公因数公倍数竞赛试题及权威答案

公因数公倍数竞赛试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个数是12和18的最大公因数？（）（2分）A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18其中最大公因数是

62.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是120，如果其中一个数是24，那么另一个数是（）（2分）A.30B.36C.40D.48【答案】B【解析】根据最小公倍数与最大公因数的关系，设另一个数为x，则12×x=120，解得x=1010与24的最小公倍数是120，符合条件

3.下列哪组数互质？（）（2分）A.8和12B.9和15C.7和14D.11和13【答案】D【解析】互质是指两个数的最大公因数为111和13都是质数，互质

4.一个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这个数可能是（）（2分）A.15B.30C.45D.60【答案】C【解析】15和90的最大公因数是15，最小公倍数是90，符合条件

5.两个数的最大公因数是8，最小公倍数是72，这两个数的和可能是（）（2分）A.80B.84C.88D.92【答案】B【解析】设这两个数为8a和8b，其中a和b互质，且8ab=72，解得ab=9可能的a和b组合是1和9，或3和3对应的两个数分别是8和72，或24和24和分别为80和48，符合条件的是

806.如果两个数的最大公因数是12，那么它们的公倍数一定是（）（2分）A.12B.24C.36D.48【答案】C【解析】公倍数必须是两个数的倍数，12的倍数有12,24,36,48等，但最小的公倍数是12×最小质因数的乘积，所以答案是

367.下列哪个数是9和12的公倍数但不是它们的最大公倍数？（）（2分）A.36B.18C.24D.27【答案】C【解析】9和12的公倍数有36,18,24,27等，但最大公倍数是36，所以24是符合条件的数

8.两个数的最大公因数是15，最小公倍数是45，这两个数的和是（）（2分）A.30B.45C.60D.90【答案】B【解析】设这两个数为15a和15b，其中a和b互质，且15ab=45，解得ab=3可能的a和b组合是1和3对应的两个数分别是15和45，和为

609.如果两个数的最大公因数是12，最小公倍数是156，那么这两个数的和可能是（）（2分）A.108B.120C.132D.144【答案】A【解析】设这两个数为12a和12b，其中a和b互质，且12ab=156，解得ab=13可能的a和b组合是1和13对应的两个数分别是12和156，和为168符合条件的答案是

10810.两个数的最大公因数是10，最小公倍数是100，这两个数的和是（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】C【解析】设这两个数为10a和10b，其中a和b互质，且10ab=100，解得ab=10可能的a和b组合是1和10对应的两个数分别是10和100，和为110符合条件的答案是40

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是12和18的公因数？（）（4分）A.1B.2C.3D.6E.9【答案】A、B、C、D【解析】12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18公因数有1,2,3,

62.以下哪些是15和35的公倍数？（）（4分）A.15B.30C.45D.60E.105【答案】A、B、C、E【解析】15的倍数有15,30,45,60,75,90,105等；35的倍数有35,70,105等公倍数有15,30,45,

1053.如果两个数的最小公倍数是60，以下哪些可能是它们的最大公因数？（）（4分）A.1B.2C.3D.4E.5【答案】A、B、C、E【解析】60的因数有1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60最大公因数必须是这两个数的公因数，所以可能是1,2,3,

54.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，以下哪些可能是这两个数？（）（4分）A.6和12B.6和18C.12和24D.18和36E.9和36【答案】A、B、D【解析】6和12的最小公倍数是12，不符合条件；6和18的最小公倍数是18，不符合条件；12和24的最小公倍数是24，不符合条件；18和36的最小公倍数是36，符合条件；9和36的最小公倍数是36，符合条件

5.以下哪些是互质数？（）（4分）A.8和9B.7和10C.12和15D.14和21E.11和12【答案】A、B、E【解析】互质是指两个数的最大公因数为18和9互质；7和10互质；11和12互质

三、填空题（每题4分，共20分）

1.12和18的最大公因数是______，最小公倍数是______（4分）【答案】6，36【解析】12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18最大公因数是6，最小公倍数是

362.两个数的最大公因数是15，最小公倍数是60，如果其中一个数是30，那么另一个数是______（4分）【答案】12【解析】设另一个数为x，则15×x=60，解得x=

123.如果两个数的最大公因数是12，最小公倍数是156，那么这两个数的和是______（4分）【答案】78【解析】设这两个数为12a和12b，其中a和b互质，且12ab=156，解得ab=13可能的a和b组合是1和13对应的两个数分别是12和156，和为

1684.两个数的最大公因数是10，最小公倍数是100，这两个数的和是______（4分）【答案】50【解析】设这两个数为10a和10b，其中a和b互质，且10ab=100，解得ab=10可能的a和b组合是1和10对应的两个数分别是10和100，和为

1105.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是126，这两个数的和是______（4分）【答案】45【解析】设这两个数为9a和9b，其中a和b互质，且9ab=126，解得ab=14可能的a和b组合是1和14对应的两个数分别是9和126，和为135

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个互质数的最大公因数是1（）（2分）【答案】（√）

2.两个数的公倍数一定是它们的最大公倍数（）（2分）【答案】（×）【解析】公倍数不一定是最大公倍数，只有最小的公倍数才是最大公倍数

3.两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积（）（2分）【答案】（√）

4.如果两个数的最大公因数是12，那么它们的公倍数一定是12的倍数（）（2分）【答案】（√）

5.两个质数的公倍数一定是它们的乘积（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述什么是最大公因数和最小公倍数（5分）【答案】最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个

2.举例说明如何求两个数的最大公因数和最小公倍数（5分）【答案】例如，求12和18的最大公因数和最小公倍数12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18最大公因数是6，最小公倍数是

363.简述互质数的概念及其特点（5分）【答案】互质数是指两个数的最大公因数为1互质数的特点是它们之间没有除了1以外的公因数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析两个数的最大公因数和最小公倍数之间的关系（10分）【答案】两个数的最大公因数和最小公倍数之间的关系可以用以下公式表示最大公因数×最小公倍数=这两个数的乘积例如，12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36，6×36=12×18这个关系可以用于求两个数的最大公因数和最小公倍数

2.分析互质数在日常生活和数学中的应用（10分）【答案】互质数在日常生活和数学中有广泛的应用例如，在分数约分时，需要找到分子和分母的互质数；在密码学中，互质数用于生成密钥互质数的概念也是解决一些数学问题的基础，如最大公因数和最小公倍数的计算

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，求这两个数（25分）【答案】设这两个数为12a和12b，其中a和b互质，且12ab=180，解得ab=15可能的a和b组合是1和15，或3和5对应的两个数分别是12和180，或36和

602.已知两个数的最大公因数是15，最小公倍数是210，求这两个数的和（25分）【答案】设这两个数为15a和15b，其中a和b互质，且15ab=210，解得ab=14可能的a和b组合是1和14，或2和7对应的两个数分别是15和210，或30和105和分别为225和120---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.D

4.C

5.B

6.C

7.C

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C、E

3.A、B、C、E

4.A、D、E

5.A、B、E

三、填空题

1.6，

362.

123.

784.

505.45

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大公因数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个

2.例如，求12和18的最大公因数和最小公倍数12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18最大公因数是6，最小公倍数是

363.互质数是指两个数的最大公因数为1互质数的特点是它们之间没有除了1以外的公因数

六、分析题

1.两个数的最大公因数和最小公倍数之间的关系可以用以下公式表示最大公因数×最小公倍数=这两个数的乘积例如，12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36，6×36=12×18这个关系可以用于求两个数的最大公因数和最小公倍数

2.互质数在日常生活和数学中有广泛的应用例如，在分数约分时，需要找到分子和分母的互质数；在密码学中，互质数用于生成密钥互质数的概念也是解决一些数学问题的基础，如最大公因数和最小公倍数的计算

七、综合应用题

1.设这两个数为12a和12b，其中a和b互质，且12ab=180，解得ab=15可能的a和b组合是1和15，或3和5对应的两个数分别是12和180，或36和

602.设这两个数为15a和15b，其中a和b互质，且15ab=210，解得ab=14可能的a和b组合是1和14，或2和7对应的两个数分别是15和210，或30和105和分别为225和120。