反函数易错试题讲解及正确答案指引

反函数易错试题讲解及正确答案指引

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数y=3x+2的反函数是（）（2分）A.y=3x-2B.y=1/3x-2C.y=1/3x+2D.y=-1/3x+2【答案】C【解析】求反函数时，先交换x,y，再解出y，即y=3x+2互换得x=3y+2，解得y=x-2/3，即y=1/3x-2/3，与选项C最接近，但需注意原答案有误，正确答案应为y=1/3x-2/

32.函数fx=√x+1的反函数是（）（2分）A.f^-1x=x^2-1B.f^-1x=x^2+1C.f^-1x=x^2-1/2D.f^-1x=x^2+1/2【答案】A【解析】交换x,y，得x=√y+1，平方得x^2=y+1，解得y=x^2-

13.函数y=2^x的反函数是（）（2分）A.y=log2xB.y=2logxC.y=logx/2D.y=2^-x【答案】A【解析】交换x,y，得x=2^y，对数变换得y=log2x

4.函数y=1-x的反函数是（）（2分）A.y=x-1B.y=1-xC.y=-x+1D.y=x+1【答案】C【解析】交换x,y，得x=1-y，解得y=1-x

5.函数y=|x|在x≥0时的反函数是（）（2分）A.y=xB.y=-xC.y=√xD.y=-√x【答案】C【解析】交换x,y，得x=|y|，由于y≥0，得x=y，即y=x

6.函数y=3^x的反函数是（）（2分）A.y=log3xB.y=3logxC.y=logx/3D.y=3^-x【答案】A【解析】交换x,y，得x=3^y，对数变换得y=log3x

7.函数y=x^3的反函数是（）（2分）A.y=∛xB.y=√xC.y=1/3xD.y=x^2【答案】A【解析】交换x,y，得x=y^3，开立方得y=∛x

8.函数y=1/2x的反函数是（）（2分）A.y=2xB.y=1/2xC.y=-2xD.y=-1/2x【答案】A【解析】交换x,y，得x=1/2y，解得y=2x

9.函数y=2x+1的反函数是（）（2分）A.y=x-1B.y=1/2x-1C.y=1/2x+1D.y=2x-1【答案】B【解析】交换x,y，得x=2y+1，解得y=x-1/

210.函数y=x^2（x≥0）的反函数是（）（2分）A.y=√xB.y=-√xC.y=√-xD.y=-√-x【答案】A【解析】交换x,y，得x=y^2，开平方得y=√x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，存在反函数的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=√xD.y=1/xE.y=3^x【答案】B、C、D、E【解析】存在反函数的函数必须是一一对应的，A中y=x^2在x≥0时为一一对应，故存在反函数

2.下列函数中，其反函数与其本身相同的函数有（）（4分）A.y=xB.y=-xC.y=2xD.y=1/xE.y=3^x【答案】A、D【解析】反函数与其本身相同的函数必须是关于y=x对称的，只有y=x和y=1/x满足

3.函数y=fx的反函数f^-1x的定义域和值域分别是（）（4分）A.fx的值域B.fx的定义域C.f^-1x的值域D.f^-1x的定义域【答案】A、B【解析】反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域

4.下列关于反函数的说法中，正确的有（）（4分）A.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域B.反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称C.反函数的求法是先交换x,y，再解出yD.反函数一定存在E.反函数的求法是先解出y，再交换x,y【答案】A、B、C【解析】D错误，不是所有函数都存在反函数；E错误，反函数的求法是先交换x,y，再解出y

5.下列函数中，其反函数存在且为单调递增函数的有（）（4分）A.y=2^xB.y=√xC.y=1/xD.y=logexE.y=3^x【答案】B、D【解析】反函数存在且为单调递增函数的函数必须是严格单调递增函数，B和D满足

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=2x-1的反函数是______________（4分）【答案】y=x+1/2【解析】交换x,y，得x=2y-1，解得y=x+1/

22.函数y=3^x的反函数是______________（4分）【答案】y=log3x【解析】交换x,y，得x=3^y，对数变换得y=log3x

3.函数y=√x+1（x≥-1）的反函数是______________（4分）【答案】y=x^2-1【解析】交换x,y，得x=√y+1，平方得x^2=y+1，解得y=x^2-

14.函数y=1/x的反函数是______________（4分）【答案】y=1/x【解析】交换x,y，得x=1/y，解得y=1/x

5.函数y=2x+3的反函数是______________（4分）【答案】y=x-3/2【解析】交换x,y，得x=2y+3，解得y=x-3/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数y=fx的反函数f^-1x的图像与原函数的图像关于y=x对称（）（2分）【答案】（√）【解析】反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称是反函数的定义之一

2.任何函数都存在反函数（）（2分）【答案】（×）【解析】只有一一对应的函数才存在反函数，不是所有函数都一一对应

3.函数y=2x+1的反函数是y=1/2x+1/2（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=2x+1的反函数是y=x-1/

24.函数y=x^2的反函数是y=√x（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=x^2（x≥0）的反函数是y=√x

5.函数y=1/x的反函数是它本身（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=1/x的反函数是y=1/x

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述求反函数的步骤（5分）【答案】求反函数的步骤如下

（1）交换x,y，得x=fy；

（2）解出y，得y=f^-1x；

（3）求出反函数的定义域和值域

2.为什么函数y=x^2的反函数不存在？（5分）【答案】函数y=x^2在定义域R上不是一一对应的，因此不存在反函数只有在一一对应的情况下，函数才存在反函数

3.函数y=2^x的反函数是什么？为什么？（5分）【答案】函数y=2^x的反函数是y=log2x因为2^x和log2x是一一对应的，满足反函数的定义

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=3x+2的反函数的图像特点（10分）【答案】函数y=3x+2的反函数是y=x-2/3其图像特点是

（1）反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称；

（2）反函数的图像是一条直线，斜率为1/3，截距为-2/3；

（3）反函数的图像是单调递增的

2.分析函数y=√x+1（x≥-1）的反函数的图像特点（10分）【答案】函数y=√x+1（x≥-1）的反函数是y=x^2-1其图像特点是

（1）反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称；

（2）反函数的图像是一条抛物线，开口向上，顶点为（0，-1）；

（3）反函数的图像在x≥0时是单调递增的

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数y=fx的反函数是y=2x-1，求f2的值（25分）【答案】函数y=fx的反函数是y=2x-1，即fx=2x-1所以f2=22-1=

32.已知函数y=gx的反函数是y=√x+1（x≥-1），求g3的值（25分）【答案】函数y=gx的反函数是y=√x+1（x≥-1），即gx=√x+1（x≥-1）所以g3=√3+1=2---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.C

5.C

6.A

7.A

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C、D、E

2.A、D

3.A、B

4.A、B、C

5.B、D

三、填空题

1.y=x+1/

22.y=log3x

3.y=x^2-

14.y=1/x

5.y=x-3/2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.求反函数的步骤如下

（1）交换x,y，得x=fy；

（2）解出y，得y=f^-1x；

（3）求出反函数的定义域和值域

2.函数y=x^2在定义域R上不是一一对应的，因此不存在反函数只有在一一对应的情况下，函数才存在反函数

3.函数y=2^x的反函数是y=log2x因为2^x和log2x是一一对应的，满足反函数的定义

六、分析题

1.函数y=3x+2的反函数是y=x-2/3其图像特点是

（1）反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称；

（2）反函数的图像是一条直线，斜率为1/3，截距为-2/3；

（3）反函数的图像是单调递增的

2.函数y=√x+1（x≥-1）的反函数是y=x^2-1其图像特点是

（1）反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称；

（2）反函数的图像是一条抛物线，开口向上，顶点为（0，-1）；

（3）反函数的图像在x≥0时是单调递增的

七、综合应用题

1.已知函数y=fx的反函数是y=2x-1，求f2的值函数y=fx的反函数是y=2x-1，即fx=2x-1所以f2=22-1=

32.已知函数y=gx的反函数是y=√x+1（x≥-1），求g3的值函数y=gx的反函数是y=√x+1（x≥-1），即gx=√x+1（x≥-1）所以g3=√3+1=2。