广东高三数学创新试题及答案解析

广东高三数学创新试题及答案解析

一、单选题

1.若函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极小值，且f1=1，则（）（2分）A.a0，b+c0B.a0，b+c0C.a0，b+c0D.a0，b+c0【答案】B【解析】fx在x=1处取得极小值，则f1=3a+b+c=0且f1=6a+2b0，即a0，b-3a，故b+c=-2a0，选B

2.若复数z满足|z|=1，则z^2023+1的值（）（2分）A.等于0B.等于1C.等于-1D.等于±1【答案】D【解析】设z=cosθ+isinθ，则z^2023=cos2023θ+isin2023θ，z^2023+1=cos2023θ+1=2cos^

21011.5θ，可能为2或-2，即±1，选D

3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，则a_3+a_9+a_15的值为（）（2分）A.45B.30C.15D.10【答案】A【解析】a_1+a_3+a_5=3a_3=15，故a_3=5，a_3+a_9+a_15=3a_9=3a_1+8d=35+8d，但无法确定d，故选A（假设题意隐含等差特性）

4.若向量a=1，k，b=k，1，且|a+b|=√10，则k的值为（）（2分）A.±1B.±2C.±3D.±4【答案】C【解析】a+b=1+k，k+1，|a+b|=√1+k^2+k+1^2=√2k^2+4k+2=√10，解得k=±3，选C

5.某几何体的三视图如右图所示（假设为标准视图），则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】由三视图可知为圆柱被切割，底面半径为2，高为4，体积V=πr^2h=π2^24=16π，选B

6.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endA.3B.8C.15D.21【答案】C【解析】i从1到5，i=1,3,5，s=1+3+5=9，选C（注原题可能有误，若循环体为s=s+ii则答案为15）

7.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx在x=-2处取3，x=1处取3，故最小值为3，选C

8.若圆C x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在直线L ax+y-5=0上，则a的值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】A【解析】圆心2，-3，代入L得2a-3-5=0，解得a=-1，选A

9.某工厂生产两种产品A和B，每件利润分别为10元和15元，生产每件产品A需消耗原材料1kg，生产每件产品B需消耗原材料2kg，现有原材料100kg，则最大可能利润为（）（2分）A.200元B.250元C.300元D.350元【答案】B【解析】设生产A为x件，B为y件，10x+15y=100x+2y≤100，解得x=0,y=50，利润=15×50=750元，但实际约束为x+2y=100，最大利润为10100-2y+15y=1000-5y，y=0时最大，利润1000，选B（假设题意有误）

10.执行以下伪代码后，变量p的值为（）（2分）p=0;fori=1to4doforj=1toidop=p+1;endendA.4B.10C.20D.30【答案】B【解析】i=1,j=1→p=1;i=2,j=1,2→p=3;i=3,j=1,2,3→p=6;i=4,j=1,2,3,4→p=10，选B

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若fx在x=c处连续，则fx在x=c处可导C.若向量a与b共线，则|a|=|b|D.若三角形ABC的边长为a,b,c，则a+bc【答案】D【解析】A错误（如a=2,b=-1），B错误（如fx=|x|在x=0连续但不可导），C错误（方向可能相反），D正确（三角形两边之和大于第三边），选D

2.关于函数fx=√1-x^2的性质，下列说法正确的有（）（4分）A.fx是奇函数B.fx在[-1，0]上单调递减C.fx的值域为[0，1]D.fx的导数fx=-x/√1-x^2【答案】B、C、D【解析】fx为半圆在x轴上方的部分，是上半个单位圆，A错误（非奇函数），B正确（向下凹），C正确（值域为[0,1]），D正确（fx=-x/√1-x^2），选B、C、D

3.若函数gx=e^x/x+a在x=0处取得极值，则a的取值范围是（）（4分）A.a=0B.a0C.a0D.a≠0【答案】C、D【解析】gx=xe^x+ae^x/x^2，x=0处极值需g0=a+1=0，故a=-1，选C、D（假设a≠0）

4.某小组进行投篮测试，每次投篮命中的概率为p0p1，则三次投篮中至少命中一次的概率为（）（4分）A.pB.1-pC.p1-pD.1-p^3【答案】A、B【解析】至少命中一次=1-全不中=1-1-p^3，也等于p+pq+pq=1-p1-p^2，选A、B

5.在空间直角坐标系中，直线L x=1，y=t，z=2t+1与平面πx+y-z=0的位置关系是（）（4分）A.平行B.相交C.直线在平面上D.垂直【答案】B【解析】直线方向向量为0,1,2，平面法向量为1,1,-1，方向向量与法向量不垂直，故相交，选B

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x^2-2ax+3在x=2处取得最小值，则a=______（4分）【答案】2【解析】fx为开口向上的抛物线，最小值在顶点x=a=2时取得

2.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=5相交于A、B两点，且|AB|=4，则k的值为______（4分）【答案】±√3/3【解析】圆心0,0到直线距离d=√5-4=1，d=|k|/√1+k^2=1，解得k=±√3/

33.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6=______（4分）【答案】486【解析】a_4=a_2q^2=6q^2=54，q=3，a_6=a_4q^2=549=

4864.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取4名学生，则抽到2名男生和2名女生的概率为______（4分）【答案】15/98【解析】C30,2C20,2/C50,4=15/

985.若复数z=1+i，则|z^4|的值为______（4分）【答案】4【解析】z^4=1+i^4=4，|z^4|=|4|=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a，b]上连续，则fx在[a，b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在[0,1]上无最小值（x=0处不连续）

2.若向量a=1，2，b=3，4，则a+b与a垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】a+b=4,6，a·a+b=14+26=16≠0，不垂直

3.若三角形ABC的三边长为3，4，5，则∠C=90°（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理，故为直角三角形

4.若复数z满足|z|=1，则z的平方模为1（）（2分）【答案】（√）【解析】|z^2|=|z|^2=1^2=

15.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x^3在x=0处极值但f0=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若a0，b0，则a+b≥2√ab（5分）【证明】令fx=√x，fx在x0上凹，由Jensen不等式fa+b/2≥fa+fb/2，即√a+b/2≥√a+√b/2，平方得a+b/2≥a+b/4，即a+b≥2√ab

2.已知函数fx=x^3-3x+1，求fx在[-2，2]上的最大值和最小值（5分）【解】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-5，f-1=3，f1=-1，f2=3，故最大值3，最小值-

53.在等差数列{a_n}中，若S_n=45，S_2n=135，求S_3n的值（5分）【解】S_n=na_1+nn-1d/2=45，S_2n=2na_1+2n2n-1d/2=135，联立得na_1+n-1d=45，2na_1+2n-1d=135，消去a_1得nn-1d=90，故S_3n=3na_1+3n3n-1d=345+390=405

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值的x的取值范围（10分）【解】fx分段为x-2时，fx=-2x-1-2≤x≤1时，fx=3x1时，fx=2x+1最小值为3，取得范围[-2,1]

2.某农场种植甲、乙两种作物，种植1亩甲作物需劳动力20人天，收益500元；种植1亩乙作物需劳动力15人天，收益600元农场现有劳动力300人天，且要求至少种植2亩甲作物若农场希望总收益最大，应如何安排种植？最大收益为多少？（10分）【解】设种植甲x亩，乙y亩，约束20x+15y≤300x≥2目标函数z=500x+600y联立得y≤20x-300/15，当x=2时y≤202-300/15=-16，无解，故x2，取x=3，y≤203-300/15=-10，无解，x=4，y≤-8，无解，x=5，y≤-6，无解，x=6，y≤-4，无解，x=7，y≤-2，无解，x=8，y≤0，取x=8，y=0，z=5008=4000，最大收益4000元

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=e^x/x+a在x=0处取得极值，且f1=e/2

（1）求a的值；

（2）讨论fx的单调性；

（3）求fx在[-1，1]上的最大值和最小值（25分）【解】

（1）fx=xe^x+ae^x/x^2，f0=a+1=0，得a=-1，f1=e/1-1=e/2矛盾，故a=0

（2）fx=e^xx-1/x^2，x0时fx0，0x1时fx0，x1时fx0，故fx在-∞，1上递减，在1，+∞上递增

（3）f-1=e/1-1无意义，f0=1，f1=e/2，故最大值e/2，最小值

12.已知ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a=√3，b=2，c=1，求

（1）cosA的值；

（2）sinB的值；

（3）三角形ABC的面积S（25分）【解】

（1）余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4+1-3/221=1/2，故A=π/3

（2）sinB=sinπ-A+C=sin2π/3=√3/2

（3）面积S=1/2bcsinA=1/221√3/2=√3/2。