数列基础考试题及答案汇总

数列基础考试题及答案汇总

一、单选题

1.下列数列中，不是等差数列的是（）（2分）A.1,3,5,7,...B.2,4,8,16,...C.5,7,9,11,...D.0,1,2,3,...【答案】B【解析】等差数列的定义是相邻两项的差是常数选项A、C、D的相邻两项之差均为2，是等差数列；选项B相邻两项之差分别为2,4,8,...，不是常数，因此不是等差数列

2.等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则a_5等于（）（2分）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】等差数列的第n项公式为a_n=a_1+n-1d，所以a_5=3+5-1×2=

113.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n=a_n-1+3，则该数列的前四项和为（）（2分）A.10B.14C.16D.18【答案】D【解析】根据递推公式，数列为1,4,7,10,...，前四项和为1+4+7+10=22选项有误，正确答案应为

224.等比数列{b_n}中，b_1=2，公比q=3，则b_4等于（）（2分）A.6B.18C.54D.162【答案】C【解析】等比数列的第n项公式为b_n=b_1q^n-1，所以b_4=2×3^4-1=

545.数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_3等于（）（2分）A.6B.9C.12D.15【答案】A【解析】c_n=S_n-S_{n-1}，所以c_3=S_3-S_2=（2×3^2-3×3）-（2×2^2-3×2）=

66.数列{d_n}满足d_n=nn+1，则d_4等于（）（2分）A.12B.20C.24D.30【答案】C【解析】根据公式，d_4=4×（4+1）=

247.等差数列{a_n}中，a_2+a_6=16，则a_4等于（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】根据等差数列的性质，a_2+a_6=2a_4，所以a_4=16÷2=

88.数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_5等于（）（2分）A.25B.30C.35D.40【答案】B【解析】e_n=S_n-S_{n-1}，所以e_5=S_5-S_4=（5^2+5）-（4^2+4）=

309.等比数列{b_n}中，b_2=6，b_4=54，则b_3等于（）（2分）A.12B.18C.24D.36【答案】B【解析】根据等比数列的性质，b_3^2=b_2×b_4，所以b_3=√6×54=

1810.数列{f_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则f_3等于（）（2分）A.9B.12C.15D.18【答案】B【解析】f_n=S_n-S_{n-1}，所以f_3=S_3-S_2=（3×3^2-2×3）-（3×2^2-2×2）=12

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是等差数列的性质？（）A.相邻两项之差是常数B.中间项等于首末两项的平均值C.前n项和是二次函数D.公差可以为零E.任意两项之差与项数成正比【答案】A、B、D、E【解析】等差数列的性质包括相邻两项之差是常数，中间项等于首末两项的平均值，公差可以为零，任意两项之差与项数成正比前n项和是二次函数是等差数列前n项和的公式形式，不是性质

2.以下哪些是等比数列的性质？（）A.相邻两项之比是常数B.中间项等于首末两项的几何平均数C.前n项和是指数函数D.公比可以为零E.任意两项之比与项数成正比【答案】A、B、E【解析】等比数列的性质包括相邻两项之比是常数，中间项等于首末两项的几何平均数，任意两项之比与项数成正比公比不可以为零，前n项和不是指数函数

3.数列的前n项和S_n与第n项a_n的关系有哪些？（）A.S_n=a_n-a_{n-1}B.a_n=S_n-S_{n-1}C.S_n=na_nD.a_n=S_n/nE.S_n=a_nn+1/2【答案】B、E【解析】数列的前n项和S_n与第n项a_n的关系为a_n=S_n-S_{n-1}和S_n=a_nn+1/2其他选项不正确

4.等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=24，则a_2+a_4+a_6等于（）（4分）A.24B.36C.48D.60【答案】C【解析】等差数列的性质，a_1+a_3+a_5=3a_3，所以a_3=24÷3=8同理，a_2+a_4+a_6=3a_4，而a_4=a_3+d=8+d因为a_2=a_1+d，a_6=a_5+d，所以a_2+a_4+a_6=3a_4=38+d=24+3d由于a_1+a_3+a_5=24，所以3a_3=24，即a_3=8因此，a_2+a_4+a_6=3a_4=38+d=24+3d=

485.等比数列{b_n}中，若b_1×b_3×b_5=64，则b_2×b_4×b_6等于（）（4分）A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】等比数列的性质，b_1×b_3×b_5=b_3^3，所以b_3=4同理，b_2×b_4×b_6=b_4^3，而b_4=b_3×q=4q因为b_1×b_3×b_5=64，所以b_3^3=64，即b_3=4因此，b_2×b_4×b_6=64q^3=32q^3由于b_1×b_3×b_5=64，所以b_3=4，因此b_2×b_4×b_6=32q^3由于b_2=b_1q，b_6=b_5q，所以b_2×b_4×b_6=32q^3=32

三、填空题

1.等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=3，则a_10=______（4分）【答案】32【解析】根据等差数列的第n项公式a_n=a_1+n-1d，所以a_10=5+10-1×3=

322.等比数列{b_n}中，若b_1=2，q=3，则b_6=______（4分）【答案】486【解析】根据等比数列的第n项公式b_n=b_1q^n-1，所以b_6=2×3^6-1=

4863.数列{c_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，则c_5=______（4分）【答案】37【解析】c_n=S_n-S_{n-1}，所以c_5=S_5-S_4=（4×5^2-3×5）-（4×4^2-3×4）=

374.等差数列{a_n}中，若a_2+a_8=20，则a_5+a_7=______（4分）【答案】20【解析】根据等差数列的性质，a_2+a_8=2a_5，所以a_5=20÷2=10同理，a_5+a_7=2a_6，而a_6=a_5+d因为a_2+a_8=20，所以2a_5=20，即a_5=10因此，a_5+a_7=2a_6=210+d=20+2d由于a_2+a_8=20，所以2a_5=20，即a_5=10因此，a_5+a_7=

205.等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_5=48，则b_4=______（4分）【答案】24【解析】根据等比数列的性质，b_3×b_5=b_4^2，所以b_4=√12×48=24

四、判断题

1.等差数列的任意两项之差是常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的定义就是相邻两项之差是常数

2.等比数列的任意两项之比是常数（）（2分）【答案】（×）【解析】等比数列的定义是相邻两项之比是常数，但任意两项之比不一定是常数

3.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则数列{a_n}是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】根据前n项和S_n=2n^2-3n，可以得出a_n=S_n-S_{n-1}=（2n^2-3n）-（2n-1^2-3n-1）=4n-5，所以数列{a_n}是等差数列

4.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{b_n}是等比数列（）（2分）【答案】（×）【解析】根据前n项和S_n=n^2+n，可以得出b_n=S_n-S_{n-1}=（n^2+n）-（n-1^2+n-1）=2n，所以数列{b_n}不是等比数列

5.等差数列的前n项和是二次函数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的前n项和S_n=n/2×（2a_1+n-1d）=n/2×（2a_1+nd-d）=n/2×nd+n/2×2a_1-d=n^2/2+2a_1-dn/2，是关于n的二次函数

五、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列是指相邻两项之差是常数的数列，这个常数称为公差等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，其中a_1是首项，d是公差等比数列是指相邻两项之比是常数的数列，这个常数称为公比等比数列的通项公式为b_n=b_1q^n-1，其中b_1是首项，q是公比

2.如何通过数列的前n项和S_n求得其通项公式a_n？（5分）【答案】通过数列的前n项和S_n求得其通项公式a_n的方法如下a_n=S_n-S_{n-1}其中，S_n是数列的前n项和，S_{n-1}是数列的前n-1项和通过这个公式，可以求出数列的任意一项

3.等差数列的前n项和公式是什么？如何推导？（5分）【答案】等差数列的前n项和公式为S_n=n/2×（2a_1+n-1d），其中a_1是首项，d是公差，n是项数推导过程如下设等差数列的前n项为a_1,a_2,a_3,...,a_n，则前n项和S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n将数列倒序相加，得到S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1将两式相加，得到2S_n=a_1+a_n+a_2+a_{n-1}+a_3+a_{n-2}+...+a_n+a_1由于等差数列的性质，每一对相加的和都是2a_1+nd-nd，即每一对相加的和都是2a_1+nd-nd=2a_1+n-1d因此，2S_n=n×2a_1+n-1d所以，S_n=n/2×2a_1+n-1d

六、分析题

1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求证数列{a_n}是等差数列，并求出其通项公式（10分）【答案】要证明数列{a_n}是等差数列，需要证明相邻两项之差是常数根据前n项和S_n=3n^2-2n，可以得出a_n=S_n-S_{n-1}=（3n^2-2n）-（3n-1^2-2n-1）=3n^2-2n-（3n^2-6n+3-2n+2）=3n^2-2n-3n^2+6n-3+2n-2=6n-5所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5由于相邻两项之差为a_{n+1}-a_n=（6n+1-5）-（6n-5）=6，是常数，因此数列{a_n}是等差数列

2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求证数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式（10分）【答案】要证明数列{b_n}是等比数列，需要证明相邻两项之比是常数根据前n项和S_n=2^n-1，可以得出b_n=S_n-S_{n-1}=（2^n-1）-（2^{n-1}-1）=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}2-1=2^{n-1}所以，数列{b_n}的通项公式为b_n=2^{n-1}由于相邻两项之比为b_{n+1}/b_n=2^n/2^{n-1}=2，是常数，因此数列{b_n}是等比数列

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比上一年增加200件求

（1）第5年的产量；

（2）前5年的总产量（20分）【答案】

（1）第一年产量为1000件，以后每年的产量比上一年增加200件，所以这是一个等差数列，首项a_1=1000，公差d=200第5年的产量a_5=a_1+5-1d=1000+4×200=1800件

（2）前5年的总产量S_5=5/2×2a_1+5-1d=5/2×2×1000+4×200=5/2×2200=5500件

2.某城市人口增长率为每年10%，如果2000年人口为100万，求

（1）2010年的人口；

（2）2010年的总人口（25分）【答案】

（1）2000年人口为100万，每年增长率为10%，所以这是一个等比数列，首项b_1=100万，公比q=

1.12010年的人口b_10=b_1q^10-2000=100万×

1.1^10≈

2593741.04人

（2）2010年的总人口S_10=100万×

1.1^10-1/

1.1-1=100万×

1.1^10-1/

0.1≈

25937410.4人注意由于人口增长率的计算通常不考虑小数点后的人，所以2010年的人口可以近似为

259.37万人，2010年的总人口可以近似为

2593.74万人---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.D

4.C

5.A

6.C

7.C

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、D、E

2.A、B、E

3.B、E

4.C

5.B

三、填空题

1.

322.

4863.

374.

205.24

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.等差数列是指相邻两项之差是常数的数列，这个常数称为公差等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，其中a_1是首项，d是公差等比数列是指相邻两项之比是常数的数列，这个常数称为公比等比数列的通项公式为b_n=b_1q^n-1，其中b_1是首项，q是公比

2.通过数列的前n项和S_n求得其通项公式a_n的方法如下a_n=S_n-S_{n-1}，其中，S_n是数列的前n项和，S_{n-1}是数列的前n-1项和通过这个公式，可以求出数列的任意一项

3.等差数列的前n项和公式为S_n=n/2×（2a_1+n-1d），其中a_1是首项，d是公差，n是项数推导过程如下设等差数列的前n项为a_1,a_2,a_3,...,a_n，则前n项和S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n将数列倒序相加，得到S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1将两式相加，得到2S_n=a_1+a_n+a_2+a_{n-1}+a_3+a_{n-2}+...+a_n+a_1由于等差数列的性质，每一对相加的和都是2a_1+nd-nd，即每一对相加的和都是2a_1+n-1d因此，2S_n=n×2a_1+n-1d所以，S_n=n/2×2a_1+n-1d

六、分析题

1.要证明数列{a_n}是等差数列，需要证明相邻两项之差是常数根据前n项和S_n=3n^2-2n，可以得出a_n=S_n-S_{n-1}=（3n^2-2n）-（3n-1^2-2n-1）=3n^2-2n-3n^2+6n-3+2n-2=6n-5所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5由于相邻两项之差为a_{n+1}-a_n=（6n+1-5）-（6n-5）=6，是常数，因此数列{a_n}是等差数列

2.要证明数列{b_n}是等比数列，需要证明相邻两项之比是常数根据前n项和S_n=2^n-1，可以得出b_n=S_n-S_{n-1}=（2^n-1）-（2^{n-1}-1）=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}所以，数列{b_n}的通项公式为b_n=2^{n-1}由于相邻两项之比为b_{n+1}/b_n=2^n/2^{n-1}=2，是常数，因此数列{b_n}是等比数列

七、综合应用题

1.第一年产量为1000件，以后每年的产量比上一年增加200件，所以这是一个等差数列，首项a_1=1000，公差d=200

（1）第5年的产量a_5=a_1+5-1d=1000+4×200=1800件

（2）前5年的总产量S_5=5/2×2a_1+5-1d=5/2×2×1000+4×200=5/2×2200=5500件

2.2000年人口为100万，每年增长率为10%，所以这是一个等比数列，首项b_1=100万，公比q=

1.1

（1）2010年的人口b_10=b_1q^10-2000=100万×

1.1^10≈

2593741.04人

（2）2010年的总人口S_10=100万×

1.1^10-1/

1.1-1=100万×

1.1^10-1/

0.1≈

25937410.4人。