探寻海南高中竞赛试题与对应答案

探寻海南高中竞赛试题与对应答案

一、单选题

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.1或2【答案】D【解析】集合A={1,2}，当B⊆A时，若B=∅，则Δ=a^2-4＜0，得-2＜a＜2；若B={1}，则Δ=0且1-a+1=0，得a=2；若B={2}，则Δ=0且4-2a+1=0，得a=5/2（舍去），综上a的取值范围是-2＜a≤2且a≠0，故选D

2.函数fx=sinωx+φ（ω＞0，|φ|＜π/2）的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则φ的值为（）（2分）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2【答案】B【解析】函数图像关于y轴对称，则sinωx+φ=sin-ωx+φ，得ωx+φ=π-ωx+φ+2kπ，得ω=2k，最小正周期为π，则ω=2，得φ=kπ+π/2，又|φ|＜π/2，得φ=π/4，故选B

3.已知向量a=1，2，b=x，1，且a∥b，则x的值为（）（1分）A.1/2B.2C.3/2D.4【答案】B【解析】向量a∥b，则1×1-2×x=0，得x=1/2，故选A

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为圆柱，底面半径为2，高为4，则体积V=π×2^2×4=16π，故选B

5.执行如图所示的程序框图，若输入的n为10，则输出的S的值为（）（2分）A.55B.45C.35D.25【答案】A【解析】根据程序框图，S=1+1/2+1/3+…+1/10=

1.8333…≈

1.83，故选A

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.3/4D.2/3【答案】D【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3^2+4^2-2^2/2×3×4=7/12，故选D

7.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元，若生产x件产品，则获得的利润y（元）与x的关系式为（）（2分）A.y=10xB.y=20xC.y=10x-20D.y=10x+20【答案】C【解析】利润=售价-成本，y=20x-10x=10x，故选C

8.若复数z=1+i，则z^2的值为（）（2分）A.2B.0C.-2D.2i【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，故选A

9.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_3=5，则a_5的值为（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】由等差数列性质得a_3=a_1+2d，得5=1+2d，得d=2，则a_5=a_1+4d=1+4×2=9，故选C

10.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k0B.k0C.k∈RD.k∈-1，1【答案】D【解析】直线与圆相交，则Δ=k^2-40，得k∈-∞，-2∪2，+∞，故选D

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是命题？（）A.今天天气很好B.2是偶数C.3是奇数D.请开门E.三角形内角和为180°【答案】B、C、E【解析】命题是可以判断真假的陈述句，A、D不是陈述句，故B、C、E是命题

2.以下哪些函数是奇函数？（）A.fx=x^3B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=tanx【答案】A、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，A、C、E满足，B、D不满足

3.以下哪些数列是等比数列？（）A.a_n=2nB.a_n=3^nC.a_n=2n+1D.a_n=5^nE.a_n=n^2【答案】B、D【解析】等比数列满足a_n/a_n-1=q（常数），B、D满足，A、C、E不满足

4.以下哪些是基本初等函数？（）A.fx=xB.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=log_exE.fx=e^x【答案】A、B、C、D、E【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，A、B、C、D、E均属于基本初等函数

5.以下哪些是逻辑联结词？（）A.且B.或C.非D.如果…那么…E.因为…所以…【答案】A、B、C【解析】逻辑联结词包括且、或、非，D、E是条件语句，不是逻辑联结词

三、填空题

1.若sinα=1/2，α∈[0，π]，则cosα的值为______（4分）【答案】-√3/2【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cos^2α=1-sin^2α=1-1/2^2=3/4，又α∈[0，π]，则cosα0，得cosα=-√3/

22.若函数fx=x^2+bx+1在x=1时取得最小值，则b的值为______（4分）【答案】-2【解析】函数fx=x^2+bx+1的对称轴为x=-b/2，又x=1时取得最小值，得-b/2=1，得b=-

23.若直线l x+2y-1=0与直线m ax-y+3=0垂直，则a的值为______（4分）【答案】-2【解析】直线l的斜率为-1/2，直线m的斜率为a，又l⊥m，得-1/2×a=-1，得a=

24.若等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则公比q的值为______（4分）【答案】2【解析】由a_4=a_1q^3，得16=1×q^3，得q=

25.若集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=______，A∩B=______（4分）【答案】{1，2，3，4}；{2，3}【解析】A∪B是A和B的并集，A∩B是A和B的交集

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，得a^2b^

22.若函数fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】奇函数fx满足f-x=-fx，但f0不一定为0，如fx=x^3，f0=0；fx=x/x^2，f0无意义

3.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=n，则{a_n}是等差数列，但{a_n^2=n^2}不是等差数列

4.若直线l与圆x^2+y^2=r^2相切，则直线l到圆心的距离等于r（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与圆相切，则切点到圆心的距离等于半径r

5.若复数z=a+bi（a，b∈R），则|z|=√a^2+b^2（）（2分）【答案】（√）【解析】复数z=a+bi的模为|z|=√a^2+b^2

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】最小值为3，取得最小值时的x值是-2≤x≤1【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当-2≤x≤1时，距离之和最小，最小值为3-2=1+2=

32.求等差数列{a_n}中，前n项和S_n=3n^2+2n的通项公式a_n（5分）【答案】a_n=6n-1【解析】由S_n=3n^2+2n，得a_1=S_1=5，a_n=S_n-S_n-1=3n^2+2n-[3n-1^2+2n-1]=6n-

13.求过点P1，2且与直线l2x-y+1=0垂直的直线方程（5分）【答案】x+2y-5=0【解析】直线l的斜率为2，所求直线的斜率为-1/2，由点斜式得y-2=-1/2x-1，化简得x+2y-5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间（10分）【答案】单调增区间为-∞，0和2，+∞，单调减区间为0，2【解析】fx=3x^2-6x+2=3x^2-2x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√3/3，当x∈-∞，1-√3/3时，fx0，fx单调增；当x∈1-√3/3，1+√3/3时，fx0，fx单调减；当x∈1+√3/3，+∞时，fx0，fx单调增，故单调增区间为-∞，0和2，+∞，单调减区间为0，

22.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=1，a_4=16，求a_10+a_11+a_12的值（10分）【答案】496【解析】由a_4=a_1q^3，得q=2，则a_n=a_1q^n-1=2^n-1，故a_10+a_11+a_12=2^9+2^10+2^11=512+1024+2048=3584，故a_10+a_11+a_12=496

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元，若生产x件产品，则获得的利润y（元）与x的关系式为y=10x-20x，求该工厂生产多少件产品时，获得的利润最大？最大利润是多少？（25分）【答案】生产10件产品时，获得的利润最大，最大利润为80元【解析】由y=10x-20x=10x-20x=10x-20x，得y=-10x^2+20x，令y=0，得x=1，又y=-200，故x=1时取得最大值，最大值为y=-10×1^2+20×1=10，故生产10件产品时，获得的利润最大，最大利润为80元

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的极值点及极值（25分）【答案】极值点为x=1，极大值为0，极小值为-2【解析】fx=3x^2-6x+2=3x^2-2x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√3/3，当x∈1-√3/3，1+√3/3时，fx0，fx单调减；当x∈1+√3/3，+∞时，fx0，fx单调增，故x=1时取得极小值，极小值为f1=1^3-3×1^2+2×1=0，故极值点为x=1，极大值为0，极小值为-2。