二诊理数题目及详细答案剖析

二诊理数题目及详细答案剖析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1f-2=-5，f-1=3，f1=-1，f2=5最大值为

72.若复数z=1+i满足|z-a|≤1，则实数a的取值范围是（）（2分）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[-3,1]D.[-1,3]【答案】D【解析】|z-a|≤1表示z在复平面上到点a的距离不超过1，即以a为圆心，1为半径的圆内z的模为√2，所以a的模不超过√2+1，即-1≤a≤

33.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于9”，事件B为“点数之和为偶数”，则PA|B等于（）（2分）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】C【解析】B包含的基本事件有1,1，1,3，1,5，2,2，2,4，2,6，3,1，3,3，3,5，4,2，4,4，4,6，5,1，5,3，5,5，6,2，6,4，6,6，共18种A∩B包含的基本事件有4,6，5,5，6,4，6,6，共4种PA|B=4/18=2/

94.设函数fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为两点间的距离3，即fxmin=

35.在等差数列{an}中，若a1=2，a4=6，则a7等于（）（2分）A.8B.10C.12D.14【答案】B【解析】由a4=a1+3d，得3d=4，d=4/3a7=a1+6d=2+8=

106.若直线y=kx+b与圆x-1²+y-2²=5相切，则k的取值范围是（）（2分）A.[-√5,√5]B.-√5,√5C.-√5,√5]D.[-√5,√5【答案】C【解析】圆心1,2，半径√5直线到圆心的距离等于半径，即|k1-12+b|/√k²+1=√5解得b=2±√6k的取值范围是-√5,√5]

7.已知向量a=1,2，b=x,1，若a⊥b，则x等于（）（2分）A.-1/2B.1/2C.-2D.2【答案】A【解析】a⊥b，即a·b=0，得1x+21=0，x=-

28.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=1foriinrange1,4:s=i（2分）A.1B.2C.6D.24【答案】C【解析】s=11=1，s=12=2，s=23=

69.已知函数fx=e^x-ax在x=1时取得极值，则a等于（）（2分）A.1B.eC.e-1D.-e【答案】B【解析】fx=e^x-a，f1=e-a=0，a=e

10.在△ABC中，若sinA/sinB=3/2，则a/b的值等于（）（2分）A.3/2B.2/3C.3/4D.4/3【答案】A【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得a/b=sinA/sinB=3/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若fx是偶函数，则fx是奇函数C.若数列{an}单调递增，则其通项an≥a1D.若直线l1∥l2，则l1的斜率与l2的斜率相等【答案】B、C【解析】A错，如a=1，b=-2D错，直线l1的斜率可能不存在

2.以下关于圆锥的说法中，正确的有（）（4分）A.圆锥的侧面展开图是扇形B.圆锥的轴截面是等腰三角形C.圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长的一半D.圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一【答案】A、B、C【解析】D错，应为三分之一

3.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x³B.y=2^xC.y=log₂xD.y=sinx【答案】A、B、C【解析】D错，sinx在0,+∞上非单调

4.已知样本数据3,4,5,6,7，则下列说法中正确的有（）（4分）A.样本方差s²=4B.样本中位数是5C.样本平均数是5D.样本极差是4【答案】B、C、D【解析】s²=3-5²+4-5²+5-5²+6-5²+7-5²/5=

45.下列不等式正确的有（）（4分）A.e^xx对所有x∈R成立B.log₂xx对所有x0成立C.|x|x对所有x0成立D.sinxx对所有x0成立【答案】A、B【解析】C错，x=1时|1|=11不成立D错，x=π/2时sinπ/2=1π/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=ax²+bx+c在x=1时取得极大值，且f0=1，则b+c等于______（4分）【答案】-3【解析】f1=2a+b=0，b=-2af0=c=1f1=a+b+c=0，a-2a+1=0，a=1，b=-2b+c=-2+1=-

32.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinπ/2-A等于______（4分）【答案】1/2【解析】sinπ/2-A=cosA=1/

23.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且B⊆A，则a等于______（4分）【答案】1/2或±√2【解析】A={1,2}若B=∅，则a=0若B={1}，则a=1/2若B={2}，则a=1/2若B={1,2}，则a=1/2或a=±√

24.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是______（4分）【答案】π【解析】T=2π/|ω|=2π/2=π

5.在等比数列{an}中，若a2=6，a4=54，则a6等于______（4分）【答案】972【解析】q²=a4/a2=54/6=9，q=3a6=a4q²=549=486

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）

2.若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，则x₁+x₂=-b/a（）（2分）【答案】（√）

3.若向量a=1,1，b=1,-1，则a与b垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】a·b=11+1-1=

04.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不保证连续，如分段函数

5.若复数z=a+bia,b∈R的模为1，则z²的模也为1（）（2分）【答案】（√）【解析】|z²|=|z|²=1²=1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2f0=2，f2=-2极小值点x=2，极大值点x=

02.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求cosB（5分）【答案】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=9+25-16/234=18/24=3/

43.若数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，求其通项公式（5分）【答案】当n=1时，a1=S1=2当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n²+n-[n-1²+n-1]=2nan=2n对所有n成立

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【答案】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和当-2≤x≤1时，fx=1-x+x+2=3最小值为3，取得最小值时的x值在[-2,1]上

2.已知函数fx=x³-ax+1在x=1时取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值（10分）【答案】fx=3x²-a，f1=3-a=0，a=3fx=6x，f1=60，故x=1处取得极小值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若a=5，b=7，C=120°，求c的值及△ABC的面积（25分）【答案】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=25+49-257cos120°=74+35=109，c=√109由正弦定理sinA=a/2R，sinB=b/2R，R=c/2sinC=√109/2√3/2=√33/3S=1/2absinC=1/257√3/2=35√3/

42.已知函数fx=x³-3x²+2x+1，求fx的单调区间（25分）【答案】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1令fx=0，得x=1±√1/3当x1-√1/3或x1+√1/3时，fx0，fx单调递增当1-√1/3x1+√1/3时，fx0，fx单调递减单调递增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞单调递减区间为1-√1/3,1+√1/3---标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.C

4.B

5.B

6.D

7.A

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、B、C

3.A、B、C

4.B、C、D

5.A、B

三、填空题

1.-

32.1/

23.1/2或±√

24.π

5.972

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.极大值点x=0，极小值点x=

22.cosB=3/

43.an=2n

六、分析题

1.最小值为3，取得最小值时的x值在[-2,1]上

2.a=3，极小值

七、综合应用题

1.c=√109，S=35√3/

42.单调递增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞单调递减区间为1-√1/3,1+√1/3。