二诊数学考试：试题及答案呈现

二诊数学考试试题及答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x与1的距离，在区间[0,2]上，当x=1时，距离最小，为0，但绝对值函数的最小值为1，故最小值为

12.若a1，则下列不等式中正确的是（）（2分）A.a^0a^1a^2B.a^2a^1a^0C.a^1a^0a^2D.a^0a^2a^1【答案】A【解析】指数函数y=a^x在a1时为增函数，故a^0a^1a^

23.圆的方程x-a^2+y-b^2=r^2中，若a=b=0，则圆心在（）（2分）A.原点B.a,bC.0,0D.1,1【答案】C【解析】圆心坐标为a,b，若a=b=0，则圆心在原点0,

04.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴是x=-1，且过点1,0，则b的值为（）（2分）A.-2B.2C.-1D.1【答案】A【解析】对称轴x=-1，即-b/2a=-1，解得b=2a抛物线过点1,0，即a+b+c=0，代入b=2a，得3a+c=0，又因为对称轴过原点，故c=0，得a=-b/2=-1，故b=

25.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=（）（2分）A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4}【答案】C【解析】集合A与B的并集包含A和B中所有元素，故A∪B={1,2,3,4}

6.在直角三角形中，若一个锐角为30°，则斜边上的高是斜边的（）（2分）A.1/2B.1/3C.√3/2D.√2/2【答案】A【解析】30°角所对的边是斜边的一半，故斜边上的高也是斜边的一半

7.函数y=sinx+π/2的图像与y=sinx的图像的关系是（）（2分）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.向左平移π/2D.向右平移π/2【答案】D【解析】函数y=sinx+π/2是y=sinx向左平移π/2得到的

8.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a+b=（）（2分）A.4,6B.2,3C.6,8D.3,6【答案】A【解析】向量a+b的坐标为a的坐标与b的坐标对应相加，即1+3,2+4=4,

69.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.12πC.18πD.24π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，故侧面积为π35=15π

10.已知等差数列的首项为2，公差为3，则第10项为（）（2分）A.29B.30C.31D.32【答案】C【解析】等差数列第n项公式为a+n-1d，故第10项为2+10-13=31

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内为增函数的是（）（4分）A.y=x^2B.y=2xC.y=1/xD.y=|x|【答案】B、D【解析】函数y=2x是一次函数，在定义域内为增函数；函数y=|x|是绝对值函数，在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，但整体上在定义域内为增函数

2.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的取值范围是（）（4分）A.15°C75°B.45°C75°C.15°C105°D.75°C105°【答案】A、C【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-60°-45°=75°，但角C的取值范围应大于15°（AB）且小于105°（AB），故15°C75°或75°C105°，结合选项，故选A、C

3.下列不等式成立的是（）（4分）A.-2^3-1^2B.2^33^2C.√16√9D.-1/2-1/3【答案】C、D【解析】-2^3=-8，-1^2=1，故-2^3-1^2不成立；2^3=8，3^2=9，故2^33^2不成立；√16=4，√9=3，故√16√9成立；-1/2=-

0.5，-1/3≈-

0.333，故-1/2-1/3成立

4.下列命题中，真命题的是（）（4分）A.所有偶数都是合数B.平行四边形的对角线互相平分C.相似三角形的对应角相等D.一元二次方程总有两个实根【答案】B、C【解析】所有偶数都是合数不成立（如2是偶数但不是合数）；平行四边形的对角线互相平分是真命题；相似三角形的对应角相等是真命题；一元二次方程不一定有两个实根（如x^2+1=0无实根），故D不成立

5.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.等腰梯形【答案】A、C、D【解析】等边三角形是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形；正方形是轴对称图形；等腰梯形是轴对称图形

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线y=kx+3与x轴交于点2,0，则k的值为______（4分）【答案】-3/2【解析】直线与x轴交于点2,0，即当y=0时，x=2，代入直线方程得0=k2+3，解得k=-3/

22.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则sinC的值为______（4分）【答案】√6/4【解析】角C=180°-45°-60°=75°，sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2√3/2+√2/21/2=√6/

43.函数y=2cosπ/3-x的最小正周期是______（4分）【答案】2π【解析】函数y=2cosπ/3-x是余弦函数的变形，其周期与原余弦函数相同，为2π

4.在等比数列中，若首项为3，公比为2，则第5项为______（4分）【答案】48【解析】等比数列第n项公式为aq^n-1，故第5项为32^5-1=

485.一个圆柱的底面半径为2，高为3，则其体积为______（4分）【答案】12π【解析】圆柱体积公式为V=πr^2h，故体积为π2^23=12π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2=1，b^2=4，故a^2b^2不成立

2.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故周长比不等于面积比

3.函数y=tanx在定义域内是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=tanx在每一个开区间-π/2+kπ,π/2+kπ（k为整数）内是增函数，但在整个定义域内不是增函数

4.一个四边形若能被一条直线平分，则它是平行四边形（）（2分）【答案】（×）【解析】能被一条直线平分的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形

5.对任意实数x，有|sinx|≤1（）（2分）【答案】（√）【解析】正弦函数的值域为[-1,1]，故|sinx|≤1恒成立

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=3x^2-6x+2的顶点坐标和对称轴方程（5分）【答案】顶点坐标为1,-1，对称轴方程为x=1【解析】函数y=3x^2-6x+2的顶点坐标为-b/2a,c-b^2/4a，即--6/23,2--6^2/43=1,-1，对称轴方程为x=-b/2a=x=

12.已知点A1,2，B3,0，求向量AB的模长（5分）【答案】√8【解析】向量AB的模长为|AB|=√3-1^2+0-2^2=√2^2+-2^2=√

83.在直角三角形中，若一个锐角为30°，另一个锐角为60°，求斜边上的高与斜边的比（5分）【答案】1/2【解析】在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，故斜边上的高也是斜边的一半，比值为1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx在区间[0,4]上的最大值和最小值（10分）【答案】最大值为5，最小值为-1【解析】函数fx=x^2-4x+3的顶点坐标为2,-1，对称轴为x=2在区间[0,4]上，当x=2时，fx取最小值-1；当x=0时，fx=3；当x=4时，fx=7故最大值为7，最小值为-

12.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度（10分）【答案】b=√6，c=2√2【解析】角C=180°-60°-45°=75°，由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，即√3/sin60°=b/sin45°=c/sin75°，解得b=√3sin45°/sin60°=√3√2/22/√3=√6，c=√3sin75°/sin60°=√3√6+√2/42/√3=√6+√2=2√2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知直线l1:y=2x+1与直线l2:y=-x+4相交于点P，求点P的坐标，并判断直线l1与l2是否垂直（25分）【答案】点P的坐标为1,3，直线l1与l2不垂直【解析】联立直线l1和l2的方程得2x+1=-x+4，解得x=1，代入l1或l2得y=3，故点P的坐标为1,3直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1，两直线斜率的乘积为-2≠-1，故两直线不垂直

2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=6，求边b和边c的长度，以及△ABC的面积（25分）【答案】b=3√2，c=3√6，面积为9√3【解析】角C=180°-45°-60°=75°，由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，即6/sin45°=b/sin60°=c/sin75°，解得b=6sin60°/sin45°=6√3/2√2/2=3√6，c=6sin75°/sin45°=6√6+√2/4√2/2=3√3△ABC的面积S=1/2absinC=1/263√23√3=9√3。