数列通项公式试题及详细答案

数列通项公式经典试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+n，则a_5的值为（）（2分）A.25B.27C.29D.31【答案】C【解析】a_5=S_5-S_4=2×5^2+5-[2×4^2+4]=

292.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=18，a_2+a_4=16，则该数列的公差d为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由a_1+a_5=2a_3=18得a_3=9，由a_2+a_4=2a_3=16得a_3=8，矛盾，应选B

3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的通项公式为（）（2分）A.a_n=2^n-1B.a_n=2^n+1C.a_n=n^2D.a_n=2n-1【答案】A【解析】由递推式得a_n=2a_{n-1}+1，迭代可得a_n=2^n-

14.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则该数列的通项公式为（）（2分）A.b_n=2^nB.b_n=2×2^{n-1}C.b_n=4^nD.b_n=2^n+1【答案】B【解析】由b_3=b_1q^2得q=2，则b_n=2×2^{n-1}

5.已知数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+3n，且c_1=2，则c_5的值为（）（2分）A.40B.45C.50D.55【答案】B【解析】c_2=c_1+3×1=5，c_3=8，c_4=11，c_5=14，累加得c_5=

456.若数列{d_n}的通项公式为d_n=nn+1，则d_4的值为（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】B【解析】d_4=4×5=

207.在等差数列{e_n}中，若e_1=3，e_6=15，则e_3的值为（）（2分）A.6B.9C.12D.18【答案】C【解析】由e_6=e_1+5d得d=3/5，则e_3=e_1+2d=

98.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=f_n+n，则f_5的值为（）（2分）A.15B.31C.120D.125【答案】A【解析】f_2=2，f_3=5，f_4=12，f_5=20，累加得f_5=

159.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_4=81，则该数列的公比为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】由g_4=g_1q^3得q=

310.若数列{h_n}的通项公式为h_n=2n-1，则该数列的前n项和为（）（2分）A.n^2B.nn+1C.n^2-1D.n^2+1【答案】C【解析】S_n=1+3+...+2n-1=n^2-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于等差数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的前n项和是二次函数B.等差数列的任意两项之差为常数C.等差数列的中位数等于首项与末项的平均值D.等差数列的通项公式必为线性函数【答案】A、B、C【解析】选项D错误，如首项为1，公差为1的等差数列通项为n

2.以下关于等比数列的说法正确的有（）（4分）A.等比数列的前n项和公式与首项、末项、公比有关B.等比数列的任意两项之比为常数C.等比数列中若公比为负数，则数列项的符号交替出现D.等比数列的通项公式必为指数函数【答案】A、B、C【解析】选项D错误，如首项为1，公比为2的等比数列通项为2^{n-1}

3.已知数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+n，且a_1=1，则以下说法正确的有（）（4分）A.a_n是关于n的二次函数B.a_n与a_{n-1}的差为nC.a_n的通项公式必为n^2/2+nD.a_n的极限不存在【答案】A、B、C【解析】累加可得a_n=nn+1/2+n，是二次函数形式

4.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则以下说法正确的有（）（4分）A.b_n是等比数列B.b_n=3^nC.b_n=2×3^{n-1}D.b_n=3^n-3^{n-1}【答案】C、D【解析】b_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}

5.已知数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+2n，且c_1=2，则以下说法正确的有（）（4分）A.c_n是等差数列B.c_n=n^2C.c_n=2n^2D.c_n=nn+1【答案】B、C【解析】累加可得c_n=n^2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=11，则该数列的通项公式为______（4分）【答案】a_n=2n+3【解析】由a_4=a_1+3d得d=2，则a_n=2n+

32.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_5=32，则该数列的公比q=______（4分）【答案】q=2【解析】由b_5=b_1q^4得q=

23.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n，且c_1=1，则c_10的值为______（4分）【答案】55【解析】c_10=1+2+...+10=

554.若数列{d_n}的通项公式为d_n=3n-1，则该数列的前n项和S_n=______（4分）【答案】S_n=3n^2-n/2【解析】S_n=31+2+...+n-n=3nn+1/2-n

5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_5的值为______（4分）【答案】e_5=25【解析】e_5=S_5-S_4=30-20=10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2，则该数列是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】a_2-a_1=3≠a_3-a_2=5，不是等差数列

2.若数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n，则该数列是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】b_{n+1}/b_n=2为常数

3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】c_n=S_n-S_{n-1}=4n+2为一次函数

4.若数列{d_n}的通项公式为d_n=2n-1，则该数列是等比数列（）（2分）【答案】（×）【解析】d_{n+1}/d_n=2n+1/2n-1不为常数

5.若数列{e_n}的通项公式为e_n=2n，则该数列是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】e_{n+1}-e_n=2为常数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，求该数列的前n项和S_n（4分）【答案】S_n=31+2+...+n-2n=3nn+1/2-2n=3n^2/2+3n/2-2n=3n^2/2-n/2【解析】S_n=31+2+...+n-2n=3nn+1/2-2n=3n^2/2+n-2n=3n^2/2-n

2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=4n^2+2n，求该数列的通项公式b_n（4分）【答案】b_n=S_n-S_{n-1}=8n+4【解析】b_n=4n^2+2n-[4n-1^2+2n-1]=8n+

43.已知数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+4，且c_1=1，求该数列的通项公式c_n（4分）【答案】c_n=1+4n-1=4n-3【解析】由递推式得c_n=1+4+...+4n-1=4n-1/2=2n-1+1=4n-3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，求该数列的前n项和S_n，并验证当n=5时S_5=25（10分）【答案】S_n=1+3+...+2n-1=n^2【解析】当n=5时，S_5=1+3+5+7+9=25，验证成立

2.已知数列{b_n}的通项公式为b_n=3^n，求该数列的前n项和S_n，并验证当n=4时S_4=120（10分）【答案】S_n=31+3+...+3^{n-1}=33^n-1/2【解析】当n=4时，S_4=31+3+9+27=3×40=120，验证成立

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=nn+1，求该数列的前n项和S_n，并验证当n=5时S_5=55（25分）【答案】S_n=1×2+2×3+...+nn+1=nn+1n+2/3【解析】当n=5时，S_5=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=55，验证成立

2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求该数列的通项公式b_n，并验证当n=3时b_3=6（25分）【答案】b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}-1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}【解析】当n=3时，b_3=2^2=4，验证不成立，正确答案应为b_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、C

3.A、B、C

4.C、D

5.B、C

三、填空题

1.a_n=2n+

32.q=

23.

554.S_n=3n^2-n/

25.e_5=25

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.S_n=3n^2/2-n/

22.b_n=8n+

43.c_n=4n-3

六、分析题

1.S_n=n^

22.S_n=33^n-1/2

七、综合应用题

1.S_n=nn+1n+2/

32.b_n=2^{n-1}。