数学学院期末考真题及详细答案

数学学院期末考真题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=log2x【答案】D【解析】函数y=log2x在其定义域0,+∞内单调递增

2.已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的交集为两个集合共有的元素{2,3}

3.在直角坐标系中，点-3,4位于（）（2分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】横坐标为负，纵坐标为正的点位于第二象限

4.下列命题中，正确的是（）（2分）A.0是偶数但不是素数B.1既不是质数也不是合数C.-1是奇数但不是素数D.π是无理数但不是实数【答案】A【解析】0是偶数但不是素数，符合数学定义

5.一个等差数列的前三项为a,a+d,a+2d，则其第n项公式为（）（2分）A.a+n-1dB.a+n+1dC.a-dn-1D.a+dn-1【答案】A【解析】等差数列第n项公式为a+n-1d

6.若复数z=3+4i，则|z|等于（）（2分）A.7B.5C.25D.17【答案】B【解析】复数z的模|z|=√3^2+4^2=

57.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.30πD.45π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl=π×3×5=15π

8.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数为（）（2分）A.0B.-2C.2D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f1=3×1^2-3=

09.在△ABC中，若cosA=1/2，则角A等于（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】A【解析】cos60°=1/2，故角A为30°

10.抛掷两个均匀的骰子，点数之和为7的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】点数和为7的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种，概率为6/36=1/6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数E.分式函数【答案】A、B、C、D【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，分式函数不属于基本初等函数

2.在空间几何中，以下哪些命题正确？（）A.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直B.两条平行线必定在同一平面内C.三个不共线的点确定一个平面D.平行于同一直线的两条直线平行E.直线与平面所成角的取值范围是[0°,90°]【答案】A、C、D【解析】命题A、C、D正确，命题B错误（平行线可不在同一平面），命题E错误（取值范围应为[0°,90°]）

3.下列不等式成立的是（）A.-2^3-1^2B.3^02^0C.√16≥√9D.-5-3E.0!=1!【答案】C、D、E【解析】C、D、E正确，A错误-8-1，B错误1=

14.函数y=sinx具有以下哪些性质？（）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.有界性E.对称性【答案】A、B、D、E【解析】sinx是周期函数、奇函数、有界函数且有对称性，不具有单调性

5.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的转置矩阵AT等于（）A.[[1,3],[2,4]]B.[[1,2],[3,4]]C.[[2,4],[1,3]]D.[[3,4],[1,2]]E.[[4,2],[3,1]]【答案】A【解析】矩阵转置后行列互换，AT=[[1,3],[2,4]]

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x^2-5x+k=0有两个相等的实根，则k=______（4分）【答案】25/4【解析】判别式Δ=25-4k=0，解得k=25/

42.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C=______°（4分）【答案】75【解析】三角形内角和为180°，C=180-45-60=75°

3.函数y=e^x在点0,1处的切线斜率为______（4分）【答案】1【解析】y=e^x，x=0时y=

14.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为______，半径为______（4分）【答案】-2,-3；5【解析】配方得x+2^2+y+3^2=

255.若向量a=1,2，b=3,-4，则a·b=______（4分）【答案】-5【解析】a·b=1×3+2×-4=-

56.抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷3次，恰好出现两次正面的概率为______（4分）【答案】3/8【解析】组合数C3,2×1/2^2×1/2=3/

87.在等比数列中，首项为2，公比为3，则第4项为______（4分）【答案】18【解析】a4=2×3^4-1=

188.不等式|x-1|2的解集为______（4分）【答案】-1,3【解析】x-1∈-2,2→x∈-1,3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，和为有理数

2.函数y=tanx是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】tanx+π=tanx，周期为π

3.若直线l1平行于直线l2，直线l2平行于直线l3，则l1平行于l3（）（2分）【答案】（√）【解析】平行关系具有传递性

4.一个三角形的面积等于其两边乘积与夹角正弦值的乘积（）（2分）【答案】（√）【解析】面积S=1/2absinC

5.若函数fx在区间a,b内单调递增，则fx在a,b内连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值f-1=5，最小值f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，驻点x=0和x=2，f-1=5，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值5，最小值-

22.证明对任意实数a，b，有|a+b|≤|a|+|b|（5分）【解析】利用三角不等式|a+b|≤√a^2+2ab+b^2=√a+b^2=|a+b|≤|a|+|b|

3.已知点A1,2，B3,0，求线段AB的垂直平分线的方程（5分）【答案】x-y-1=0【解析】中点2,1，斜率kAB=-2，垂直平分线斜率1/2，方程y-1=1/2x-2→x-y-1=0

六、分析题（每题12分，共24分）

1.设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，an+1=2Sn+1，证明{an}是等比数列（12分）【证明】an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，作差an+1-an=2an+2-2Sn-1+1→an+1=3an+2，即an+1+2=3an+2，首项a1+2=3，故{an+2}是首项为3，公比为3的等比数列，原数列是等比数列

2.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1处有水平切线，且f0=1，求a和b的值（12分）【解】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f0=b=1，代入得a=2，b=1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，b=√7，c=3，求角B的余弦值和△ABC的面积（25分）【解】cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/12=1/4，sinB=√1-cos^2B=√1-1/4^2=√15/4，面积S=1/2acsinB=1/2×2×3×√15/4=3√15/

82.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，

（1）画出函数图像；

（2）求fx的最小值及取得最小值时的x值；

（3）解不等式fx≤5（25分）【解】

（1）分段函数fx={-3-xx≤-2,3-2x-2x1,3x+1x≥1}，图像为折线段；

（2）最小值3，取得最小值时x∈[-2,1]；

（3）分段解得x∈[-4,3]---标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.B

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D

3.C、D、E

4.A、B、D、E

5.A

三、填空题

1.25/

42.

753.

14.-2,-3；

55.-

56.3/

87.

188.-1,3

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值5，最小值-2；

2.利用三角不等式证明；

3.x-y-1=0

六、分析题

1.{an+2}是等比数列，原数列是等比数列；

2.a=2，b=1

七、综合应用题

1.cosB=1/4，S=3√15/8；

2.图像为折线段，最小值3x∈[-2,1]，x∈[-4,3]。