函数性质练习题及答案解析

函数性质练习题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+2在区间-2,2上的最大值是（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-8,f-1=5,f1=0,f2=4，最大值为

52.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分段讨论可得fx在x=-2处取得最小值3，在x=1处取得最小值1，整体最小值为

23.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.√2B.1C.2D.π【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，最大值为√

24.函数fx=e^x-x在实数集R上的单调性是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】fx=e^x-10，故函数在R上单调递增

5.函数fx=lnx在定义域内的图像（）（2分）A.上升且无界B.下降且无界C.上升且有界D.下降且有界【答案】A【解析】fx=1/x0，故函数在定义域0,+∞上单调递增且无界

6.函数fx=x^2-4x+3的图像的对称轴是（）（2分）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】B【解析】对称轴x=-b/2a=

27.函数fx=1/x在区间1,+∞上的图像（）（2分）A.上升B.下降C.水平D.垂直【答案】B【解析】fx=-1/x^20，故函数在1,+∞上单调递减

8.函数fx=x^3-3x^2+2x的极值点是（）（2分）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3【答案】B、C【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，其中x=1为极大值点，x=2为极小值点

9.函数fx=arctanx的值域是（）（2分）A.-π/2,π/2B.0,πC.-π,πD.R【答案】A【解析】反正切函数的值域为-π/2,π/

210.函数fx=xlnx在x=1处的导数是（）（2分）A.0B.1C.eD.-1【答案】B【解析】fx=lnx+1，f1=ln1+1=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在定义域内是单调递增的？（）A.fx=x^3B.fx=e^xC.fx=lnxD.fx=1/xE.fx=sinx【答案】A、B、C【解析】A项fx=3x^20；B项fx=e^x0；C项fx=1/x0；D项fx=-1/x^20；E项fx=cosx不恒大于

02.函数fx=x^2-4x+4的图像特征包括哪些？（）A.对称轴x=2B.顶点2,0C.开口向上D.与x轴相切E.无极值【答案】A、B、C、D【解析】对称轴x=2，顶点2,0，a=10开口向上，Δ=0与x轴相切，无极值

3.函数fx=|x|在区间[-1,1]上的性质包括哪些？（）A.单调递增B.单调递减C.最小值0D.最大值1E.有极值【答案】C、D【解析】在[-1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，最小值0，最大值1，无极值

4.函数fx=sinx+cosx的周期是（）A.2πB.πC.4πD.3πE.π/2【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，周期T=2π

5.函数fx=x^3-3x在区间-2,2上的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3E.4【答案】C【解析】f-2=-2，f0=0，f2=2，由中值定理存在一个零点在-2,0和一个零点在0,2

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是______（4分）【答案】2,-

12.函数fx=e^x在x=0处的切线方程是______（4分）【答案】y=x+

13.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的值是______（4分）【答案】√

24.函数fx=lnx在x=1处的导数是______（4分）【答案】1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在区间-1,1上的最大值是1（）（2分）【答案】（√）【解析】f-1=1,f1=1，极大值1，无其他值大于

12.函数fx=arctanx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=arctan-x=-arctanx，故为奇函数

3.函数fx=x^3-3x在x=1处取得极大值（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2-3，f1=0,f1=60，故x=1处为极大值点

4.函数fx=1/x在区间1,+∞上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=-1/x^20，故函数在1,+∞上单调递减

5.函数fx=sinx是周期函数，周期为π（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=sinx的周期为2π

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数单调性的判定方法（4分）【答案】通过求导数fx，若fx0则函数单调递增，若fx0则函数单调递减

2.简述函数极值的定义及判定方法（4分）【答案】极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值通过求导数fx，令fx=0得驻点，通过二阶导数或导数符号变化判定

3.简述函数奇偶性的定义及判断方法（4分）【答案】奇函数满足f-x=-fx，偶函数满足f-x=fx通过代数运算判断函数是否满足上述条件

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的单调性、极值和最值（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3f-1=-4,f1-√3/3=5+√3/3,f1+√3/3=5-√3/3,f3=2在-1,1-√3/3和1+√3/3,3上单调递增，在1-√3/3,1+√3/3上单调递减极大值5+√3/3，极小值5-√3/3最大值5+√3/3，最小值-

42.分析函数fx=|x-1|+|x+2|在实数集R上的性质（10分）【答案】分段函数fx={x+3,x-2;-x-1,-2≤x≤1;x-1,x1在-∞,-2上单调递减，在-2,1上单调递减，在1,+∞上单调递增最小值0，在x=1处取得无最大值，趋于+∞

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，求a、b的值，并分析函数的单调性和极值（25分）【答案】fx=3x^2-2ax+b，f1=0,f-1=0得a=0,b=-3fx=x^3-3x，fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1f-1=2,f1=-2在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减极大值2，极小值-

22.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求函数的拐点，并分析函数的凹凸性（25分）【答案】fx=6x-6，令fx=0得x=1f1=1，拐点1,1在-∞,1上函数为凸函数，在1,+∞上函数为凹函数。