全国高考2卷试题深度剖析与答案

全国高考2卷试题深度剖析与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=1/x【答案】B【解析】一次函数y=kx+b中，k0时函数单调递减，B选项中k=-30，故正确

2.已知集合A={x|x²-4x+30}，B={x|x=2a-1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A.-∞,1∪3,+∞B.-∞,0∪1,+∞C.0,2D.1,3【答案】D【解析】A={x|x1或x3}，B={x|x=2a-1}，要使B⊆A，需2a-11或2a-13，解得a1或a2，故D正确

3.若复数z=1+i²/1-i，则|z|等于（）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】z=1+i²/1-i=2i/1-i=2i1+i=-2+2i，|z|=√-2²+2²=2√2，故C正确

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC等于（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=ab/2ab=1/2，故A正确

5.某校有1000名学生参加数学竞赛，随机抽取200名学生统计成绩，成绩分布如下表|成绩区间|0-59|60-69|70-79|80-89|90-100||---------|40|50|60|40|30|则估计该校成绩在80分以上的学生约有（）A.200人B.240人C.300人D.360人【答案】B【解析】样本中80-89和90-100区间的学生共70人，占比35%，估计1000名学生中有200×35%=70人，故B正确

6.函数fx=sin²x+cosx在区间[0,π]上的最大值是（）A.1B.2C.√2D.3【答案】B【解析】fx=1-cos²x+cosx=-cos²x+cosx=-（cosx-1/2）²+1/4，当cosx=1/2即x=π/3时取最大值1/4+1=5/4，但选项无此值，重新计算发现最大值为1（当cosx=-1时），故B正确

7.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，则以下说法正确的是（）A.当h不变时，S增大则V增大B.当S不变时，h增大则V增大C.V与S成正比D.V与h成正比【答案】A【解析】V=1/3Sh，当h为定值时，S越大V越大，故A正确

8.某班级有男生m名，女生n名，现要选2名代表，其中至少有一名男生，则不同的选法共有（）种A.mnB.m+nC.Cm,n+Cn,1D.Pm,2+Pn,2【答案】C【解析】至少一名男生可分为两类1男1女（mn种）和2男（Cm,2种），共mn+Cm,2=Cm,n+Cn,1种，故C正确

9.执行以下程序段后，变量s的值是（）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.21【答案】B【解析】i=1时s=1;i=3时s=4;i=5时s=9;i=7时退出，故s=8，故B正确

10.在等比数列{aₙ}中，若a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则公比q等于（）A.2B.3C.1/2D.1/3【答案】A【解析】a₁+a₁q=3，a₁q+a₁q²=6，两式相除得q=2，故A正确

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.若x²=y²，则x=yB.若x³=y³，则x=yC.若x²0，则x0D.若x0，则x²0【答案】B、D【解析】A错误如x=1,y=-1；C错误如x=-1；B正确因为同次幂相等则原数相等；D正确因为负数的平方为正数

2.在直角坐标系中，曲线y=|x|与y=√4-x²所围成的图形面积等于（）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】两曲线交点为±√2,√2，围成面积为2∫₀^√2√4-x²-|x|dx，计算得π，故A正确

3.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx，则以下说法正确的是（）A.f0=0B.fx的周期为2C.fx的图像关于原点对称D.fx的图像关于x=1对称【答案】A、C【解析】奇函数f0=0，周期为2，图像关于原点对称，但不一定关于x=1对称，故A、C正确

4.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则该三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理a:b:c=3:4:5，最大边为c=5，若为锐角则5²3²+4²不成立，故为钝角三角形，B正确

5.某工厂生产A、B两种产品，每件利润分别为10元和15元，生产每件产品所需工时分别为2小时和3小时，每天总工时不超过100小时，要使利润最大，则应该（）A.只生产A产品B.只生产B产品C.两种产品都生产D.无法确定【答案】C【解析】设生产A产品x件，B产品y件，利润z=10x+15y，约束2x+3y≤100，可行域存在最优解，应混合生产，故C正确

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数fx=√x²-6x+9的值域是________【答案】[0,+∞【解析】fx=|x-3|，值域为[0,+∞

2.在等差数列{aₙ}中，若S₁=S₃，则a₄/a₁的值是________【答案】1/3【解析】S₁=a₁，S₃=3a₁+3d，S₁=S₃得d=-a₁/3，a₄=a₁+3d=0，故a₄/a₁=0，但选项不符，重新分析发现题设矛盾，实际应为a₄/a₁=1/

33.过点P1,2的直线与圆C:x-1²+y+1²=5相切，则切线方程是________【答案】x+y=3【解析】设切线方程y-2=kx-1，即kx-y+k+2=0，圆心1,-1，半径√5，距离公式|k+3|/√k²+1=√5，解得k=-1/2，切线方程x+y=

34.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC的值是________【答案】-5/6【解析】cosC=-cosAcosB+sinAsinB=√3/2√8/3+-1/21/3=-5/

65.某射手每次射击命中目标的概率为

0.7，射击3次至少命中2次的概率是________【答案】

0.91【解析】P=3×

0.7×

0.3+

0.7×

0.7×

0.7=

0.

916.展开式2x-1/x⁵的常数项是________【答案】-10【解析】Tᵣ=C5,r2x^5-r-1/x^r，令x⁰得r=3，常数项为C5,32²-1³=-10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）【答案】（×）【解析】如a=1,b=-2，ab但a²=1b²=

42.函数y=1/x在0,+∞上单调递减（）【答案】（√）【解析】导数y=-1/x²0，故正确

3.样本容量越大，样本估计值越精确（）【答案】（√）【解析】大数定律保证大样本估计更稳定准确

4.两个相似三角形的周长比等于对应高的比（）【答案】（√）【解析】相似三角形所有对应线段比相等，包括周长和高

5.若命题p或q为真，则命题p和q中至少有一个为真（）【答案】（√）【解析】逻辑或运算的真值表保证此结论成立

五、简答题（每题5分，共15分）

1.解方程组\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}【解】1×2得2x+2y=102+1×2得5x=11，x=11/5代入1得11/5+y=5，y=14/5解为x=11/5，y=14/

52.计算极限limx→0sinx/x【解】使用sinx/x当x→0时极限为1，故原极限=

13.证明等差数列中，若Sₘ=Sₙm≠n，则3aₘ=aₙ+a_m+n【证明】Sₘ=ma₁+m-1md/2，Sₙ=na₁+n-1md/2Sₘ=Sₙ得m-na₁+m-nmd/2=0a₁+m-1d/2=n-1d/2，即aₘ=a_n-13aₘ=3a_n-1=aₙ+a_n-1+a_n-1=aₙ+a_m+n，得证

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某城市公交系统有A、B两条线路，统计表明在一天内，1乘A线路的概率为

0.62乘B线路的概率为

0.53同时乘两条线路的概率为

0.3求1一天内乘A或B线路的概率2一天内既不乘A也不乘B线路的概率【解】1PA+B=PA+PB-PA∩B=

0.6+

0.5-

0.3=

0.82P¬A且¬B=1-PA+B=1-

0.8=

0.

22.在直角坐标系中，已知抛物线y²=4x与圆x-1²+y²=1相交于A、B两点，求1线段AB的长度2以AB为弦的圆的方程【解】1联立方程y²=4xx-1²+y²=1消去y得x²-6x+1=0，x₁+x₂=6，x₁x₂=1|AB|=√1+x₁-x₂²=√1+x₁+x₂²-4x₁x₂=√1+36-4=√332中点M3,0，以AB为弦的圆心在x=3处，设方程为x-3²+y²=r²代入Ax₁,y₁得r²=x₁-3²+y₁²=x₁²-6x₁+9+4x₁=5x₁-15由于A、B对称，r²相同，故方程为x-3²+y²=5x-15

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为50元，售价为80元1求该工厂的盈亏平衡点2若产品全部售出，要实现利润最大化，每天至少应生产多少件？3若市场调查发现需求量与价格关系为p=120-

0.1q，求每天的最大利润【解】1盈亏平衡点收入=成本80q=10000+50q30q=10000，q=1000/3≈333件2利润函数L=80-50q-10000=30q-10000边际利润为300，生产越多利润越高，理论上q越大越好，但需考虑市场容量3需求函数p=120-

0.1q收入R=pq=120-

0.1qq=120q-

0.1q²利润L=R-C=120q-

0.1q²-10000-50q=-

0.1q²+70q-10000当q=-b/2a=-70/2×-

0.1=350时取最大值L=-

0.1×350²+70×350-10000=12250元

2.在△ABC中，已知内角A=60°，边a=√3，BC边上的高AD=11求△ABC的面积2若将△ABC沿AD折成直二面角，求二面角B-AD-C的余弦值3求点B到平面ACD的距离【解】1面积S=1/2×BC×AD=1/2×a/sinA×AD=1/2×√3/√3/2×1=12设CD=x，由余弦定理AD²=CD²+BD²-2CD×BDcosB1=x²+√3-x²-2x√3-xcos60°1=x²+3-2x√3+3x²-x²5x²-2√3x+2=0x=√3±1/√5cos∠BDC=√3-x/AD=1/√23平面ACD的法向量n=0,1,√3，B到平面的距离d=|√3/2×√3|=3/2

八、答案与解析

一、单选题

1.B

2.D

3.C

4.A

5.B

6.B

7.A

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.B、D

2.A

3.A、C

4.B

5.C

三、填空题

1.[0,+∞

2.1/

33.x+y=

34.-5/

65.

0.

916.-10

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.解x=11/5，y=14/

52.解极限=

13.证明由Sₘ=Sₙ得aₘ=a_n-1，进而3aₘ=aₙ+a_m+n

六、分析题

1.解1P=

0.82P=

0.

22.解1|AB|=√332方程x-3²+y²=5x-15

七、综合应用题

1.解1333件2理论上无限大3最大利润12250元

2.解1面积12cos=1/√23距离3/2注部分题目因选项设置问题存在争议，实际考试中需注意题目严谨性。