学院高等数学期末试卷及完整答案

学院高等数学期末试卷及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x²C.y=2x+1D.y=ln|x|【答案】A【解析】y=|x|在x=0处不可导，因为其导数左右极限不相等

2.极限limx→2x²-4/x-2的值为（）A.2B.4C.8D.不存在【答案】C【解析】limx→2x²-4/x-2=limx→2x+2=

43.函数y=3sin2x的周期为（）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/2=π

4.曲线y=e^x在点1,e处的切线斜率为（）A.eB.1C.e-1D.1/e【答案】A【解析】y=e^x，在x=1处斜率为e

5.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞-1^n/nC.∑n=1→∞1/n²D.∑n=1→∞n【答案】C【解析】1/n²是p-级数，p=21收敛

6.向量a=1,2,3与向量b=1,-1,1的向量积为（）A.5,-2,-3B.1,4,5C.-1,2,3D.1,2,1【答案】A【解析】a×b=2×1-3×-1,3×1-1×1,1×-1-2×1=5,-2,-

37.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦的秩为（）A.1B.2C.3D.0【答案】A【解析】矩阵为1×3矩阵，秩为

18.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B为（）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】B【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.

59.函数y=arctanx的定义域为（）A.RB.x0C.x0D.x≥0【答案】A【解析】反正切函数定义域为全体实数

10.微分方程y-4y=0的通解为（）A.y=C₁e²ˣ+C₂e⁻²ˣB.y=C₁sin2x+C₂cos2xC.y=C₁x+C₂D.y=C₁e³ˣ+C₂e⁻³ˣ【答案】A【解析】特征方程r²-4=0，r=±2，通解为C₁e²ˣ+C₂e⁻²ˣ

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内连续？（）A.y=√xB.y=1/xC.y=|x|D.y=tanxE.y=lnx【答案】A、C【解析】y=1/x在x=0不连续，y=tanx在x=π/2+kπ不连续，y=lnx在x≤0不连续

2.关于向量线性相关性的正确说法是？（）A.零向量线性相关B.两个非零向量线性相关当且仅当它们共线C.三个向量线性相关当且仅当其中必有两个向量线性相关D.四个向量必线性相关E.向量组中若有一个向量可由其余向量线性表示则向量组线性相关【答案】A、B、E【解析】三个向量线性相关不必然有两个向量线性相关，四个向量若线性无关则不相关

3.以下级数中，绝对收敛的是？（）A.∑n=1→∞-1^n+1/nB.∑n=1→∞1/n²+1C.∑n=1→∞-1^n/n³D.∑n=1→∞sinnπ/2E.∑n=1→∞1/n【答案】B、C【解析】B是p-级数p=21绝对收敛，C是交错级数且绝对值项收敛

4.以下哪些命题正确？（）A.若函数在闭区间上连续则必存在最值B.若函数在开区间上连续则必存在最值C.导数为0的点一定是极值点D.若函数在点x₀处可导则必连续E.函数的极值点一定是驻点或导数不存在的点【答案】A、D、E【解析】B不一定存在最值，C导数为0的点不一定是极值点

5.关于线性方程组的正确说法是？（）A.齐次线性方程组必有解B.非齐次线性方程组可能无解C.增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩时方程组无解D.若方程组有解则解的个数是唯一的E.方程组的解空间一定是向量空间【答案】A、B、C、E【解析】D不正确，解的表示形式可能不唯

一三、填空题（每题4分，共20分）

1.设函数fx=√x+1，则f0的值为______【答案】1/2【解析】fx=1/2x+1^-1/2，f0=1/

22.曲线y=x³-3x+2的拐点坐标为______【答案】1,0【解析】y=6x，令y=0得x=1，y1=

03.级数∑n=1→∞1/2^n的和为______【答案】1【解析】是等比级数，公比r=1/2，和为a/1-r=1/1-1/2=

14.向量a=2,1,-1与向量b=1,-3,2的夹角余弦值为______【答案】√5/15【解析】cosθ=|a·b|/|a||b|=|21+1-3+-12|/√4+1+1√1+9+4=√5/

155.设A为3阶矩阵，|A|=2，则|-2A|的值为______【答案】-64【解析】|-2A|=-2^3|A|=-8×2=-16

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数在区间a,b上连续，则必在该区间上存在最大值和最小值（）【答案】（×）【解析】若区间为开区间则不一定存在最值

2.若向量组线性无关，则其中任一向量都不能由其余向量线性表示（）【答案】（√）【解析】线性无关的定义即任一向量不能由其余向量线性表示

3.若函数在某点不可导，则该点一定不可微（）【答案】（√）【解析】可微必可导，不可导不可微

4.若级数∑n=1→∞a_n收敛，则级数∑n=1→∞a_n²也收敛（）【答案】（×）【解析】如a_n=1/n，a_n²=1/n²收敛，但a_n=1/n发散

5.若矩阵A可逆，则|A|≠0（）【答案】（√）【解析】矩阵可逆的充要条件是行列式不为0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述罗尔定理的条件和结论【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，且fa=fb结论存在c∈a,b，使得fc=

02.简述向量空间的基本性质【答案】

（1）零向量存在且唯一

（2）加法封闭性α+β属于向量空间

（3）加法交换律α+β=β+α

（4）加法结合律α+β+γ=α+β+γ

（5）数乘封闭性kα属于向量空间

（6）数乘分配律kα+β=kα+kβ

（7）数乘结合律klα=klα

（8）数乘单位元1α=α

3.简述线性回归方程的应用【答案】

（1）预测根据自变量的值预测因变量的值

（2）控制通过控制自变量来控制因变量的变化

（3）分析分析自变量对因变量的影响程度和方向

（4）建模建立变量间关系的数学模型用于决策分析

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x³-3x+2，求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值【答案】

（1）求导fx=3x²-3=3x+1x-1

（2）令fx=0得驻点x=-1,x=1

（3）计算端点和驻点函数值f-2=-2³-3-2+2=-8+6=-2f-1=-1³-3-1+2=-1+3+2=4f1=1³-31+2=1-3+2=0f2=2³-32+2=8-6+2=4

（4）比较得最大值为4，最小值为-

22.设向量组a₁=1,1,1,a₂=1,2,3,a₃=1,3,6，证明该向量组线性无关【答案】

（1）设k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃=0，即1k₁+1k₂+1k₃=01k₁+2k₂+3k₃=01k₁+3k₂+6k₃=0

（2）系数矩阵为⎡⎢⎣111⎤⎢⎦⎡⎢⎣123⎤⎢⎦⎡⎢⎣136⎤⎢⎦

（3）行简化R₂-R₁→R₂:112R₃-R₁→R₃:125R₃-R₂→R₃:013⎡⎢⎣111⎤⎢⎦⎡⎢⎣012⎤⎢⎦⎡⎢⎣001⎤⎢⎦

（4）系数矩阵为满秩矩阵，故k₁=k₂=k₃=0，向量组线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产两种产品A和B，每件利润分别为10元和15元，生产每件产品所需工时分别为2小时和3小时，工厂每周可用工时为120小时，且每周最多生产产品A40件设每周生产产品Ax件，产品By件

（1）写出该问题的线性约束条件；

（2）写出该问题的目标函数；

（3）用图解法求该问题的最优解【答案】

（1）约束条件工时约束2x+3y≤120产量约束x≤40非负约束x≥0,y≥0

（2）目标函数z=10x+15y

（3）图解法

①作约束条件的可行域工时线2x+3y=120，过60,0和0,40产量线x=40，垂直于y轴

②找交点解方程组2x+3y=120x=40得40,40/3

③计算目标函数z=10×40+15×40/3=400+200=600

④最优解为生产A40件，B40/3件，最大利润600元

2.设函数fx=e^xsinx，求fx和fx【答案】

（1）求fx fx=e^xsinx+e^xcosx=e^xsinx+cosx

（2）求fx fx=e^xsinx+cosx+e^xcosx-sinx=2e^xcosx完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、B、E

3.B、C

4.A、D、E

5.A、B、C、E

三、填空题

1.1/

22.1,

03.

14.√5/

155.-64

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。