会考试题数学难题及标准答案解析

会考试题数学难题及标准答案解析

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,0，且对称轴为x=-2，则f0的值为（）（2分）A.4B.2C.0D.-4【答案】A【解析】对称轴为x=-2，则顶点坐标为-2,k，且f1=0，代入得a+b+c=0，又顶点公式给出a-2^2+b-2+c=k，联立方程组求解得f0=c=

42.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1/2,1/3}B.{1/2}C.{1/2,0}D.{0}【答案】C【解析】A={1,2}，若B⊆A，则x=1或x=2，对应a=1/2或a不存在（即a=0），故a∈{1/2,0}

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则角B的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由题意得a^2=b^2+c^2-bc=b^2+c^2-2bccosB，对比系数得cosB=1/2，故B=60°

4.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分段函数fx在x=-2时取最小值，此时f-2=3，在x=1时取值2，故最小值为

25.若复数z满足z+2i/1-3i为实数，则z的实部为（）（2分）A.3/10B.9/10C.3/5D.9/5【答案】C【解析】设z=a+bi，代入得a+2i+2i/1-3i=a+bi，分离实部得a+4/1+9=a/10，解得a=3/

56.直线y=kx+1与圆x-1^2+y-2^2=4相切，则k的值为（）（2分）A.±√3/3B.±√2/2C.±1D.±√3【答案】A【解析】相切条件为d=R，即|k1-1+2|/√k^2+1=2，解得k=√3/3或-k=√3/

37.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_5=10，S_10=120，则a_1的值为（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】由a_5=a_1+4d=10，S_10=10a_1+45d=120，联立解得a_1=

48.某校举行篮球比赛，共有8支队伍参加，采用单循环赛制，则比赛场次为（）（2分）A.15B.28C.56D.64【答案】A【解析】单循环赛制比赛场次为C8,2=28场，但需注意每场比赛双方各一支队伍，故实际场次为15场

9.若函数fx=sinωx+φ的图像向左平移π/4个单位后与原图重合，则ω的值为（）（2分）A.4B.8C.2πD.4π【答案】C【解析】平移π/4个单位得fx=sinωx+π/4+φ，与原函数重合即ωπ/4=k2π，解得ω=8k，最小正值为

810.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x-y=0的距离为√2，则a+b^2的最小值为（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】距离公式为|a-b|/√2=√2，即|a-b|=2，利用基本不等式a+b^2≥4|a-b|=8，当a=b±2时取等号，最小值为4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）A.空集是任何集合的真子集B.若A∩B=A，则A⊆BC.函数y=1/x在定义域内单调递减D.若ab，则a^2b^2E.等比数列的前n项和S_n一定不为0【答案】B、D【解析】A错误，空集是任何非空集合的真子集；C错误，函数在各自区间单调；E错误，若首项为0则S_n=

02.在△ABC中，下列条件能推出△ABC是直角三角形的有（）A.a^2+b^2=c^2B.sinA=sinBC.cosA+B=0D.角C是角A和角B的等差中项E.边BC上的高与中线重合【答案】A、C、E【解析】B不能推出直角三角形；D中若C=60°则A=B=60°，非直角三角形

3.关于函数fx=e^x-x^2，下列说法正确的有（）A.函数在-∞,1上单调递减B.函数有且仅有两个零点C.函数的最小值大于0D.函数图像关于原点对称E.函数在1,+∞上单调递增【答案】A、B、E【解析】C错误，f1=-1/e0；D错误，非奇函数；B正确，有x≈

0.56和x≈

1.65两个零点

4.在四棱锥P-ABCD中，下列结论正确的有（）A.若底面ABCD是矩形，则PA⊥平面ABCDB.若PA⊥AD且PA⊥BC，则PA⊥平面ABCC.对角线AC与BD相交于O，若PO⊥平面ABCD，则AC⊥BDD.若侧面PAB⊥底面ABCD，则PD⊥ABE.对角线AC与BD垂直，则AC⊥BD【答案】B、C【解析】A错误，PA不一定垂直；D错误，PD与AB可能平行；E错误，垂直需PO垂直底面

5.在概率论中，下列说法正确的有（）A.事件A与B互斥，则PA∪B=PA+PBB.随机变量X~N0,1，则PX0=

0.5C.样本容量n越大，样本频率分布直方图越接近总体分布D.若事件A的概率为p，则P¬A=1-pE.全概率公式适用于任何条件概率问题【答案】A、B、C、D【解析】E错误，全概率公式需满足划分条件

三、填空题

1.已知函数fx=log_ax+3-1a0,a≠1的图像过点1,0，则a=______（4分）【答案】2【解析】代入f1=log_a4-1=0，得log_a4=1，即a=

22.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB=______（4分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/234=3/

53.某校举行数学竞赛，共有6道选择题，每题10分，答对得10分，答错或不答得0分，则总分为60分的考生至少答对了______道题（4分）【答案】4【解析】答对n道题得分为10n，答错m道题不得分，则10n=60，n=6，但若全对得60分，故至少答对4道

4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q=______（4分）【答案】3【解析】a_4=a_2q^2，即54=6q^2，解得q=

35.函数fx=|x-1|+|x+2|的图像与x轴围成的封闭图形的面积为______（4分）【答案】3【解析】图像为V形，顶点1,0和-2,0，面积为1/233=

4.

56.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y=0的对称点为______（4分）【答案】2,1【解析】中点在直线上，坐标互換

7.若复数z满足z^2=4i，则argz=______（4分）【答案】3π/4或7π/4【解析】z=2i或-2i，辐角为3π/4或7π/

48.在△ABC中，若sinA/sinB=3/2，则a/b=______（4分）【答案】3/2【解析】正弦定理a/sinA=b/sinB，故a/b=sinA/sinB=3/2

四、判断题

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在反函数（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如狄利克雷函数

2.若集合A与B的交集为空集，则A与B互斥（）（2分）【答案】（×）【解析】互斥要求A∩B=∅且A∪B≠∅，空集可能不满足

3.若四棱锥的底面是梯形，则其侧面不可能都是直角三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】如正四棱锥的侧面是等腰直角三角形

4.随机事件的概率一定在[0,1]区间内（）（2分）【答案】（√）【解析】概率定义要求PA∈[0,1]

5.若函数fx在x=x_0处取得极值，则fx_0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx_0=0是必要非充分条件，如拐点

五、简答题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间和极值点（5分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时fx0，增区间-∞,0；当0x2时fx0，减区间0,2；当x2时fx0，增区间2,+∞f0=2为极大值，f2=-2为极小值

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-2bccosA，求角C的度数（5分）【答案】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，题意给出a^2=b^2+c^2-bc，对比系数得cosA=1/2，故角C=60°

3.设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n-3n，求通项公式a_n（5分）【答案】当n=1时a_1=S_1=2a_1-3，a_1=3当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-3n-[2a_{n-1}-3n-1]，整理得a_n=2a_{n-1}+3，即a_n+1=2a_{n-1}+1，故{a_n+1}是首项4公比2的等比数列，a_n=2^n+1-1=2^n-1

六、分析题

1.设函数fx=|x-a|+|x-b|，其中ab，讨论函数的单调性和最小值（10分）【答案】分段函数fx x≤a时fx=2x-a+baxb时fx=b-axb时fx=2x-a+b在-∞,a上单调递减，在a,+∞上单调递增最小值在x=a+b/2处取得，f_{min}=b-a

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2=b^2+c^2-bc，求证该三角形为等腰三角形（10分）【答案】由a^2=b^2+c^2-bc，变形得a^2=b^2+c^2-2bccosB+bc，即cosB=1/2，故角B=60°由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac，整理得a-c^2=0，即a=c，故为等腰三角形

七、综合应用题已知函数fx=|x^2-2x+3|，求函数的最小值，并画出函数的图像（15分）【答案】fx=|x^2-2x+3|，令gx=x^2-2x+3=x-1^2+2，gx≥2，故fx≥2当x=1时f1=2，故最小值为2图像为V形，顶点1,2，在x轴上方，关于x=1对称标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.B

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.B、D

2.A、C、E

3.A、B、E

4.B、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

22.3/

53.

44.

35.

36.2,

17.3π/4或7π/

48.3/2

四、判断题

1.×

2.×

3.×

4.√

5.×

五、简答题见解析

六、分析题见解析

七、综合应用题见解析。