数学大神对试题及答案的犀利点评

数学大神对试题及答案的犀利点评

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则下列说法正确的是（）（2分）A.a=0B.b=0C.b^2-4ac=0D.a≠0且b≠0【答案】D【解析】函数fx在x=1处取得极值，说明f1=0且f1≠0由fx=2ax+b得f1=2a+b=0，即b=-2a此时fx=2a，若f1≠0，则a≠0，因此b≠0故选D

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1/2,2}C.{1}D.{1/2,1,2}【答案】A【解析】由x^2-3x+2=0得A={1,2}若B⊆A，则B可能为∅，此时a为任意实数；若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2故a的取值集合为{1,1/2}，即A选项

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数为（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.85°【答案】C【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-60°-45°=75°选项C正确

4.函数y=√3-x的定义域为（）（2分）A.-∞,3]B.-∞,-3]C.[3,+∞D.[-3,+∞【答案】A【解析】根号下表达式需非负，即3-x≥0，解得x≤3故定义域为-∞,3]选项A正确

5.若复数z=1+i/1-i，则|z|的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.0【答案】A【解析】z=1+i/1-i=i，故|z|=|i|=1选项A正确

6.已知向量a=1,2，b=-2,1，则向量a·b的值为（）（2分）A.-3B.3C.-4D.4【答案】C【解析】a·b=1×-2+2×1=-4选项C正确

7.不等式|2x-1|3的解集为（）（2分）A.-1,2B.-2,1C.-1,4D.-2,4【答案】D【解析】|2x-1|3⇔-32x-13⇔-22x4⇔-1x2故解集为-1,2选项D正确

8.已知圆心为1,2，半径为3的圆的方程为（）（2分）A.x-1^2+y+2^2=9B.x+1^2+y-2^2=9C.x-1^2+y-2^2=9D.x-1^2+y+2^2=3【答案】C【解析】标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，故方程为x-1^2+y-2^2=9选项C正确

9.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=3，a_5=9，则a_10的值为（）（2分）A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】由a_5=a_1+4d得9=3+4d，解得d=3/2故a_10=a_1+9d=3+9×3/2=15选项B正确

10.已知直线l:ax+by+c=0，若l过原点，则下列说法正确的是（）（2分）A.a=0B.b=0C.c=0D.a+b+c=0【答案】C【解析】直线过原点0,0，代入方程得c=0选项C正确

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则1/a1/b【答案】C、D【解析】A选项，若a=-2，b=-1，则ab但a^2b^2不成立；B选项，若a=-2，b=-1，则ab但√a√b不成立；C选项，若ab0，则1/a1/b成立；D选项，若ab0，则1/a1/b成立故选C、D

2.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=lnx【答案】A、B、D【解析】y=x^2在0,+∞上单调递增；y=2^x在0,+∞上单调递增；y=1/x在0,+∞上单调递减；y=lnx在0,+∞上单调递增故选A、B、D

3.下列函数中，以y轴为对称轴的有（）（4分）A.y=x^2B.y=cosxC.y=|x|D.y=2x+1【答案】A、C【解析】y=x^2是偶函数，以y轴为对称轴；y=cosx是偶函数，以y轴为对称轴；y=|x|是偶函数，以y轴为对称轴；y=2x+1是非奇非偶函数，不以y轴为对称轴故选A、C

4.下列命题中正确的有（）（4分）A.若△ABC中，角A=角B，则△ABC是等腰三角形B.若△ABC中，边a=边b，则△ABC是等腰三角形C.若△ABC中，角A=角B=角C，则△ABC是等边三角形D.若△ABC中，边a=边b=边c，则△ABC是等边三角形【答案】A、B、C、D【解析】A选项，角A=角B⇔△ABC是等腰三角形；B选项，边a=边b⇔△ABC是等腰三角形；C选项，角A=角B=角C⇔△ABC是等边三角形；D选项，边a=边b=边c⇔△ABC是等边三角形故全选

5.下列不等式正确的有（）（4分）A.-2^3=-3^2B.-2^4=-3^3C.|-2||-3|D.√4√9【答案】C【解析】A选项，-2^3=-8，-3^2=9，不等式不成立；B选项，-2^4=16，-3^3=-27，不等式不成立；C选项，|-2|=2，|-3|=3，23，不等式成立；D选项，√4=2，√9=3，23，不等式不成立故选C

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，且f-1=f3，则b=______（4分）【答案】-2【解析】由f1=0得a+b+c=0

①；由f-1=f3得a-b+c=a+b+c⇔-2b=0⇔b=0故b=-

22.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则sinC=______（4分）【答案】√6/4【解析】角C=75°，sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/

43.已知向量a=3,-1，b=-1,2，则向量a×b的模长为______（4分）【答案】7【解析】向量a×b的模长即向量a和b的叉积的模长，|a×b|=|3×2--1×-1|=|6-1|=

74.不等式x^2-5x+60的解集为______（4分）【答案】-∞,2∪3,+∞【解析】x^2-5x+6=x-2x-30⇔x2或x3故解集为-∞,2∪3,+∞

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】若a=-2，b=-1，则ab但a^2b^2不成立

2.函数y=|x|在-∞,0上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】y=|x|在-∞,0上为y=-x，是单调递减函数

3.若复数z=m+mim∈R，则|z|的最小值为0（）（2分）【答案】（×）【解析】|z|=√m^2+m^2=√2|m|，当m=0时|z|=0，但一般最小值为√2/

24.若直线l1:ax+by+c=0与直线l2:mx+ny+p=0平行，则a/m=b/n（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l1与l2平行⇔a/m=b/n且c≠kp（k为常数），缺少c≠kp的条件

5.若三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】由3^2+4^2=5^2，知该三角形是勾股数，故为直角三角形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=2sinx+1在[0,π/2]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为3，最小值为1【解析】在[0,π/2]上，sinx的取值范围是[0,1]，故2sinx的取值范围是[0,2]，因此2sinx+1的取值范围是[1,3]最大值为3，最小值为

12.求过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（4分）【答案】y=3x-1【解析】与y=3x-1平行的直线斜率为3，故方程为y=3x+b代入点1,2得2=3×1+b⇔b=-1故方程为y=3x-

13.求不等式|x-1|2的解集（4分）【答案】-∞,-1∪3,+∞【解析】|x-1|2⇔x-12或x-1-2⇔x3或x-1故解集为-∞,-1∪3,+∞

4.求函数y=√x-1的定义域（4分）【答案】[1,+∞【解析】根号下表达式需非负，即x-1≥0⇔x≥1故定义域为[1,+∞

5.求向量a=1,2和向量b=3,-4的夹角余弦值（4分）【答案】-7/√65【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×-4/√1^2+2^2×√3^2+-4^2=-5/√5×√65=-7/√65

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（10分）【答案】单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2列表分析x-∞,000,222,+∞fx+0-0+fx↗极大值↘极小值↗故单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.已知数列{a_n}是等比数列，a_1=2，a_4=8，求a_10的值（10分）【答案】64【解析】由a_4=a_1q^3得8=2q^3⇔q^3=4⇔q=∛4=2^2/3故a_n=a_1q^n-1=2×2^2/3^n-1=2^1+2/3n-1=2^2n/3故a_10=2^2×10/3=2^20/3=2^6+2/3=64×2^2/3=64×√2/2=32√2修正a_n=2q^n-1，a_10=2×2^2/3^9=2×2^18/3=2×2^6=64

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的值（25分）【答案】b=√6，c=2【解析】角C=180°-60°-45°=75°由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC得√3/sin60°=b/sin45°⇔b=√3×√2/√3/2=√6√3/sin60°=c/sin75°⇔c=√3×sin75°/√3/2=2sin75°=2×√6+√2/4=√6/2+√2/2=2故b=√6，c=

22.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的所有零点（25分）【答案】零点为x=-1，x=1，x=2【解析】令fx=0⇔x^3-3x^2+2x+1=0⇔x+1x^2-4x+1=0⇔x=-1或x^2-4x+1=0解x^2-4x+1=0得x=4±√12/2=2±√3故零点为x=-1，x=2+√3，x=2-√3---标准答案

一、单选题

1.D

2.A

3.C

4.A

5.A

6.C

7.D

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.C、D

2.A、B、D

3.A、C

4.A、B、C、D

5.C

三、填空题

1.-

22.√6/

43.

74.-∞,2∪3,+∞

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.最大值为3，最小值为

12.y=3x-

13.-∞,-1∪3,+∞

4.[1,+∞

5.-7/√65

六、分析题

1.单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.a_10=64

七、综合应用题

1.b=√6，c=

22.零点为x=-1，x=2+√3，x=2-√3。