函数性质综合测试题及答案

函数性质综合测试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x在区间-2,2上的最大值是（）（2分）A.0B.2C.4D.8【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f-2=-10，f-1=2，f1=-2，f2=4最大值为

42.函数fx=e^x-1-x的零点个数是（）（2分）A.0B.1C.2D.无穷多【答案】B【解析】fx=e^x-1，令fx=0，得x=0f0=0，fx在-∞,0单调递减，在0,+∞单调递增零点唯一

3.函数fx=lnx+1-x的单调递增区间是（）（2分）A.-1,0B.0,+∞C.-1,+∞D.空集【答案】A【解析】fx=1/x+1-1，令fx0，得x∈-1,

04.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx在-∞,-2]上为-3x-1，在[-2,1]上为3，在[1,+∞上为x+1最小值为

35.函数fx=sin2x+cos2x的最大值是（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】C【解析】fx=√2sin2x+π/4，最大值为√

26.函数fx=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=2x-2，令fx=0，得x=1f1=2，f3=6，最小值为

27.函数fx=1/x在区间1,+∞上的性质是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.周期函数D.非奇非偶【答案】B【解析】fx=-1/x^20，单调递减

8.函数fx=x^3-3x+2的极值点是（）（2分）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=2【答案】B、C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f-1=4，f1=0，极值点为x=±

19.函数fx=e^-x^2在区间-∞,0上的性质是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.无界【答案】A【解析】fx=-2xe^-x^20，单调递增

10.函数fx=tanx在区间-π/2,π/2上的性质是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.周期函数D.有界【答案】A【解析】fx=sec^2x0，单调递增

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有？（）（4分）A.fx=x^2B.fx=lnxC.fx=1/xD.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】fx=2x0，fx=1/x0，fx=e^x

02.函数fx=x^3-3x的拐点是？（）（4分）A.0,0B.1,-2C.-1,2D.2,8【答案】A、B、C【解析】fx=6x，令fx=0，得x=0f0=0，f1=-2，f-1=2，拐点为0,

0、1,-

2、-1,

23.函数fx=sinx+cosx的周期是？（）（4分）A.2πB.πC.4πD.π/2【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，周期为2π

4.函数fx=|x|在区间-1,1上的性质有？（）（4分）A.单调递增B.单调递减C.连续D.可导【答案】C【解析】fx在-1,0单调递减，在0,1单调递增，在-1,1连续但不可导

5.函数fx=x^2lnx的定义域是？（）（4分）A.0,1B.1,+∞C.0,+∞D.空集【答案】C【解析】x0，定义域为0,+∞

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=x^3-3x+1的极小值点是______（4分）【答案】x=1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f1=-1，f-1=3，极小值点为x=

12.函数fx=e^x-1-x的渐近线是______（4分）【答案】y=x【解析】fx/x=e^x-1趋于1，渐近线为y=x

3.函数fx=sin2x的周期是______（4分）【答案】π【解析】周期为2π/2=π

4.函数fx=lnx+1的反函数是______（4分）【答案】y=e^x-1【解析】x=lny+1⇒y=e^x-

15.函数fx=x^2-4x+4的对称轴是______（4分）【答案】x=2【解析】对称轴为x=-b/2a=

26.函数fx=tanx的值域是______（4分）【答案】-∞,+∞【解析】tanx可取任意实数

7.函数fx=e^-x^2的极大值点是______（4分）【答案】x=0【解析】fx=-2xe^-x^2，令fx=0，得x=0f0=1，极大值点为x=

08.函数fx=x/x^2+1的渐近线是______（4分）【答案】y=0【解析】limx→∞fx=0，水平渐近线为y=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^3在区间-1,1上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^20，单调递增

2.函数fx=sinx在区间0,π上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=cosx，在π/2,π单调递减

3.函数fx=e^x在区间-∞,+∞上是凹函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=e^x0，凹函数

4.函数fx=lnx在区间0,1上是减函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=1/x0，单调递增

5.函数fx=x^2+x+1在区间-∞,+∞上是凸函数（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=20，凹函数

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数单调性的判断方法（4分）【答案】计算导数fx，若fx0，则函数单调递增；若fx0，则函数单调递减

2.简述函数极值的判断方法（4分）【答案】计算导数fx，令fx=0得驻点，计算二阶导数fx，若fx0，则该驻点为极小值点；若fx0，则该驻点为极大值点

3.简述函数凹凸性的判断方法（4分）【答案】计算二阶导数fx，若fx0，则函数凹；若fx0，则函数凸

4.简述函数周期的判断方法（4分）【答案】若存在T0，使得fx+T=fx对所有x成立，则T为函数的周期

5.简述函数渐近线的判断方法（4分）【答案】水平渐近线计算limx→∞fx；斜渐近线计算limx→∞[fx-ax-b]；垂直渐近线计算fx的不可导点

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的的单调性、极值和凹凸性（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0,2fx=6x-6，令fx=0，得x=1fx在-∞,0单调递增，在0,1单调递减，在1,2单调递增，在2,+∞单调递增极小值点x=1，极小值f1=0；极大值点x=0，极大值f0=2fx在-∞,1凸，在1,+∞凹

2.分析函数fx=e^-x^2的单调性、极值和凹凸性（10分）【答案】fx=-2xe^-x^2，令fx=0，得x=0fx=-4x^2+2e^-x^2，令fx=0，得x=±√

0.5fx在-∞,-√

0.5单调递增，在-√

0.5,√

0.5单调递减，在√

0.5,+∞单调递增极大值点x=-√

0.5，极大值f-√

0.5=√e/2；极小值点x=√

0.5，极小值f√

0.5=√e/2fx在-∞,-√

0.5凸，在-√

0.5,√

0.5凹，在√

0.5,+∞凸

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某物体运动规律为st=t^3-6t^2+9t，求物体速度和加速度的极值（25分）【答案】vt=st=3t^2-12t+9，at=vt=6t-12vt=6t-12，令vt=0，得t=2v2=-3，极小值at=6，无极值物体速度极小值v2=-3，加速度无极值

2.某商品需求函数为p=100-

0.01q，求收益函数、边际收益函数及其极值（25分）【答案】Rq=pq=100q-

0.01q^2，MRq=Rq=100-

0.02qMRq=-

0.02，无极值收益函数Rq=100q-

0.01q^2，边际收益函数MRq=100-

0.02q，无极值。