数乘向量拔高题目及参考答案

数乘向量拔高题目及参考答案

一、单选题

1.已知向量a=3,4，向量b=1,-2，则2a-3b等于（）（2分）A.3,8B.9,-14C.3,-10D.-3,10【答案】C【解析】2a-3b=23,4-31,-2=6,8-3,-6=3,

142.若向量u=1,k与向量v=k,1共线，则k的值为（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.任意实数【答案】C【解析】向量共线条件为u=λv，即1,k=λk,1，解得λ=1/k，所以k=1或k=-

13.向量c=a,2垂直于向量d=3,-4，则a的值为（）（2分）A.6B.-6C.8D.-8【答案】A【解析】向量垂直条件为c·d=0，即a,2·3,-4=3a-8=0，解得a=

64.已知向量p=1,2，向量q=3,m，若|p+q|=5，则m的值为（）（2分）A.1B.3C.4D.5【答案】D【解析】|p+q|=|1+3,2+m|=|4,2+m|=√16+2+m²=5，解得m=

55.向量a=2,-1在向量b=1,1上的投影长度为（）（2分）A.√2/2B.√5/2C.√10/2D.3/2【答案】B【解析】投影长度为|a|cosθ=|a||b|cosθ=|2,-1|1,1|cosθ=√5√2cosθ=√10/

26.已知向量m=1,0，向量n=cosθ,sinθ，则向量m与向量n的夹角为（）（2分）A.θB.π-θC.θ或2π-θD.π/2-θ【答案】C【解析】cosθ=m·n/|m||n|=cosθ，夹角为θ或2π-θ

7.向量a=1,2，向量b=3,-4，则向量a与向量b的向量积为（）（2分）A.10,2B.-10,2C.10D.-10【答案】C【解析】a×b=1-4-23=-

108.已知向量u=cosα,sinα，向量v=cosβ,sinβ，则|u-v|的最大值为（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】B【解析】|u-v|=√cosα-cosβ²+sinα-sinβ²=√2-2cosα-β≤

29.向量p=a,0，向量q=1,b，若向量p与向量q的夹角为π/3，则|a|与|b|的关系为（）（2分）A.|a|=|b|B.|a|=√3|b|C.|a|=√3/3|b|D.|a|=2|b|【答案】C【解析】cosπ/3=a/√a²+b²=1/2，解得|a|=√3/3|b|

10.已知向量a=1,2，向量b=3,-4，则向量a在向量b上的投影向量为（）（2分）A.6,-8B.9,-12C.3/5,6/5D.9/25,12/25【答案】C【解析】投影向量=ba·b/|b|²=3,-413+2-4/25=3/5,6/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于向量积的说法正确的有（）A.向量积的结果是一个向量B.向量积的模等于两向量模的积C.向量积的方向垂直于两向量构成的平面D.向量积满足交换律E.向量积的模等于两向量模的积乘以它们夹角的正弦值【答案】A、C、E【解析】向量积结果为向量，方向垂直于两向量构成的平面，模等于两向量模的积乘以夹角正弦值向量积不满足交换律

2.以下向量中，与向量a=1,2共线的有（）A.2,4B.-2,-4C.1/2,1D.-1,-2E.3,6【答案】A、B、D、E【解析】共线向量满足比例关系，2,

4、-2,-

4、-1,-

2、3,6均与1,2共线

3.关于向量投影的说法正确的有（）A.向量a在向量b上的投影长度为|a|cosθB.投影长度可以为负C.投影向量为ba·b/|b|²D.投影向量的模等于投影长度E.向量积可以用来计算投影长度【答案】A、C、D【解析】投影长度非负，投影向量为ba·b/|b|²，投影向量模等于投影长度，计算投影长度用点积

4.以下向量垂直的有（）A.3,4与4,3B.1,2与3,-6C.a,b与-b,aD.cosθ,sinθ与-cosθ,-sinθE.2,1与4,2【答案】B、C【解析】垂直条件为点积为0，1,2与3,-6垂直，a,b与-b,a垂直

5.以下关于向量模的描述正确的有（）A.|a|≥0B.|a|表示向量a的长度C.|a|²=a·aD.|a+b|≤|a|+|b|E.|a-b|≥|a|-|b|【答案】A、B、C、D、E【解析】向量模为非负数，表示向量长度，模平方等于点积，满足三角不等式

三、填空题

1.向量a=3,4，向量b=2,-1，则a·b=______（4分）【答案】2【解析】a·b=32+4-1=6-4=

22.向量u=cosα,sinα，向量v=sinα,-cosα，则u·v=______（4分）【答案】0【解析】u·v=cosαsinα+sinα-cosα=cosαsinα-cosαsinα=

03.向量a=1,2，向量b=3,-4，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为______（4分）【答案】-11/25【解析】cosθ=a·b/|a||b|=13+2-4/√1²+2²√3²+-4²=-11/

254.向量c=1,0，向量d=0,1，则向量c×d=______（4分）【答案】1,0【解析】向量积为行列式展开结果，1,0×0,1=11-00=1,

05.向量p=a,b，向量q=c,d，若向量p与向量q平行，则______（4分）【答案】ad=bc【解析】平行条件为比例关系，ad=bc

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个非零向量a与b，若a·b=0，则a与b一定垂直（）【答案】（√）【解析】点积为0是向量垂直的充要条件

2.向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a与向量b的向量积为1,2×3,4=6-8=-2（）【答案】（×）【解析】向量积应为行列式展开结果1,2×3,4=14-23=4-6=-2，结果应为标量-

23.向量a在向量b上的投影长度一定小于|a|（）【答案】（×）【解析】投影长度可能等于|a|，如a与b同向时

4.若向量u=1,k与向量v=k,1共线，则k²=1（）【答案】（√）【解析】共线条件为1/k=1，即k²=

15.向量a=1,2，向量b=3,-4，则|a+b|=|a|+|b|（）【答案】（×）【解析】|a+b|=√4²+-2²=√20，|a|+|b|=√5+√13，不相等

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述向量积的定义及其几何意义【答案】向量积定义向量a与向量b的向量积是一个向量c，记作a×b，其模|c|=|a||b|sinθ，方向垂直于a、b构成的平面，符合右手定则几何意义向量积的模等于以a、b为邻边的平行四边形的面积

2.简述向量投影的定义及其计算方法【答案】定义向量a在向量b上的投影是指向量a在向量b方向上的分量计算方法投影长度为|a|cosθ=|a||b|cosθ=|a||b|/|b|=a·b/|b|，投影向量为ba·b/|b|²

3.简述向量点积的定义及其几何意义【答案】定义向量a与向量b的点积是一个标量，记作a·b=|a||b|cosθ几何意义a·b等于向量a的模乘以向量b在a方向上的投影长度，即|a|cosθ

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知向量a=1,2，向量b=3,-4，求向量a在向量b上的投影向量，并说明其物理意义【答案】计算投影向量=ba·b/|b|²=3,-413+2-4/25=3,-4-5/25=3,-4-1/5=-3/5,4/5物理意义向量a在向量b上的投影向量表示向量a在向量b方向上的分量，是向量a沿向量b方向的部分

2.已知向量u=cosα,sinα，向量v=sinα,-cosα，证明向量u与向量v垂直【答案】证明u·v=cosα,sinα·sinα,-cosα=cosαsinα-sinαcosα=0因为点积为0，所以向量u与向量v垂直

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知向量a=1,2，向量b=3,-4，向量c=x,y，且向量a、b、c共面，求x、y的值【答案】解向量a、b、c共面条件为[abc]=0，即|12||3-4||xy|=1-4-23-x2-4-y3=0，即-4-6+8x-3y=0，即8x-3y=10取x=1，得3y=8x-10=8-10=-2，y=-2/3取x=0，得-3y=10，y=-10/3所以x=1，y=-2/3或x=0，y=-10/

32.已知向量p=1,2，向量q=3,-4，向量r=5,m，且向量p、q、r共面，求m的值【答案】解向量p、q、r共面条件为[pqr]=0，即|12||3-4||5m|=1-4-23-5-4-m3=0，即-4-6+20-3m=0，即10-3m=0，解得m=10/3所以m=10/3。