见解析；

（2）单调递减区间-∞,-2]，单调递增区间[-2,1]，[1,+∞；

（3）k∈[3,+∞。