南阳理工大一高等数学试题及答案分享

南阳理工大一高等数学试题及答案分享

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A【解析】绝对值函数在x=0处不可导，因为其导数在x=0处左右极限不相等

2.极限limx→∞3x^2+2x+1/5x^2-3x+4的值为（）（2分）A.0B.1/5C.3/5D.∞【答案】C【解析】将分子分母同时除以x^2，得limx→∞3+2/x+1/x^2/5-3/x+4/x^2=3/

53.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.0C.-2D.4【答案】D【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，计算f-2,f-1,f1,f2的值，最大值为

44.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】B【解析】只有p级数当p1时收敛，这里n^2的p=21，收敛

5.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=∫[a,b]ftdtD.fξ=fb-fa【答案】B【解析】这是拉格朗日中值定理的内容

6.函数fx=sinx在[0,π]上的平均值为（）（2分）A.0B.1C.πD.2【答案】B【解析】fx在[0,π]上的平均值为∫[0,π]sinxdx/π-0=2/π≈

0.6366，但最接近的选项是

17.曲线y=lnx在点1,0处的切线方程为（）（2分）A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x+1D.y=-x-1【答案】A【解析】y=1/x，在x=1处y=1，所以切线方程为y-0=1x-1，即y=x-

18.下列不定积分中，计算正确的是（）（2分）A.∫x^2dx=x^3+CB.∫x^3dx=x^4/4+CC.∫1/xdx=ln|x|+CD.∫e^xdx=e^x+C【答案】C【解析】A选项应该是x^3/3+C；B选项应该是x^4/4+C；D选项应该是e^x+C

9.函数y=2x^2-4x+1的拐点是（）（2分）A.1,-1B.1,1C.2,-3D.2,3【答案】A【解析】y=4x-4，令y=0，得x=1，y1=21^2-41+1=-

110.向量场Fx,y=-y,x的旋度在点1,1处的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】旋度∇×F=∂F2/∂x-∂F1/∂y=∂x/∂x-∂-y/∂y=1--1=2，但点1,1处的值是0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在x=x0处可导的必要条件？（）A.fx0存在B.fx在x=x0处连续C.fx0存在D.fx在x=x0附近有定义E.fx在x=x0处可微【答案】A、B、D【解析】函数在某点可导必须在该点连续，且在该点附近有定义，所以A、B、D是必要条件

2.以下哪些函数在其定义域内处处可导？（）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=|x|D.fx=e^xE.fx=lnx【答案】A、B、D【解析】|x|在x=0处不可导，lnx在x≤0时无定义，所以C、E不是处处可导

3.以下哪些是微分方程y-3y+2y=0的解？（）A.y=e^xB.y=e^2xC.y=xD.y=xe^xE.y=c1e^x+c2e^2x【答案】A、B、E【解析】特征方程为r^2-3r+2=0，解得r=1,2，所以通解为y=c1e^x+c2e^2x，所以A、B、E是解

4.以下哪些是定积分的性质？（）A.∫[a,b]kfx=k∫[a,b]fxdxB.∫[a,b]fx+gxdx=∫[a,b]fxdx+∫[a,b]gxdxC.∫[a,a]fxdx=0D.∫[a,b]fxdx=∫[c,b]fxdx+∫[a,c]fxdxE.∫[a,b]fxdx=∫[b,a]fxdx【答案】A、B、C【解析】E选项中定积分的上下限交换需要加负号，所以E不正确

5.以下哪些向量场是保守场？（）A.Fx,y=-y,xB.Fx,y=-x,-yC.Fx,y=-y/x,x/yD.Fx,y=-y,yE.Fx,y=-y^2,x^2【答案】A【解析】只有旋度为0的向量场才是保守场，A选项的旋度为0，所以是保守场

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数fx=x^2在[0,1]上的积分中值定理的值是______【答案】1/3【解析】根据积分中值定理，存在ξ∈[0,1]，使得∫[0,1]x^2dx=x^3|_[0,1]=1/3=fξ

2.函数y=2x^3-3x^2+x在x=1处的二阶导数是______【答案】6【解析】y=6x^2-6x+1，y=12x-6，在x=1处y=121-6=

63.级数∑n=1to∞1/3^n的求和结果是______【答案】3/2【解析】这是等比级数，首项a=1/3，公比r=1/3，求和公式为S=a/1-r=1/

24.函数y=lnx在x=1处的微分dy是______dx【答案】1【解析】dy=y|x=1dx=1/x|x=1dx=1dx

5.曲线y=xe^x在点1,e处的法线方程是______【答案】y=-e+1x-1+e【解析】y=e^x+xe^x，在x=1处y=e+e=2e，所以法线斜率为-1/2e，法线方程为y=-e+1x-1+e

6.函数fx=√x+1在x=0处的泰勒展开式的前三项是______【答案】1+x/2+x^2/8【解析】f0=1，fx=1/2√x+1，f0=1/2，fx=-1/4x+1^3/2，f0=1/8，所以泰勒展开式为1+x/2+x^2/8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上必有界

2.若函数fx在x=x0处可导，则它在x=x0处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续，这是可导的定义之一

3.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛才能保证条件收敛，这里不确定∑|a_n|是否收敛

4.若函数fx在[a,b]上可积，则它在[a,b]上必连续（）【答案】（×）【解析】可积不一定连续，例如狄利克雷函数在[0,1]上可积但处处不连续

5.若函数fx在x=x0处取得极值，且fx在x=x0处可导，则fx0=0（）【答案】（√）【解析】这是费马定理的内容

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述洛必达法则的应用条件【答案】洛必达法则适用于极限形式为0/0或∞/∞的未定式，要求分子分母在某点附近可导，且分母导数不为0，且极限存在或为无穷大

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示曲线与x轴及积分区间所围成的面积的代数和，x轴上方的面积为正，下方的面积为负

3.简述级数收敛的必要条件【答案】级数收敛的必要条件是通项趋于0，即limn→∞a_n=0，如果通项不趋于0，则级数必发散

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[-2,4]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0,2，f-2=-10，f0=2，f2=-2，f4=18，所以函数在-2,0和2,4上单调递增，在0,2上单调递减，极大值为2，极小值为-

22.分析函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在-2,3上的凹凸性和拐点【答案】fx=12x^2-12x，令fx=0，得x=0,1，f-2=-15，f0=1，f1=0，f3=1，所以函数在-2,0和1,3上凹，在0,1上凸，拐点为0,1和1,0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,π/2]sin^3xdx【答案】令u=π/2-x，则du=-dx，当x=0时u=π/2，当x=π/2时u=0，所以原式=-∫[π/2,0]sin^3π/2-udu=∫[0,π/2]cos^3udu=∫[0,π/2]1-sin^2ucosudu=sinu-sin^3u/3|_[0,π/2]=2/

32.计算不定积分∫x^2+1/x^2-1dx【答案】原式=∫x^2-1+2/x^2-1dx=∫1dx+∫2/x^2-1dx=x+∫2/x-1x+1dx=x+∫1/x-1-1/x+1dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C---标准答案---

一、单选题

1.A

2.C

3.D

4.B

5.B

6.B

7.A

8.C

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、B、E

4.A、B、C

5.A

三、填空题

1.1/

32.

63.3/

24.

15.y=-e+1x-1+e

6.1+x/2+x^2/8

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.洛必达法则适用于极限形式为0/0或∞/∞的未定式，要求分子分母在某点附近可导，且分母导数不为0，且极限存在或为无穷大

2.定积分表示曲线与x轴及积分区间所围成的面积的代数和，x轴上方的面积为正，下方的面积为负

3.级数收敛的必要条件是通项趋于0，即limn→∞a_n=0，如果通项不趋于0，则级数必发散

六、分析题

1.函数在-2,0和2,4上单调递增，在0,2上单调递减，极大值为2，极小值为-

22.函数在-2,0和1,3上凹，在0,1上凸，拐点为0,1和1,0

七、综合应用题

1.∫[0,π/2]sin^3xdx=2/

32.∫x^2+1/x^2-1dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C。