数学分段计算试题及详细解答

数学分段计算热门试题及详细解答

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则（）（2分）A.a=0B.b=0C.c=0D.a+b+c=0【答案】B【解析】函数在x=1处取得极值，则f1=0，即2ax+b=0，得b=

02.不等式|2x-3|5的解集为（）（2分）A.-1,4B.-2,7C.-4,4D.-1,7【答案】A【解析】|2x-3|5转化为-52x-35，解得-22x8，即-1x

43.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（2分）A.5B.3√5C.7D.√5【答案】B【解析】a+b=4,-2，模长为√4^2+-2^2=√20=2√

54.抛掷一枚均匀的骰子，出现点数为偶数的概率为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6【答案】A【解析】偶数有3个（

2、

4、6），总点数6个，概率为3/6=1/

25.圆x^2+y^2=4的切线方程为（）（2分）A.y=xB.y=-xC.x+y=0D.x-y=0【答案】C【解析】切线斜率为-1，方程为y=-x，代入圆方程得x^2+x^2=4，即x^2=2，切线方程为x+y=

06.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_3的值为（）（2分）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=

77.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为（）（2分）A.eB.e-1C.1D.1/e【答案】B【解析】平均变化率=f1-f0/1-0=e-1/1=e-

18.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】相切条件为|b|/√k^2+1=1，得b^2=k^2+1，即k^2+b^2=

29.函数fx=sinx+cosx的最大值为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】fx=√2sinx+π/4，最大值为√

210.等差数列{a_n}中，若S_10=100，则a_6的值为（）（2分）A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】S_10=10a_1+a_10/2=100，得a_1+a_10=20，a_6=a_1+a_10/2=10

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=logxD.y=sinx【答案】A、B、C【解析】y=x^2，y=2x0；y=e^x，y=e^x0；y=logx，y=1/x0y=sinx非单调

2.关于抛物线y^2=2px，下列说法正确的有（）（4分）A.焦点坐标为p/2,0B.准线方程为x=-p/2C.p0时开口向右D.p0时顶点在原点【答案】A、C【解析】焦点为p/2,0，准线x=-p/2，p0时开口向右顶点总在原点

3.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则√a√b【答案】C、D【解析】反例a=1，b=-2，ab但a^2b^2；a^2b^2不一定ab1/a1/b成立√a√b成立

4.关于数列{a_n}，下列说法正确的有（）（4分）A.若{a_n}是等差数列，则S_n是二次函数B.若{a_n}是等比数列，则a_n是指数函数C.若{a_n}单调递增，则S_n也单调递增D.若{a_n}收敛，则S_n也收敛【答案】A、B【解析】等差数列S_n=na_1+nn-1d/2是二次函数等比数列a_n=a_1q^n-1是指数函数形式单调性不一定传递收敛数列S_n不一定收敛

5.关于三角函数，下列说法正确的有（）（4分）A.sinx+y=sinxcosy+cosxsinyB.cosx-y=cosxcosy+sinxsinyC.tanx+y=tanx+tany/1-tanxtanyD.sin^2x+cos^2x=1【答案】A、D【解析】B错误，cosx-y=cosxcosy-sinxsinyC错误，应为tanx+y=tanx+tany/1-tanxtanyA、D正确

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x+2的极值点为______和______（4分）【答案】1,-1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，fx=6x，f1=60为极小值点，f-1=-60为极大值点

2.已知向量a=1,2，b=3,k，若a⊥b，则k的值为______（4分）【答案】-3/2【解析】a⊥b，则a·b=1×3+2k=0，解得k=-3/

23.不等式x^2-5x+60的解集为______（4分）【答案】-∞,2∪3,+∞【解析】x^2-5x+6=x-2x-3，解得x2或x

34.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值为______，最大值为______（4分）【答案】0,1【解析】fx在x=1处取最小值0，在x=2处取最大值1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，ab但a^2b^

22.函数fx=sinx在区间[0,π]上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=cosx，在[0,π/2]上递增，在[π/2,π]上递减

3.若数列{a_n}有极限，则其子数列也一定有极限（）（2分）【答案】（√）【解析】数列极限与子列极限关系成立

4.圆x^2+y^2=1与直线y=x相切（）（2分）【答案】（√）【解析】斜率k=1，|b|/√k^2+1=1/√2=

15.若a_n→A，b_n→B，则a_n+b_n→A+B（）（2分）【答案】（√）【解析】数列极限运算法则成立

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2的导数fx，并指出其单调区间（4分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2fx0时x∈-∞,0∪2,+∞，单调递增；fx0时x∈0,2，单调递减

2.已知向量a=1,2，b=3,k，求向量a与b的夹角θ的余弦值cosθ（4分）【答案】cosθ=a·b/|a||b|=3+2k/√1^2+2^2√3^2+k^2=3+2k/√5√9+k^

23.求不等式x^2-4x+30的解集，并用数轴表示（4分）【答案】x^2-4x+3=x-1x-3，解得1x3数轴上表示为开区间1,3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其极值点，并分析其单调性（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2fx=6x-6，f0=-60为极大值点，f2=60为极小值点单调区间递增-∞,0∪2,+∞，递减0,

22.已知向量a=1,2，b=3,k，若a⊥b，求k值，并求向量a与b的夹角θ的余弦值（10分）【答案】a⊥b，a·b=3+2k=0，解得k=-3/2|a|=√5，|b|=√9+-3/2^2=√45/4=3√5/2cosθ=a·b/|a||b|=3+2-3/2/√5×3√5/2=0

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极大值，且f0=1，求a、b的值，并求函数的单调区间（20分）【答案】fx=3x^2-2ax+b，f1=1-a+b+1=0，得b=a-2f1=3-2a+b=0，代入b=a-2得a=4，b=2fx=3x^2-8x+2=3x-1x-2，单调区间递增-∞,1/3∪2,+∞，递减1/3,

22.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求通项公式a_n，并求前n项和S_n（20分）【答案】a_{n+1}+1=2a_n+1，即b_{n+1}=2b_n，b_n=2^n-1，a_n=2^n-1-1S_n=2^n-1-n=2^n-n-1。