数列概率测验题及参考答案

数列概率测验题及参考答案

一、单选题

1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_2=7，则该数列的通项公式为（）（2分）A.a_n=4n+2B.a_n=4n-1C.a_n=2n+1D.a_n=2n-5【答案】C【解析】由等差数列性质，a_2-a_1=4，故公差d=4，则通项公式a_n=a_1+n-1d=3+4n-1=4n-1选项C正确

2.在掷两个公平的六面骰子时，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.5/36C.1/4D.7/36【答案】A【解析】总基本事件数为6×6=36，点数和为7的基本事件有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，故概率为6/36=1/

63.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_n-1+nn≥2，则b_5的值为（）（2分）A.15B.31C.120D.125【答案】B【解析】b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，故b_5=

314.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，随机抽取3名学生，恰好全是男生的概率是（）（2分）A.2/3B.1/3C.1/9D.1/125【答案】A【解析】总取法C30,3=4060，全男生取法C20,3=1140，故概率为1140/4060=2/

35.在等比数列{c_n}中，c_1=2，c_3=8，则c_5的值为（）（2分）A.16B.32C.64D.128【答案】B【解析】由c_3=c_1q^2，得8=2q^2，解得q=2，故c_5=c_1q^4=2×2^4=

326.已知随机变量X服从二项分布Bn,

0.6，且EX=12，则n的值为（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】B【解析】EX=np=

0.6n=12，解得n=

207.某射手每次射击命中目标的概率为

0.7，连续射击3次，恰好命中2次的概率是（）（2分）A.

0.343B.

0.294C.

0.147D.

0.21【答案】B【解析】概率为C3,2×

0.7^2×

0.3=3×

0.49×

0.3=

0.441×

0.3=

0.

2948.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n-1，则该数列是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.调和数列D.斐波那契数列【答案】A【解析】由a_n=S_n/n-1，得S_n=na_n+1，两式相减得a_n+1-a_n=1，故为等差数列

9.在100件产品中，有95件正品，5件次品，从中随机抽取3件，至少有1件次品的概率是（）（2分）A.1/22B.21/44C.5/22D.3/100【答案】B【解析】至少1件次品概率=1-全是正品概率=1-C95,3/C100,3=1-8855/161700=1-

0.547=

0.453，即21/

4410.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_5的值为（）（2分）A.16B.32C.31D.64【答案】C【解析】a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-1-1=2^n-2^n-1=2^n-1，故a_5=2^4=16

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是正确的？（）A.等差数列的通项公式必为一次函数B.等比数列的前n项和公式必为二次函数C.二项式展开式的系数必为正整数D.调和级数发散E.正项等比数列的任意子数列仍为等比数列【答案】A、D、E【解析】A正确，等差数列通项为an=am+n-md，为一次函数；B错误，首项为0时为0；C错误，如-1^n+1展开系数可为负；D正确，调和级数1/1+1/2+...发散；E正确，子数列公比不变

2.关于随机事件，以下说法正确的有（）A.不可能事件的概率为0B.必然事件的概率为1C.互斥事件的概率和为1D.独立事件的概率积为1E.对立事件的概率和为1【答案】A、B、E【解析】A正确，不可能事件概率为0；B正确，必然事件概率为1；C错误，互斥事件概率和≤1；D错误，独立事件概率积为PAPB；E正确，对立事件概率和为

13.下列数列中，哪些是等差数列？（）A.a_n=2n-3B.a_n=3^nC.a_n=5n+1D.a_n=n^2E.a_n=1-2n-1【答案】A、C、E【解析】A公差为2，B不是，C公差为5，D不是，E公差为-

24.关于二项分布Bn,p，以下说法正确的有（）A.参数n必须为正整数B.参数p必须为0到1之间C.期望EX=npD.方差VarX=np1-pE.概率PX=k=Cn,kp^k1-p^n-k【答案】A、B、C、D、E【解析】所有选项均为二项分布性质

5.下列命题中正确的有（）A.若数列{a_n}单调递增，则d0B.若数列{a_n}为等比数列，则公比q≠0C.若数列{a_n}的前n项和为S_n，则a_n=S_n-S_n-1D.若随机变量X服从Nμ,σ^2，则Pμ-σXμ+σ=

0.6826E.若事件A与B互斥，则PA|B=0【答案】B、C、D【解析】A错误，d≥0；B正确，公比q≠0；C正确，a_n=S_n-S_n-1；D正确，正态分布性质；E错误，PA|B=PAB/PB=0/PB=0（若PB0）

三、填空题

1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=15，则a_1+a_10=______（4分）【答案】30【解析】a_4+a_7=2a_1+9d=15，则a_1+a_10=2a_1+9d=

152.掷两个六面骰子，点数之和大于9的概率是______（4分）【答案】5/36【解析】点数和大于9的基本事件有4,

6、5,

5、6,

4、5,

6、6,5，共5种，概率为5/

363.数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_n-1+2nn≥2，则b_6=______（4分）【答案】55【解析】b_2=1+2=3，b_3=3+3=6，b_4=6+4=10，b_5=10+5=15，b_6=15+6=21，b_6=

554.从6名男生和4名女生中随机抽取3人，至少有1名女生的概率是______（4分）【答案】7/15【解析】至少1名女生概率=1-全是男生概率=1-C6,3/C10,3=1-20/120=7/

155.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则a_3=______（4分）【答案】7【解析】a_n=S_n-S_n-1=2n，故a_3=2×3=

66.在100件产品中，有10件次品，随机抽取3件，其中次品数X的期望EX=______（4分）【答案】3/10【解析】X服从超几何分布，EX=np=3×10/100=3/

107.若数列{a_n}满足a_n=a_n-1+a_n-2（n≥3），且a_1=1，a_2=1，则a_5=______（4分）【答案】5【解析】a_3=1+1=2，a_4=1+2=3，a_5=2+3=

58.某班级有40名学生，其中20名男生，20名女生，随机抽取2名学生，都是男生的概率是______（4分）【答案】1/4【解析】概率=C20,2/C40,2=190/780=1/4

四、判断题

1.若数列{a_n}是等差数列，则其前n项和S_n必为二次函数（）（2分）【答案】（×）【解析】首项为0时，S_n=nd^2/2为一次函数

2.两个相互独立的事件，它们的对立事件也相互独立（）（2分）【答案】（√）【解析】PAC=PA1-PB=PAPB=PAC，故独立

3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，则a_n必为S_n-S_n-1（）（2分）【答案】（×）【解析】n=1时a_1=S_1，但S_0不存在，故不成立

4.在等比数列中，任意两项之比等于公比（）（2分）【答案】（×）【解析】首项为0时，任意两项之比为0≠q

5.若随机变量X服从二项分布Bn,

0.5，则EX=VarX（）（2分）【答案】（√）【解析】EX=np=

0.5n，VarX=np1-p=

0.5n×

0.5=

0.25n

五、简答题

1.简述等差数列和等比数列的主要性质（每点2分，共4分）【答案】等差数列性质

（1）通项公式a_n=a_1+n-1d

（2）前n项和公式S_n=na_1+a_n/2或S_n=na_1+nn-1/2d

（3）任意m项和a_k+a_k+1+...+a_k+m=ma_1+k+m-1d/2

（4）数列中任意两项之差为常数d等比数列性质

（1）通项公式a_n=a_1q^n-1

（2）前n项和公式S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）或S_n=a_1q^n-1/q-1（q=1时S_n=na_1）

（3）任意m项和a_k+a_k+1+...+a_k+m=a_1q^k1+q+...+q^m-1=a_1q^kq^m-1/q-1

（4）数列中任意两项之比为常数q

2.解释二项分布Bn,p的三个基本性质（每点2分，共6分）【答案】

（1）离散性随机变量X取值为0,1,2,...,n，为离散型

（2）有限性试验次数n为正整数，取值范围有限

（3）独立性每次试验相互独立，概率分布稳定

3.说明随机变量的期望和方差的定义及意义（每点2分，共4分）【答案】期望EX定义EX=∑x_iPX=x_i，离散型意义随机变量取值的平均值，反映集中趋势方差VarX定义VarX=E[X-EX^2]=EX^2-EX^2，离散型意义随机变量取值的波动程度，反映离散程度

六、分析题

1.某射手每次射击命中目标的概率为

0.7，连续射击4次，求恰好命中3次的概率，并解释其意义（10分）【答案】设X为命中次数，X~B4,

0.7，PX=3=C4,3×

0.7^3×

0.3=4×

0.343×

0.3=

0.4116意义解释

（1）该概率表示在4次射击中，恰好有3次命中的可能性大小

（2）反映了该射手在4次射击中表现稳定的程度

（3）可用于评估射手水平或调整训练方案

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=a_n-1+nn≥2，证明该数列是等差数列（10分）【答案】证明

（1）计算a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+3=6，a_4=a_3+4=10

（2）猜想通项a_n=nn+1/2

（3）用数学归纳法证明

①基础n=1时a_1=1=1×2/2，成立

②假设n=k时a_k=kk+1/2成立

③递推a_k+1=a_k+k+1=kk+1/2+k+1=k+1k+2/2故对所有n成立，数列是等差数列，公差为n

七、综合应用题

1.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，随机抽取5名学生组成一个学习小组，求该小组中男生人数X的分布列，并计算小组中至少有3名男生的概率（25分）【答案】

（1）X~H50,30,5，分布列为PX=k=C30,k×C20,5-k/C50,5，k=0,1,2,...,5

（2）至少3名男生概率PX≥3=PX=3+PX=4+PX=5=

0.336+

0.294+

0.144=

0.774详细计算PX=3=C30,3×C20,2/C50,5=4060×190/230300≈

0.336PX=4=C30,4×C20,1/C50,5=27405×20/230300≈

0.294PX=5=C30,5/C50,5=142506/230300≈

0.144该概率表示在随机抽取5名学生时，小组中至少有3名男生的可能性约为

77.4%，可用于评估小组性别构成是否均衡。