二诊文科数学：试题展示与答案详析

二诊文科数学试题展示与答案详析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-1,0D.-∞,+∞【答案】A【解析】函数fx=lnx+1中x+10，解得x-1，故定义域为-1,+∞

2.若复数z满足z²=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】由z²=1得z=±1，故答案为1和-

13.等差数列{a_n}中，a₁=3，d=2，则a₅的值是（）（2分）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】a₅=a₁+5-1d=3+8=

114.三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.105°【答案】D【解析】∠C=180°-∠A+∠B=180°-105°=75°

5.直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）（2分）A.0,1B.1,0C.-1,0D.0,-1【答案】B【解析】令y=0，得x=-1/2，故交点坐标为-1/2,0，但选项中无正确答案，可能题目有误

6.函数y=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）（2分）A.1B.-1C.0D.π【答案】A【解析】sinx在[0,π]上的最大值为

17.若向量a=1,2，b=3,-4，则a·b的值是（）（2分）A.-5B.5C.11D.-11【答案】D【解析】a·b=1×3+2×-4=-

58.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程可化为x-2²+y+3²=16，圆心为2,-

39.若fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=

310.抛物线y²=8x的焦点坐标是（）（2分）A.2,0B.0,2C.-2,0D.0,-2【答案】A【解析】抛物线y²=2px的焦点为p/2,0，此处p=8，焦点为4,0，但选项中无正确答案，可能题目有误

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有唯一的补集C.交集运算满足交换律D.并集运算不满足结合律【答案】A、C【解析】空集是任何集合的子集，交集运算满足交换律，但并集运算也满足结合律，故D错误

2.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（4分）A.y=lnxB.y=e^xC.y=x²D.y=1/x【答案】A、B、C【解析】lnx、e^x和x²在0,+∞上单调递增，1/x单调递减

3.以下不等式成立的是（）（4分）A.-2³-1²B.√21C.log₂3log₂2D.-3²=-2²【答案】B、C【解析】-8-1成立，√21成立，log₂3log₂2成立，-3²=9，-2²=4，不成立

4.以下函数中，以x=π为对称轴的是（）（4分）A.y=cosxB.y=sinxC.y=cos2xD.y=sin2x【答案】A、C【解析】cosx以x=π/2为对称轴，cos2x以x=π为对称轴，sinx和sin2x以x=π/2为对称轴

5.以下向量组中，线性无关的是（）（4分）A.1,0B.0,1C.1,1D.2,2【答案】A、B、C【解析】1,0和0,1线性无关，1,1也线性无关，但2,2=21,1线性相关

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若fx=x²-2x+3，则f1的值是______（4分）【答案】2【解析】f1=1²-2×1+3=

22.等比数列{a_n}中，a₁=2，q=3，则a₄的值是______（4分）【答案】54【解析】a₄=a₁q³=2×27=

543.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是______（4分）【答案】0【解析】|x-1|在x=1时取最小值

04.圆x²+y²-6x+8y-11=0的半径长是______（4分）【答案】4【解析】圆方程可化为x-3²+y+4²=32，半径为√32=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=-1，则ab但a²b²不成立

2.任意两个奇数的和是偶数（）（2分）【答案】（√）【解析】奇数可表示为2k+1，和为2k+1+2m+1=2k+m+1为偶数

3.对任意实数x，cosx的值都在[-1,1]范围内（）（2分）【答案】（√）【解析】余弦函数的值域为[-1,1]

4.若向量a=1,1，b=1,-1，则a+b=）（2分）【答案】（√）【解析】a+b=1+1,1-1=2,

05.函数y=tanx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】tan-x=-tanx成立，故为奇函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-5，f0=2，f2=-2，f3=0，故最大值为2，最小值为-

22.证明对任意实数a，b，有|a+b|≤|a|+|b|（5分）【答案】【解析】由三角不等式|a+b|≤|a|+|b|成立，考虑平方两边a+b²≤a+b²，展开得a²+2ab+b²≤a²+2ab+b²，显然成立

3.已知直线l过点1,2，斜率为2，求直线l的方程（5分）【答案】y=2x（4分）【解析】由点斜式方程y-y₁=mx-x₁，得y-2=2x-1，即y=2x

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=ax²+bx+c，f1=3，f-1=1，f0=0，求a，b，c的值（12分）【答案】a=1，b=1，c=0【解析】由f1=a+b+c=3，f-1=a-b+c=1，f0=c=0，解得a=1，b=1，c=

02.已知函数fx=2cos²x-sin2x，求fx的最小正周期（12分）【答案】π【解析】fx=1+cos2x-sin2x，最小正周期为cos2x和sin2x的最小公倍数π

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知三角形ABC中，a=3，b=4，c=5，求∠C的度数（25分）【答案】∠C=90°【解析】由勾股定理a²+b²=c²，得3²+4²=5²，故∠C=90°

2.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的所有极值点及对应的极值（25分）【答案】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-2，故x=0处取得极大值2，x=2处取得极小值-2。