二诊理数试卷真题与答案解析

二诊理数试卷真题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若复数z满足z²=1，则z等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】B【解析】解方程z²=1，得z=±1，因此z可以是1或-

12.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x与1的距离，在区间[0,2]上，当x=1时，距离最小为0，故最小值为

13.已知向量a=3,4，向量b=1,2，则向量a与向量b的夹角余弦值是（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.1【答案】B【解析】向量a与向量b的夹角余弦值cosθ=a·b/|a||b|=3×1+4×2/5×√5=11/5√5=√5/5=3/

54.不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域是（）（2分）A.一个圆B.一个正方形C.四条射线D.无解【答案】B【解析】不等式|x|+|y|≤1表示以原点为中心，边长为√2的正方形内部及边界

5.设函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=-fx，则f5等于（）（2分）A.1B.-1C.0D.2【答案】B【解析】由fx+2=-fx得f5=-f3=f1=1，但因为是奇函数，所以f5=-

16.抛掷两枚均匀的硬币，出现一正一反的概率是（）（2分）A.1/4B.1/2C.1/3D.1/8【答案】A【解析】两枚硬币有四种可能结果正正、正反、反正、反反，其中一正一反有两种情况，概率为2/4=1/

27.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】将方程配方得x-2²+y+3²=16，圆心为2,-

38.函数fx=sinx+π/2的图像（）（2分）A.向左平移π/2B.向右平移π/2C.向上平移π/2D.向下平移π/2【答案】B【解析】函数fx=sinx+π/2表示y=sinx的图像向左平移π/2，即cosx

9.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切，则k的值是（）（2分）A.±√3/3B.±1C.±√2/2D.0【答案】A【解析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即|k×0-0+1|/√k²+1=1，解得k=±√3/

310.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_n-1+2，则S_5等于（）（2分）A.25B.30C.35D.40【答案】B【解析】数列为等差数列，公差为2，前n项和S_n=n/2[2a_1+n-1d]，S_5=5/2[2×1+5-1×2]=30

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若ab，则√a√bC.若a²b²，则abD.若ab，则1/a1/b【答案】B、D【解析】A选项不正确，例如-1-2但14；B选项正确，因为ab且a、b为正数时，平方根函数单调递增；C选项不正确，例如-2²-1²但-2-1；D选项正确，因为ab且a、b为正数时，倒数函数单调递减

2.函数fx=x³-3x+1的极值点有（）（4分）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=2【答案】B、C【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，fx=6x，f1=-60，f-1=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点

3.下列函数在其定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x²B.y=2^xC.y=1/xD.y=logex【答案】B、D【解析】A选项在-∞,0单调递减，在0,+∞单调递增；B选项单调递增；C选项单调递减；D选项单调递增

4.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的有（）（4分）A.若a²+b²=c²，则三角形ABC为直角三角形B.若a²+b²c²，则三角形ABC为锐角三角形C.若a²+b²c²，则三角形ABC为钝角三角形D.若ab，则角A角B【答案】A、C、D【解析】A选项为勾股定理的逆定理；B选项不正确，例如a²+b²c²不一定保证所有角为锐角；C选项正确，根据余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab0；D选项正确，大边对大角

5.下列命题中正确的有（）（4分）A.若数列{a_n}单调递增，则a_n≤a_n+1B.若数列{a_n}有极限，则数列{a_n}一定收敛C.若数列{a_n}收敛，则数列{a_n}的极限唯一D.若数列{a_n}单调有界，则数列{a_n}一定收敛【答案】A、C、D【解析】A选项正确，单调递增的定义；B选项不正确，例如交错数列1-1+1-1+…没有极限；C选项正确，收敛数列的极限唯一；D选项正确，单调有界原理

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切，则k的值是______（4分）【答案】±2√2/3【解析】圆心到直线的距离等于半径，即|k×0-0+1|/√k²+1=2，解得k=±2√2/

32.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=2，则边c的值是______（4分）【答案】2√3【解析】由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin180°-A-B=sin75°，c=asinC/sinA=2sin75°/sin45°=2√6+√2/2√2=√3+1=2√

33.函数fx=e^x-1/x在x→0时的极限是______（4分）【答案】1【解析】利用洛必达法则limx→0e^x-1/x=limx→0e^x+1/x²=1+1=

14.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_5的值是______（4分）【答案】16【解析】a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-1-1=2^n-2^n-1=2^n-1=2^4=

165.抛掷三枚均匀的硬币，出现至少两枚正面的概率是______（4分）【答案】3/8【解析】出现至少两枚正面包括两种情况两枚正面一枚反面、三枚正面，共有3种情况，总情况数为2^3=8，概率为3/8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】反例-1-2但14，故错误

2.函数fx=sinx是周期函数，周期为2π（）（2分）【答案】（√）【解析】sinx+2π=sinx，故周期为2π

3.若数列{a_n}单调递增且有上界，则数列{a_n}一定收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】单调有界原理，数列{a_n}收敛

4.若ab，则1/a1/b（）（2分）【答案】（√）【解析】当a、b为正数时，倒数函数单调递减，故1/a1/b；当a、b为负数时，同样成立

5.若直线y=kx+b与圆x²+y²=r²相切，则圆心到直线的距离等于半径（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，这是相切的条件

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x³-3x+2的极值点及极值（5分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，fx=6x，f1=-60，f-1=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点，f1=0，f-1=4，极大值为0，极小值为

42.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求a_1和a_n的表达式（5分）【答案】a_1=S_1=1²+1=2，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[n-1²+n-1]=2n，故a_n=2n

3.求抛物线y=x²与直线y=2x-1的交点坐标（5分）【答案】联立方程组y=x²和y=2x-1，得x²=2x-1，即x²-2x+1=0，x-1²=0，得x=1，y=2x-1=1，故交点坐标为1,1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x+2的单调性与凹凸性（10分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，fx=6x，当x0时，fx0，函数凹向下；当x0时，fx0，函数凹向上；当x=-1时，f-1=0，f-1=-60，函数在x=-1处取得极大值；当x=1时，f1=0，f1=60，函数在x=1处取得极小值

2.证明在△ABC中，若a²+b²c²，则三角形ABC为锐角三角形（10分）【答案】假设三角形ABC中存在钝角，不妨设角C为钝角，则cosC0，根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，若cosC0，则a²+b²c²，故若a²+b²c²，则三角形ABC中不存在钝角，即锐角三角形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求a_n的表达式，并证明数列{a_n}是等差数列（25分）【答案】a_1=S_1=1²+1=2，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[n-1²+n-1]=2n，故a_n=2n证明a_n+1-a_n=2n+1-2n=2，故数列{a_n}是公差为2的等差数列

2.求函数fx=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最大值与最小值（25分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-10，f-1=4，f1=0，f2=4，故最大值为4，最小值为-10。