历年高考数学真题及详细答案解析

历年高考数学真题及详细答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即

32.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值是（）（2分）A.5B.7C.√7D.√13【答案】A【解析】由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×cos60°=25-12=13，故c=√

133.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a，b∈R），则a的值为（）（2分）A.-2B.2C.-1D.1【答案】A【解析】z²=1+i²=1+2i-1=2i，代入得2i+ai+b=0，实部和虚部分别为0，得a=-2，b=

04.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=36，则a_9的值为（）（2分）A.9B.12C.15D.18【答案】C【解析】由S_3和S_6的差得3a_4=27，故a_4=9又S_6-S_3=3a_4+a_5+a_6=27，故a_5=12，d=a_5-a_4=3，a_9=a_4+5d=

245.抛掷两个均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于9”，事件B为“点数之和为偶数”，则PA|B等于（）（2分）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2【答案】C【解析】事件B包含1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6，共18种情况事件A∩B包含5,4,4,5,6,3,3,6,6,2,2,6，共6种情况PA|B=6/18=1/

36.函数fx=sinx+π/4的图像关于直线x=π/4对称的函数是（）（2分）A.-cosxB.cosxC.-sinxD.sinx【答案】B【解析】fπ/4+t=sinπ/4+t+π/4=sinπ/2+t=cost，即fx+π/4=cosx，故关于x=π/4对称的函数为cosx

7.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A【解析】fx=3x²-ax，f1=3-a=0，故a=3又f1=60，故x=1处为极小值点

8.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面x+y+z=1的对称点是（）（2分）A.-1,-2,-3B.0,0,0C.1,1,1D.2,2,2【答案】C【解析】点P到平面的垂足F坐标为1+2+3/3,1+2+3/3,1+2+3/3=2,2,2，对称点Q坐标为2F-P=22,2,2-1,2,3=3,2,1，即1,1,

19.已知双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为√2，则其渐近线方程为（）（2分）A.y=±b/axB.y=±a/bxC.y=±√2xD.y=±1/√2x【答案】C【解析】e=c/a=√1+b²/a²=√2，故b/a=1，渐近线方程为y=±b/ax=±x

10.若函数gx=x²-2x+3在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为5和1，则|a-b|的可能值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】gx=x-1²+2，最小值为2，故最小值1在x=0或x=2处取得，最大值5在x=-1或x=3处取得若a=0，b=3，则|a-b|=3；若a=2，b=5，则|a-b|=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若a²b²，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab，则√a√b【答案】C、D【解析】A不正确，如a=2，b=-3；B不正确，如a=-3，b=-2；C正确，若ab0，则1/a1/b；D正确，若ab0，则√a√b

2.已知函数fx=e^x-x，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx在R上单调递增B.fx在R上存在唯一零点C.fx的最小值为1D.fx的图像关于点1,0中心对称【答案】A、B【解析】fx=e^x-1，当x0时，fx0，fx单调递增；当x0时，fx0，fx单调递减fx在x=0处取得最小值f0=1，故A、B正确，C错误f1-x=e^1-x-1-x=e/e^x-1+x，不等于-e^x+x，故D错误

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=c²，则下列结论正确的是（）（4分）A.cosC=1/2B.sinA=sinBC.△ABC是直角三角形D.△ABC是等腰三角形【答案】C【解析】由勾股定理，a²+b²=c²，故△ABC是直角三角形，C=90°，A+B=90°，故sinA=sinB，但cosC=0≠1/2，故A、B、D错误，C正确

4.已知函数fx=sin²x+cos²x+tan²x，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx是奇函数B.fx是偶函数C.fx的值域为[1,+∞D.fx在x=π/4处取得最小值【答案】C、D【解析】fx=1+sin²x/cos²x=1+tan²x，f-x=1+tan²-x=1+tan²x=fx，故fx是偶函数，B正确，A错误当cos²x0时，fx1；当cos²x=0时，fx无意义故值域为[1,+∞，C正确fx=2sinxcosx/cos²x-sin²x/cos³x=2sinxcos²x-sin²x/cos³x，fπ/4=0又fx=2cos²x/cos²x+4sin²x/cos³x=2+4tan²x0，故x=π/4处取得最小值，D正确

5.已知点A1,2，B3,0，C2,1，则下列说法正确的是（）（4分）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.△ABC的面积等于1D.过A、B、C三点的圆的圆心在y轴上【答案】A、C【解析】|AB|=√3-1²+0-2²=√8；|BC|=√2-3²+1-0²=√2；|AC|=√2-1²+1-2²=√2，故△ABC是等腰三角形，A正确|AB|²+|BC|²=8+2=10≠|AC|²=2，故不是直角三角形，B错误设BC中点为D5/2,1/2，则AD垂直平分BC，故圆心在AD上，AD的斜率为2-1/2/1-5/2=-3，故圆心横坐标为5/2，在y轴上，D正确面积S=1/2|BC|×|AD|=1/2×√2×3√2=3，C错误

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=ax²+bx+1在x=1处取得极值-1，则a+b的值为________（4分）【答案】-2【解析】fx=2ax+b，f1=2a+b=0，f1=a+b+1=-1，故a+b=-

22.在等比数列{a_n}中，若a_3=4，a_6=16，则a_5的值为________（4分）【答案】8【解析】设公比为q，则a_6=a_3q³，q³=16/4=4，故q=∛4=2^2/3a_5=a_3q²=4×2^2/3²=4×2^4/3=2^2+4/3=2^10/3=

83.已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y-3=0，则圆C的圆心坐标为________（4分）【答案】1,-2【解析】圆方程可化为x-1²+y+2²=4，故圆心坐标为1,-

24.已知函数fx=sinx+π/3-cosx-π/6，则fπ/6的值为________（4分）【答案】1【解析】fπ/6=sinπ/6+π/3-cosπ/6-π/6=sinπ/2-cosπ/6=1-√3/2=

15.已知向量a=1,2，b=3,-1，则向量a×b的模长为________（4分）【答案】5【解析】a×b的模长为|a||b|sinθ=√1²+2²×√3²+-1²×sinθ=√5×√10×sinθ=5sinθ，当θ=π/2时取得最大值5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4，b=1，则√a=2√b=1；但如a=-1，b=-2，则ab，但√a无意义，故不成立

2.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=3（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x²-ax，f1=3-a=0，故a=3又f1=60，故x=1处为极小值点

3.已知双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为√2，则其渐近线方程为y=±x（）（2分）【答案】（√）【解析】e=c/a=√1+b²/a²=√2，故b/a=1，渐近线方程为y=±b/ax=±x

4.若函数gx=x²-2x+3在区间[1,2]上的最大值为5，则g1=2（）（2分）【答案】（√）【解析】g1=1²-2×1+3=2，g2=2²-2×2+3=3，故最大值为5，故g1=

25.已知点A1,2，B3,0，C2,1，则△ABC是等腰直角三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】|AB|=√8；|BC|=√2；|AC|=√2，故△ABC是等腰三角形，但|AB|²≠|BC|²+|AC|²，故不是直角三角形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，fx单调递增；当0x2时，fx0，fx单调递减；当x2时，fx0，fx单调递增故单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_4=16，S_6=27，求a_9的值（4分）【答案】S_6-S_4=3a_5+a_6=27-16=11，故a_5+a_6=11/3又S_4=4a_1+6d=16，故2a_1+3d=8a_9=a_4+5d=a_1+8d=a_1+4a_5-a_1=4a_5-3a_1=4a_1+4d-3a_1=a_1+13d=2a_1+6d-a_1=2×8-a_1=a_1+16-a_1=16-11/3=43/

33.已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y-3=0，求圆C的半径和面积（4分）【答案】圆方程可化为x-1²+y+2²=4，故半径r=√4=2面积S=πr²=4π

4.已知向量a=1,2，b=3,-1，求向量a与b的夹角θ的余弦值（4分）【答案】|a|=√1²+2²=√5，|b|=√3²+-1²=√10，a·b=1×3+2×-1=1cosθ=a·b/|a||b|=1/√5×√10=1/√50=√2/

105.已知函数fx=sinx+π/3-cosx-π/6，求fx的最小正周期（4分）【答案】fx=sinx+π/3-cosx-π/6=sinx+π/3-sinπ/2-x-π/6=sinx+π/3-sinπ/3-x=2sinπ/3cosx=√3cosx，故最小正周期为2π/|ω|=2π/1=2π

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断x=1处是极大值还是极小值点（10分）【答案】fx=3x²-ax，f1=3-a=0，故a=3fx=6x-a，f1=6-3=30，故x=1处为极小值点

2.已知点A1,2，B3,0，C2,1，求△ABC的面积（10分）【答案】设BC中点为D5/2,1/2，则AD垂直平分BC，故圆心在AD上，AD的斜率为2-1/2/1-5/2=-3，故圆心横坐标为5/2，在y轴上设圆心为5/2,y，则|AD|=√5/2-1²+y-2²=√9/4+y-2²，|BD|=√5/2-3²+y-0²=√1/4+y-0²由勾股定理，9/4+y-2²+1/4+y-0²=25/4，故y-2²+y-0²=4，即y²-4y+4+y²=4，故2y²-4y=0，yy-2=0，故y=0或y=2若y=0，则圆心为5/2,0，|AD|=√9/4+4=√25/4=5/2，|BD|=√1/4+0=1/2，故面积为S=1/2|BC|×|AD|=1/2×√2×5/2=5√2/4若y=2，则圆心为5/2,2，|AD|=√9/4+0=3/2，|BD|=√1/4+4=√17/4=√17/2，故面积为S=1/2|BC|×|AD|=1/2×√2×3/2=3√2/4故面积为5√2/4或3√2/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间，并证明fx在R上存在唯一零点（25分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，fx单调递增；当0x2时，fx0，fx单调递减；当x2时，fx0，fx单调递增故单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2f0=20，f2=-20，且fx在0,2上单调递减，故在0,2上存在唯一零点x_0又fx在-∞,0上单调递增，且f-1=-20，f0=20，故在-∞,0上存在唯一零点x_1又fx在2,+∞上单调递增，且f3=20，故在2,+∞上不存在零点故fx在R上存在唯一零点x_0∈0,

22.已知函数fx=sinx+π/3-cosx-π/6，求fx的最小正周期，并证明fx在[0,π]上存在唯一零点（25分）【答案】fx=sinx+π/3-cosx-π/6=sinx+π/3-sinπ/2-x-π/6=sinx+π/3-sinπ/3-x=2sinπ/3cosx=√3cosx，故最小正周期为2π/|ω|=2π/1=2πf0=√30，fπ=√30，且fx在[0,π]上单调递减，故在[0,π]上不存在零点考虑[0,2π]，f0=√30，fπ=√30，f2π=-√30，且fx在[π,2π]上单调递增，故在[π,2π]上存在唯一零点x_0∈π,2π故fx在[0,π]上不存在零点，但在[π,2π]上存在唯一零点x_0。