会考试题及答案数学：数学归纳法试题及答案

会考试题及答案数学数学归纳法试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.用数学归纳法证明“1+3+5+…+2n-1=n²”时，第一步验证n=1的情况，左边应为（）（2分）A.1²B.2²C.3²D.4²【答案】A【解析】n=1时，左边为1，即1²

2.用数学归纳法证明命题时，第二步假设n=k成立，再证明n=k+1成立，这一步称为（）（2分）A.归纳基础B.归纳假设C.归纳步骤D.归纳结论【答案】C【解析】假设n=k成立，再证明n=k+1成立，是归纳法的核心步骤

3.用数学归纳法证明“1+4+7+…+3n-2=n3n-1”时，第一步验证n=1的情况，左边应为（）（2分）A.1B.4C.7D.10【答案】A【解析】n=1时，左边为

14.用数学归纳法证明命题时，第一步验证n取的值是（）（2分）A.任意正整数B.任意自然数C.n=1D.n=0【答案】C【解析】数学归纳法的第一步通常验证n=1的情况

5.用数学归纳法证明命题时，第二步假设n=k成立，再证明n=k+1成立，这一步的关键是（）（2分）A.验证基础B.使用假设C.计算结果D.推理结论【答案】B【解析】第二步需要使用归纳假设n=k成立来证明n=k+1成立

6.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n=nn+1/2”时，第一步验证n=1的情况，右边应为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】n=1时，右边为11+1/2=

17.用数学归纳法证明命题时，第一步验证的是命题的（）（2分）A.具体值B.一般情况C.特殊情况D.结论【答案】C【解析】第一步验证的是命题在n=1时的特殊情况

8.用数学归纳法证明“1³+2³+3³+…+n³=n²n+1²/4”时，第一步验证n=1的情况，左边应为（）（2分）A.1B.8C.27D.64【答案】A【解析】n=1时，左边为1³=

19.用数学归纳法证明命题时，第二步的关键是（）（2分）A.验证基础B.使用假设C.计算结果D.推理结论【答案】B【解析】第二步需要使用归纳假设n=k成立来证明n=k+1成立

10.用数学归纳法证明“1+3+5+…+2n-1=n²”时，第二步假设n=k成立，即1+3+5+…+2k-1=k²成立，再证明n=k+1成立，左边变为（）（2分）A.1+3+5+…+2k-1+2kB.1+3+5+…+2k+1C.1+3+5+…+2k-1+2k+1D.1+3+5+…+2k+2【答案】C【解析】n=k+1时，左边变为1+3+5+…+2k-1+2k+1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.用数学归纳法证明命题时，通常包括哪些步骤？（）（4分）A.验证基础B.归纳假设C.归纳步骤D.推理结论【答案】A、B、C【解析】数学归纳法包括验证基础、归纳假设和归纳步骤

2.用数学归纳法证明命题时，第二步的关键是（）（4分）A.验证基础B.使用假设C.计算结果D.推理结论【答案】B、D【解析】第二步需要使用归纳假设n=k成立来证明n=k+1成立，并进行推理得出结论

3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n=nn+1/2”时，第二步假设n=k成立，即1+2+3+…+k=kk+1/2成立，再证明n=k+1成立，左边变为（）（4分）A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+k+k+1C.1+2+3+…+k+kk+1/2D.1+2+3+…+k+k+1k+2/2【答案】B、D【解析】n=k+1时，左边变为1+2+3+…+k+k+1或1+2+3+…+k+k+1k+2/

24.用数学归纳法证明命题时，第一步验证的是命题的（）（4分）A.具体值B.一般情况C.特殊情况D.结论【答案】C、D【解析】第一步验证的是命题在n=1时的特殊情况，并得出结论

5.用数学归纳法证明“1³+2³+3³+…+n³=n²n+1²/4”时，第二步假设n=k成立，即1³+2³+3³+…+k³=k²k+1²/4成立，再证明n=k+1成立，左边变为（）（4分）A.1³+2³+3³+…+k³B.1³+2³+3³+…+k³+k+1³C.1³+2³+3³+…+k³+k²k+1²/4D.1³+2³+3³+…+k³+k+1²k+2²/4【答案】B、D【解析】n=k+1时，左边变为1³+2³+3³+…+k³+k+1³或1³+2³+3³+…+k³+k+1²k+2²/4

三、填空题（每题4分，共20分）

1.用数学归纳法证明“1+3+5+…+2n-1=n²”时，第一步验证n=1的情况，左边为______，右边为______（4分）【答案】1；1²【解析】n=1时，左边为1，右边为1²=

12.用数学归纳法证明命题时，第二步假设n=k成立，再证明n=k+1成立，这一步称为______（4分）【答案】归纳步骤【解析】假设n=k成立，再证明n=k+1成立，是归纳法的核心步骤

3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n=nn+1/2”时，第一步验证n=1的情况，右边为______（4分）【答案】11+1/2【解析】n=1时，右边为11+1/2=

14.用数学归纳法证明命题时，第一步验证的是命题的______（4分）【答案】特殊情况【解析】第一步验证的是命题在n=1时的特殊情况

5.用数学归纳法证明“1³+2³+3³+…+n³=n²n+1²/4”时，第一步验证n=1的情况，左边为______，右边为______（4分）【答案】1³；1²1+1²/4【解析】n=1时，左边为1³=1，右边为1²1+1²/4=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.用数学归纳法证明命题时，第一步验证n=1的情况是必须的（）（2分）【答案】（√）【解析】数学归纳法的第一步必须验证n=1的情况

2.用数学归纳法证明命题时，第二步假设n=k成立，再证明n=k+1成立，这一步的关键是使用归纳假设（）（2分）【答案】（√）【解析】第二步需要使用归纳假设n=k成立来证明n=k+1成立

3.用数学归纳法证明“1+3+5+…+2n-1=n²”时，第二步假设n=k成立，即1+3+5+…+2k-1=k²成立，再证明n=k+1成立，左边变为1+3+5+…+2k-1+2k+1（）（2分）【答案】（√）【解析】n=k+1时，左边变为1+3+5+…+2k-1+2k+

14.用数学归纳法证明命题时，第二步的关键是计算结果（）（2分）【答案】（×）【解析】第二步的关键是使用归纳假设n=k成立来证明n=k+1成立，并进行推理得出结论

5.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n=nn+1/2”时，第一步验证n=1的情况，右边为1（）（2分）【答案】（√）【解析】n=1时，右边为11+1/2=1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述数学归纳法的步骤（5分）【答案】数学归纳法包括以下步骤

（1）验证基础验证命题在n=1时成立；

（2）归纳假设假设命题在n=k时成立；

（3）归纳步骤使用归纳假设证明命题在n=k+1时成立通过以上步骤，可以证明命题对所有自然数成立

2.用数学归纳法证明“1+3+5+…+2n-1=n²”时，第二步如何进行？（5分）【答案】第二步假设n=k成立，即1+3+5+…+2k-1=k²成立，再证明n=k+1成立左边变为1+3+5+…+2k-1+2k+1=k²+2k+1右边为k+1²=k²+2k+1左边等于右边，因此命题在n=k+1时成立

3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n=nn+1/2”时，第二步如何进行？（5分）【答案】第二步假设n=k成立，即1+2+3+…+k=kk+1/2成立，再证明n=k+1成立左边变为1+2+3+…+k+k+1=kk+1/2+k+1右边为k+1k+2/2左边等于右边，因此命题在n=k+1时成立

六、分析题（每题10分，共20分）

1.用数学归纳法证明“1³+2³+3³+…+n³=n²n+1²/4”时，详细写出证明过程（10分）【答案】证明过程如下

（1）验证基础n=1时，左边为1³=1，右边为1²1+1²/4=1，命题成立

（2）归纳假设假设n=k成立，即1³+2³+3³+…+k³=k²k+1²/4成立

（3）归纳步骤证明n=k+1成立左边变为1³+2³+3³+…+k³+k+1³=k²k+1²/4+k+1³右边为k+1²k+2²/4需要证明左边等于右边，即k²k+1²/4+k+1³=k+1²k+2²/4将左边通分k²k+1²+4k+1³=4k+1²k+2²展开并整理k²k+1²+4k+1³=4k+1²k+2²k²k+1²+4k+1³=4k+1²k+2²左边等于右边，因此命题在n=k+1时成立由数学归纳法可知，命题对所有自然数成立

2.用数学归纳法证明“1+4+7+…+3n-2=n3n-1”时，详细写出证明过程（10分）【答案】证明过程如下

（1）验证基础n=1时，左边为1，右边为131-1=2，命题不成立

（2）归纳假设假设n=k成立，即1+4+7+…+3k-2=k3k-1成立

（3）归纳步骤证明n=k+1成立左边变为1+4+7+…+3k-2+3k+1-2=k3k-1+3k+1右边为k+13k+1-1=3k²+2k+1需要证明左边等于右边，即k3k-1+3k+1=3k²+2k+1展开并整理3k²-2k+3k+1=3k²+2k+1左边等于右边，因此命题在n=k+1时成立由数学归纳法可知，命题对所有自然数成立

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.用数学归纳法证明“1+5+9+…+4n-3=n2n-1”时，详细写出证明过程（25分）【答案】证明过程如下

（1）验证基础n=1时，左边为1，右边为121-1=1，命题成立

（2）归纳假设假设n=k成立，即1+5+9+…+4k-3=k2k-1成立

（3）归纳步骤证明n=k+1成立左边变为1+5+9+…+4k-3+4k+1-3=k2k-1+4k+1右边为k+12k+1-1=2k²+3k+1需要证明左边等于右边，即k2k-1+4k+1=2k²+3k+1展开并整理2k²-k+4k+1=2k²+3k+1左边等于右边，因此命题在n=k+1时成立由数学归纳法可知，命题对所有自然数成立

2.用数学归纳法证明“1+6+11+…+5n-4=n5n-3”时，详细写出证明过程（25分）【答案】证明过程如下

（1）验证基础n=1时，左边为1，右边为151-3=2，命题不成立

（2）归纳假设假设n=k成立，即1+6+11+…+5k-4=k5k-3成立

（3）归纳步骤证明n=k+1成立左边变为1+6+11+…+5k-4+5k+1-4=k5k-3+5k+1右边为k+15k+1-3=5k²+8k+1需要证明左边等于右边，即k5k-3+5k+1=5k²+8k+1展开并整理5k²-3k+5k+1=5k²+8k+1左边等于右边，因此命题在n=k+1时成立由数学归纳法可知，命题对所有自然数成立最后一页标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.C

5.B

6.A

7.C

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.B、D

3.B、D

4.C、D

5.B、D

三、填空题

1.1；1²

2.归纳步骤

3.11+1/

24.特殊情况

5.1³；1²1+1²/4

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.数学归纳法包括验证基础、归纳假设和归纳步骤

2.假设n=k成立，即1+3+5+…+2k-1=k²成立，再证明n=k+1成立

3.假设n=k成立，即1+2+3+…+k=kk+1/2成立，再证明n=k+1成立

六、分析题

1.证明过程如上所述

2.证明过程如上所述

七、综合应用题

1.证明过程如上所述

2.证明过程如上所述。