数学全国1卷题目及完整答案

数学全国1卷题目及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】y=-2x+1为一次函数，斜率为-2，在定义域内单调递减；y=x^2为二次函数，开口向上，在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减；y=1/x为反比例函数，在0,+∞和-∞,0上分别单调递减；y=|x|为绝对值函数，在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减只有A选项在整个定义域内单调递增

2.若复数z满足z^2=1，则z的取值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】B、D【解析】z^2=1可化为z^2-1=0，即z-1z+1=0，解得z=1或z=-

13.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+x-6=0}，则A∪B等于（）（2分）A.{1,2}B.{-3,2}C.{1,-2}D.{-3,-2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，解方程x^2+x-6=0得x=-3或x=2，故A={1,2}，B={-3,2}，A∪B={-3,1,2}

4.若向量a=1,k，b=3,-2，且a⊥b，则k的值是（）（2分）A.3/2B.-3/2C.2/3D.-2/3【答案】B【解析】a⊥b即a·b=0，则1×3+k×-2=0，解得k=3/

25.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.3π/2【答案】A【解析】正弦函数sinωx+φ的周期为T=2π/|ω|，此处ω=2，故周期T=π

6.某校高一年级有2000名学生，为了解他们的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，这种抽样方法是（）（2分）A.分层抽样B.系统抽样C.简单随机抽样D.整群抽样【答案】C【解析】直接随机抽取100名学生，属于简单随机抽样

7.若直线l过点1,2，且与直线y=3x-1平行，则l的方程是（）（2分）A.2x-y+1=0B.2x-y-1=0C.x-3y+5=0D.3x-y-7=0【答案】A【解析】两直线平行，斜率相等，故l的斜率为3，方程为y-2=3x-1，即2x-y+1=

08.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=7，a_6=15，则S_9等于（）（2分）A.81B.84C.87D.90【答案】B【解析】由a_3=7，a_6=15，可得3d=a_6-a_3=8，故d=8/3，a_1=a_3-2d=7-16/3=5/3，S_9=9/2×2a_1+8d=9/2×10/3+64/3=

849.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosB等于（）（2分）A.1/2B.3/4C.5/6D.7/8【答案】B【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=2^2+4^2-3^2/2×2×4=7/

810.执行以下程序段后，x的值是（）（2分）i=0;x=1;whilei=5{x=x+i;i=i+1;}A.15B.16C.31D.32【答案】D【解析】循环6次，每次i从0到5，x依次加0,1,2,3,4,5，最终x=1+0+1+2+3+4+5=16

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=2,b=-3时ab但a^2b^2；C错误，sinα=sinβ时α=β+2kπ或α=π-β+2kπ；D正确，传递性

2.以下函数中，在其定义域内存在反函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2x+1D.y=x^2【答案】A、B、C【解析】A、B、C为一一函数，存在反函数；D为非一一函数，在定义域内不存在反函数

3.以下不等式成立的有（）（4分）A.-2^3-1^2B.|-3||-2|C.3^03^1D.log_21/20【答案】C、D【解析】A错误，-2^3=-8-1^2=1；B错误，|-3|=3|-2|=2；C正确，3^0=13^1=3；D正确，log_21/2=-

104.以下向量组中，线性无关的有（）（4分）A.α=1,0,β=0,1B.α=1,1,β=2,2C.α=1,2,β=3,6D.α=1,0,β=1,1【答案】A、D【解析】A中向量不共线，线性无关；B中向量共线，线性相关；C中向量共线，线性相关；D中向量不共线，线性无关

5.以下命题中，属于真命题的有（）（4分）A.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称B.若fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称C.若fx是周期函数，则存在T0使fx+T=fxD.若fx是单调递增函数，则对任意x1x2有fx1fx2【答案】A、B、C、D【解析】均为函数性质的基本定义

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若直线y=kx+3与圆x^2+y^2=4相切，则k的值是______（4分）【答案】±3/2【解析】圆心0,0到直线的距离等于半径2，|3/k|/√1+k^2=2，解得k=±3/

22.若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q≠1，且a_1=1，S_3=7，则q的值是______（4分）【答案】3【解析】S_3=a_11+q+q^2=1+q+q^2=7，解得q=3（舍去-3）

3.若函数fx=x^2-ax+1在x=2时取得最小值，则a的值是______（4分）【答案】4【解析】对称轴x=a/2=2，故a=4，且此时fx取得最小值

4.若集合A={x|1x3}，B={x|x≤m}，且A∩B={x|2x3}，则m的值是______（4分）【答案】3【解析】A∩B为A与B的交集部分，故m=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4,b=-1时ab但√a=2√b不存在

2.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx是奇函数，f-x=-fx，f0=-f0，故f0=

03.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_10=100，S_20=380，则S_30等于150（）（2分）【答案】（×）【解析】S_10,S_20-S_10,S_30-S_20成等差数列，100,280,S_30-380成等差数列，280-100=S_30-380，故S_30=

6604.若fx=x^3+x，则fx是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-x^3+-x=-x^3-x=-fx，故fx为奇函数

5.若复数z=a+bi（a,b∈R），则|z|^2=a^2+b^2（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|^2=a+bia-bi=a^2+b^2

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=5，c=7，求cosA（4分）【答案】cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=5^2+7^2-3^2/2×5×7=43/

702.已知函数fx=2cos^2x-3sinx+1，求fx的最小值（4分）【答案】fx=21-sin^2x-3sinx+1=-2sin^2x-3sinx+3=-2sinx+3/4^2+15/8，当sinx=-3/4时取得最小值15/

83.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求a_10（4分）【答案】d=a_5-a_1/5-1=8/4=2，a_10=a_1+9d=2+18=

204.已知函数fx=√x+1，求其反函数f^-1x（4分）【答案】y=√x+1⇒x=y^2-1⇒x+1=y^2⇒y=√x+1，故f^-1x=x^2-1（x≥0）

5.已知向量a=2,1，b=1,-1，求向量a+b和a·b的值（4分）【答案】a+b=2,1+1,-1=3,0，a·b=2×1+1×-1=1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，证明fx在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减（10分）【证明】fx=3x^2-6x=3xx-2，当x∈-∞,0或2,+∞时fx0，当x∈0,2时fx0故fx在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减由于fx在-∞,1包含-∞,0和0,1，故在-∞,1上单调递增；在1,+∞包含2,+∞，故在1,+∞上单调递减

2.已知等比数列{a_n}中，a_1=1，公比q≠1，且S_n=55，S_2n=110，求q的值（10分）【解】S_n=a_11-q^n/1-q=55，S_2n=a_11-q^2n/1-q=110，故q^n=2，代入S_n得11-2/1-q=55，解得q=2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工程队计划修建一条长L米的水渠，第一天修建了a米，以后每天比前一天多修建1米，求

（1）第n天修建的米数；

（2）n天内共修建的米数（25分）【解】

（1）第n天修建的米数为a+n-1×1=a+n-1

（2）n天内共修建的米数为S_n=na+n-1n/2=a×n+n^2/2-n/

22.某商品的成本价为a元，售价为b元，若商店销售这种商品，规定每次销售超过10件可享受8折优惠，已知某月销售这种商品共获利1000元，且销售件数超过10件，求该月销售这种商品的件数（25分）【解】设销售件数为x，则当x10时，收入为

0.8b×x，成本为ax，利润为

0.8bx-ax=1000，解得x=1000/

0.8b-a，由于x10，故1000/

0.8b-a10，即x10---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.B、D

3.B

4.B

5.A

6.C

7.A

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、D

2.A、B、C

3.C、D

4.A、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.±3/

22.

33.

44.3

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.cosA=43/

702.fx的最小值为15/

83.a_10=

204.f^-1x=x^2-1（x≥0）

5.a+b=3,0，a·b=1

六、分析题

1.见证明过程

2.q=2

七、综合应用题

1.见解答过程

2.x=1000/

0.8b-a，x10。