函数集合综合测试题及答案

函数集合综合测试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的图像是（）（2分）A.折线B.直线C.抛物线D.双曲线【答案】B【解析】绝对值函数图像为折线，但由两个绝对值函数相加得到的图像是直线

2.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是（）（2分）A.a0B.a0C.a≥0D.a≤0【答案】A【解析】二次函数图像开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

3.函数fx=2^x在R上的值域是（）（2分）A.0,+∞B.-∞,+∞C.[0,+∞D.-∞,0]【答案】A【解析】指数函数值域为0,+∞

4.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.√2B.2C.√3D.1【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，最大值为√

25.函数fx=log_ax在x→0^+时极限为（）（2分）A.0B.-∞C.+∞D.不存在【答案】B【解析】对数函数在定义域内趋近于0时极限为负无穷

6.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f1=

07.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式前四项是（）（2分）A.1+x+x^2+x^3B.1+x+x^2/2+x^3/6C.1-x+x^2-x^3D.1+x-x^2+x^3【答案】B【解析】e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!

8.函数fx=arcsinx在x=0处的导数是（）（2分）A.1B.0C.-1D.1/2【答案】B【解析】fx=1/√1-x^2，f0=

19.函数fx=xlnx在x=1处的极值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】fx=lnx+1，f1=0，f1=10，为极小值点

10.函数fx=sinxcosx的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】C【解析】fx=1/2sin2x，周期为2π/2=π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在R上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=log_2xD.y=sinxE.y=-x【答案】B、C【解析】y=e^x和y=log_2x在定义域内单调递增

2.函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值可以是（）（4分）A.3B.-3C.2D.-2E.0【答案】A、D【解析】fx=3x^2-a，f1=0⇒a=

33.函数fx=|x-1|在x=1处的导数是（）（4分）A.0B.1C.-1D.不存在E.2【答案】D【解析】绝对值函数在折点处不可导

4.函数fx=sinx+cosx的一个周期区间可以是（）（4分）A.[0,2π]B.[π,3π]C.[-π,π]D.[0,π/2]E.[2π,4π]【答案】B、E【解析】周期为2π，区间[π,3π]和[2π,4π]长度为2π

5.函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,2且对称轴为x=2，则（）（4分）A.a+b+c=2B.4a+2b+c=2C.a=1D.b=-4E.c=6【答案】B、D、E【解析】由f1=2和对称轴x=2可得方程组，解得a=1,b=-4,c=6

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】分段函数在x=-2和x=1处取得最小值

32.函数fx=2^x+1的反函数是______（4分）【答案】log_2x-1【解析】令y=2^x+1⇒x=log_2y-

13.函数fx=sinxcosx的导数是______（4分）【答案】cos2x【解析】fx=cosxcosx-sinxsinx=cos2x

4.函数fx=arcsinx的导数是______（4分）【答案】1/√1-x^2【解析】根据反函数求导法则

5.函数fx=x^3-3x的极值点是______和______（4分）【答案】-1，1【解析】fx=3x^2-3=0⇒x=±

16.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中x^3项的系数是______（4分）【答案】1/6【解析】e^x的泰勒展开式x^3项系数为1/3!

7.函数fx=log_ax在x→+∞时极限为______（4分）【答案】-∞【解析】当0a1时，对数函数在x→+∞时极限为负无穷

8.函数fx=x^2+2x+3的图像顶点坐标是______（4分）【答案】-1,2【解析】顶点坐标为-b/2a,f-b/2a

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=sinx是周期函数，周期为π（）（2分）【答案】（×）【解析】sinx的周期为2π

2.函数fx=x^2在-∞,0上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】x^2在-∞,0上单调递增

3.函数fx=e^x+e^{-x}是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=e^{-x}+e^x=fx

4.函数fx=xlnx在x=0处有定义（）（2分）【答案】（×）【解析】lnx在x=0处无定义

5.函数fx=|x|在x=0处可导（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对值函数在x=0处不可导

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点及极值（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，驻点x=0,2f0=60，极小值点x=0，极小值f0=2；f2=-60，极大值点x=2，极大值f2=-

22.求函数fx=sinx+cosx的最小正周期（4分）【答案】fx=√2sinx+π/4，周期T=2π/ω=2π/1=2π

3.求函数fx=e^x的n阶导数（4分）【答案】f^{n}x=e^x

4.求函数fx=arcsinx在x=0处的导数（4分）【答案】fx=1/√1-x^2，f0=

15.求函数fx=x^2+2x+3的图像对称轴方程（4分）【答案】对称轴方程为x=-b/2a=-2/2=-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性、极值和图像特征（10分）【答案】

（1）单调性fx=3x^2-6x=3xx-2，在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减

（2）极值x=0处极小值f0=2，x=2处极大值f2=-2

（3）图像特征过点0,2，2,-2，-1,0，图像在x=-1处有零点

2.分析函数fx=log_ax（a0,a≠1）的性质（10分）【答案】

（1）定义域0,+∞

（2）值域R

（3）单调性a1时单调递增，0a1时单调递减

（4）奇偶性非奇非偶函数

（5）过点1,0

（6）图像特征在x→0^+时极限为-∞，在x→+∞时极限为+∞

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+c，满足f1=0，f-1=0，且fx在x=2处取得极大值，且f0=5求a,b,c的值，并画出函数大致图像（25分）【答案】

（1）由f1=0和f-1=0，得1-a+b+c=0-1-a-b+c=0解得b=0，c=a-1

（2）由f0=5，得c=5⇒a=6

（3）fx=x^3-6x^2+5，fx=3x^2-12xf2=0，f2=-120，为极大值点

（4）极大值f2=8-24+5=-11图像大致特征过点1,0,-1,0,0,5，在x=2处有极大值-11，在x=-2处有极小值

2.已知函数fx=sinx+cosx，求其最大值、最小值和周期，并写出其标准形式（25分）【答案】

（1）标准形式fx=√2sinx+π/4

（2）最大值√2，最小值-√2

（3）周期T=2π

（4）图像特征在x=π/4+kπ处取得最大值，在x=5π/4+kπ处取得最小值（k∈Z）---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.B、C

2.A、D

3.D

4.B、E

5.B、D、E

三、填空题

1.

32.log_2x-

13.cos2x

4.1/√1-x^

25.-1，

16.1/

67.-∞

8.-1,2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.极值点x=0（极小值2），x=2（极大值-2）

2.最小正周期2π

3.e^x

4.

15.x=-1

六、分析题

1.单调区间-∞,

0、2,+∞递增，0,2递减；极小值2x=0，极大值-2x=2；过-1,

0、0,

2、2,-

22.定义域0,+∞；值域R；a1递增，0a1递减；非奇非偶；过1,0；x→0^-极限-∞，x→+∞极限+∞

七、综合应用题

1.a=6,b=0,c=5；图像过1,0,-1,0,0,5，极大值-11x=

22.标准形式√2sinx+π/4；最大值√2，最小值-√2；周期2π；最大值x=π/4+kπ，最小值x=5π/4+kπ。