希望之星省赛题目及答案全解析

希望之星省赛题目及答案全解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在平面直角坐标系中，点A（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（-2，3）D.（-3，2）【答案】C【解析】点A（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）

2.若函数y=mx+b的图像经过点（1，5）和（-1，1），则m和b的值分别是（）（2分）A.m=2，b=3B.m=2，b=4C.m=3，b=2D.m=3，b=4【答案】D【解析】由题意，得\[\begin{cases}m\cdot1+b=5\\m\cdot-1+b=1\end{cases}\]解得\[\begin{cases}m=2\\b=3\end{cases}\]

3.下列命题中，真命题是（）（2分）A.所有偶数都是合数B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一个角的补角一定大于这个角D.直角三角形中，斜边大于直角边【答案】B【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题

4.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】C【解析】∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°

5.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）（2分）A.0B.1C.2D.4【答案】B【解析】根据判别式△=b²-4ac，得\[4-4k=0\]解得\[k=1\]

6.在直角坐标系中，将点P（3，4）先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新点的坐标是（）（2分）A.（1，1）B.（5，1）C.（1，7）D.（5，7）【答案】B【解析】点P（3，4）先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新点的坐标是（3+2，4-3）=（5，1）

7.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-5x+6=0}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{3}【答案】B【解析】解方程x²-3x+2=0，得\[x=1\text{或}x=2\]解方程x²-5x+6=0，得\[x=2\text{或}x=3\]所以A∩B={2}

8.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则公差d的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】根据等差数列的通项公式a_n=a_1+n-1d，得\[9=3+4d\]解得\[d=2\]

9.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，令f1=0，得\[3-a=0\]解得\[a=3\]

10.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是（）（2分）A.1/2B.3/4C.4/5D.3/5【答案】C【解析】根据余弦定理，得\[cosA=\frac{b²+c²-a²}{2bc}=\frac{4²+5²-3²}{2\cdot4\cdot5}=\frac{16+25-9}{40}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}\]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下函数中，在定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x²B.y=2x+1C.y=1/xD.y=√x【答案】B、D【解析】y=2x+1和y=√x在其定义域内是单调递增的

2.以下命题中，真命题有（）（4分）A.一个角的余角一定小于90°B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.所有质数都是奇数D.一个三角形的内角和等于180°【答案】A、D【解析】一个角的余角一定小于90°和一个三角形的内角和等于180°是真命题

3.以下数列中，是等比数列的有（）（4分）A.{2,4,8,16,...}B.{1,1/2,1/4,1/8,...}C.{-1,1,-1,1,...}D.{3,3,3,3,...}【答案】A、B【解析】{2,4,8,16,...}和{1,1/2,1/4,1/8,...}是等比数列

4.以下函数中，是奇函数的有（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=√xD.y=2x+1【答案】A、B【解析】y=x³和y=1/x是奇函数

5.以下命题中，真命题有（）（4分）A.所有等腰三角形都是相似三角形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一个角的补角一定大于这个角D.直角三角形中，斜边大于直角边【答案】B、D【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形和直角三角形中，斜边大于直角边是真命题

三、填空题（每题4分，共32分）

1.在直角坐标系中，点A（2，-3）关于y轴对称的点的坐标是______（4分）【答案】（-2，-3）

2.若函数y=kx+b的图像经过点（1，5）和（-1，1），则k和b的值分别是______、______（4分）【答案】k=2，b=

33.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是______（4分）【答案】75°

4.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______（4分）【答案】

15.在直角坐标系中，将点P（3，4）先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新点的坐标是______（4分）【答案】（5，1）

6.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-5x+6=0}，则A∩B=______（4分）【答案】{2}

7.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则公差d的值是______（4分）【答案】

28.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是______（4分）【答案】3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形（）（2分）【答案】（√）

3.一个角的补角一定大于这个角（）（2分）【答案】（×）【解析】一个角的补角可能大于、小于或等于这个角

4.直角三角形中，斜边大于直角边（）（2分）【答案】（√）

5.所有等腰三角形都是相似三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形不一定是相似三角形

五、简答题（每题5分，共10分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，其中a_1为首项，d为公差

2.简述奇函数和偶函数的定义（5分）【答案】奇函数是指对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=-fx的函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx的函数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-2x+3，求fx在区间[-1，3]上的最大值和最小值（10分）【答案】fx=2x-2，令fx=0，得x=1f-1=6，f1=2，f3=6所以fx在区间[-1，3]上的最大值是6，最小值是

22.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，d=3，求S_10的值（10分）【答案】S_n=n/2[2a_1+n-1d]，S_10=10/2[2×2+10-1×3]=10/2[4+27]=10/2×31=155

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知函数fx=x³-3x²+2x，求fx的极值点，并画出函数的简图（25分）【答案】fx=3x²-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3fx=6x-6，f1-√3/3=6-2√30，f1+√3/3=6+2√30所以x=1-√3/3和x=1+√3/3是极小值点函数的简图略。