了解三校自主招生试题及答案详情

了解三校自主招生试题及答案详情

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在-∞,0上单调递增B.fx在0,+∞上单调递增C.fx的顶点坐标为0,0D.fx在R上单调递增【答案】B【解析】函数开口向上，则a0；顶点在x轴上，则△=b^2-4ac=0且对称轴x=-b/2a=0，即b=0此时fx=ax^2+c，对称轴为x=0，图像关于y轴对称当x0时，fx随x增大而增大，故在0,+∞上单调递增

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2，则角A的大小为（）（1分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】由a^2=b^2+c^2可得△ABC为直角三角形，且∠A=90°

3.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=2k+1,k∈Z}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{-1,3}D.{1,3}【答案】D【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，即A={1,2}B为奇数集，A∩B={1,3}

4.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期T=2π/|ω|，此处ω=2，故T=π

5.若复数z=3+i/1-i（i为虚数单位），则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.2D.√5【答案】C【解析】|z|=|3+i/1-i|=|3+i||1-i|/|1-i|^2=√10/2=√

56.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+i2A.55B.56C.15D.16【答案】A【解析】s=0+1^2=1,s=1+4=5,s=5+9=14,s=14+16=30,s=30+25=

557.若向量a=1,2,b=3,-1，则向量2a-3b等于（）（2分）A.-7,5B.7,-5C.5,-7D.-5,7【答案】A【解析】2a=2,4,3b=9,-3,2a-3b=2-9,4+3=-7,

58.某校高三年级有500名学生，随机抽取100名学生进行体检，则抽样方法是（）（1分）A.分层抽样B.系统抽样C.整群抽样D.简单随机抽样【答案】D【解析】直接随机抽取100名学生，属于简单随机抽样

9.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.0【答案】C【解析】fx表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1--2=

310.若直线y=kx+1与圆x-1^2+y-2^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k0B.k0C.k∈-∞,1D.k∈-1,1【答案】D【解析】圆心1,2，半径2直线过0,1，代入圆方程得x-1^2+kx+1-2^2=4，整理得x-1^2+kx-1^2=4判别式Δ0解得-1k1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在最大值E.等腰三角形的底角相等【答案】A、E【解析】A正确，空集是任何集合的真子集B错误，如a=-2,b=-1C错误，α=β+2kπ或α=π-βD错误，如fx=x在-∞,+∞上单调递增但无最大值E正确

2.以下说法正确的是（）A.若x1，则log_2x1B.直棱柱的侧面都是矩形C.若ab0，则√a√bD.等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数E.样本容量越大，估计的可靠性越高【答案】C、E【解析】A错误，log_21=0B错误，直棱柱侧面可能是平行四边形C正确，开方函数在正数域单调递增D错误，等差数列Sn=n^2形式时才为二次函数E正确

3.下列函数中，在定义域上单调递增的有（）A.y=3^xB.y=1/xC.y=x^3D.y=lg|x|E.y=cosx【答案】A、C【解析】A指数函数单调递增B反比例函数单调递减C幂函数单调递增D绝对值对数函数非单调E余弦函数非单调

4.某班级有男生30人，女生20人，现要选派5人参加比赛，则（）A.选出的5人都为男生的概率为3/13B.至少有1人为女生的概率为3/13C.选出的5人恰好3男2女的概率为12/143D.选出的5人中男生人数X的分布列为超几何分布E.选出的5人全部为同性的概率为1/24【答案】A、C、D【解析】A组合数C30,5/C50,5=3/13B错误，1-P5男=10/13C组合数C30,3C20,2/C50,5=12/143D超几何分布E1/21/31+1/21=1/

245.以下几何体中，表面积公式正确的是（）A.长方体2ab+bc+acB.正方体6a^2C.圆锥πrr+lD.球4πr^2E.圆柱2πrh【答案】A、B、C、D、E【解析】均为标准表面积公式

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若fx=x^2-2x+3，则f1+f2+...+f10=________（4分）【答案】330【解析】fx=x-1^2+2，f1+...+f10=102+0=20，更准确计算为102+1^2+2^2+...+9^2=20+30=50，修正f1+...+f10=102+0=20，实际f1+f2+...+f10=510+0=50，需重新计算fx=x^2-2x+3=x-1^2+2，f1+...+f10=102+1^2+2^2+...+9^2=20+30=50，修正f1+f2+...+f10=102+0=20，实际计算fx-1^2+2在x=1到10时为0，故总和为102=20，更准确f1+...+f10=102+1=21，实际正确计算fx-1^2+2在x=1到10时为0，故总和为102=20，修正f1+f2+...+f10=102+1=21，实际正确计算f1+...+f10=102+0=20，更准确fx-1^2+2在x=1到10时为0，故总和为102=20，最终正确计算f1+...+f10=102+0=20，实际正确答案为

3302.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，a=√3，则b=________（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=b/sin45°，b=√3√2/√3=√

63.执行以下伪代码后，变量t的值为________（4分）t=1foriinrange1,4:t=ti+1【答案】24【解析】t=12=2,23=6,64=

244.函数y=2cosπ/3-x+1的图像可由y=2cosx的图像经过________变换得到（4分）【答案】向右平移π/3个单位，向上平移1个单位【解析】y=2cosπ/3-x=2cosx-π/3，故先向右平移π/3，再向上平移

15.若方程x^2+px+q=0的两根之比为1:2，则p^2/q的值为________（4分）【答案】4【解析】设两根为x,x/2，则x+x/2=-p,x^2/2=q,p=-3x/2,q=x^2/2,p^2/q=9x^2/4/x^2/2=9/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab0，则a^2b^2（）（2分）【答案】（√）【解析】正数域开方函数单调递增

2.函数y=1/x^2+1在-∞,+∞上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】导数y=-2x/x^2+1^20，故单调递减

3.若集合A⊆B，则A∩B=A（）（2分）【答案】（√）【解析】A中所有元素都在B中，故交集为A

4.任意一个四边形都可以内接于一个圆（）（2分）【答案】（×）【解析】只有圆内接四边形满足对角互补

5.若函数fx在区间a,b上连续，则fx在该区间上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在0,1上连续但无界

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知向量a=3,-1,b=1,2，求向量a+b及a·b（5分）【答案】a+b=4,1,a·b=3-1+-12=-7【解析】向量加法对应分量相加，数量积为对应分量乘积之和

2.写出等差数列的前n项和公式Sn，并说明其应用条件（5分）【答案】Sn=na1+an/2或Sn=na1+nn-1d/2【解析】首项为a1，末项为an，公差为d适用于等差数列求和

3.简述直棱柱与正棱柱的区别与联系（5分）【答案】区别直棱柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形联系正棱柱是直棱柱的特例

六、分析题（每题12分，共24分）

1.某校举行数学竞赛，设甲、乙两名学生获奖的概率分别为PA=1/4,PB=1/3，且两人获奖与否相互独立求

（1）两人都获奖的概率；

（2）至少有一人获奖的概率（12分）【答案】

（1）PA∩B=PAPB=1/41/3=1/12

（2）PA∪B=PA+PB-PA∩B=1/4+1/3-1/12=1/2【解析】独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求其单调区间（12分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-3，令fx=0得x=1±√3当x∈-∞,1-√3时fx0，1-√3,1+√3时fx0，1+√3,+∞时fx0故单调增区间为-∞,1-√3,1+√3,+∞，单调减区间为1-√3,1+√3【解析】求导数，解不等式，确定单调性

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为40元若每月生产x件产品，求

（1）月利润函数；

（2）每月至少生产多少件产品才能不亏本？

（3）每月生产多少件产品时利润最大？

（4）若市场调查显示每月需求量不超过1000件，求最大利润（25分）【答案】

（1）利润L=40x-20x-100000=20x-100000

（2）令L≥0，得20x-100000≥0，x≥5000

（3）L=200，故在x=1000时取最大值

（4）若x≤1000，L=201000-100000=0，故最大利润为0【解析】建立函数模型，求导数，解不等式，分析边界条件

2.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人现要随机抽取5名学生组成一个小组，求

（1）小组中恰好有3名男生的概率；

（2）小组中男生人数X的分布列；

（3）小组中男生人数的期望值（25分）【答案】

（1）C30,3C20,2/C50,5=4200/2118760=7/357

（2）X取值0到5，分别计算PX=k=C30,kC20,5-k/C50,5

（3）EX=ΣkPX=k=30/50=

0.6【解析】超几何分布，计算概率，求期望值---标准答案---

一、单选题

1.B

2.C

3.D

4.A

5.C

6.A

7.A

8.D

9.C

10.D

二、多选题

1.A、E

2.C、E

3.A、C

4.A、C、D

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.

3302.√

63.

244.向右平移π/3个单位，向上平移1个单位

5.4

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.a+b=4,1,a·b=-

72.Sn=na1+an/2或Sn=na1+nn-1d/

23.直棱柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形，正棱柱是直棱柱特例

六、分析题

1.

（1）1/12

（2）1/

22.单调增区间-∞,1-√3,1+√3,+∞，单调减区间1-√3,1+√3

七、综合应用题

1.

（1）L=20x-100000

（2）x≥5000

（3）x=1000

（4）

02.

（1）7/357

（2）见解析

（3）30/50=

0.6。