数学建模国赛历年试题及精准答案汇总

数学建模国赛历年试题及精准答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x^2D.y=1/x【答案】A【解析】函数y=2x+1是线性函数，其斜率为正，故在整个定义域内单调递增

2.下列方程中，不是线性方程的是（）（2分）A.2x+3y=5B.x^2+y=1C.3x-4y=7D.5x+2y-z=3【答案】B【解析】线性方程中各项变量的最高次数为1，x^2+y=1中x的次数为2，故为非线性方程

3.下列数据中，标准差最大的是（）（2分）A.{1,2,3,4,5}B.{5,4,3,2,1}C.{10,20,30,40,50}D.{100,200,300,400,500}【答案】D【解析】数据集的离散程度越大，标准差越大选项D的数据离散程度最大

4.下列矩阵中，不可逆的是（）（2分）A.[[1,0],[0,1]]B.[[2,3],[4,6]]C.[[3,4],[6,8]]D.[[5,0],[0,5]]【答案】B、C【解析】矩阵B和C的行列式分别为0，故不可逆

5.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.|x-1|2B.|x+1|3C.|x-2|=1D.|x+2|=4【答案】A、C【解析】|x-1|2解得-1x3，|x-2|=1解得x=1或x=

36.下列函数中，在其定义域内连续的是（）（2分）A.y=1/xB.y=√xC.y=1/x^2D.y=|x|【答案】B、D【解析】根号函数和绝对值函数在其定义域内连续

7.下列数列中，收敛的是（）（2分）A.a_n=1/nB.a_n=n^2C.a_n=-1^nD.a_n=1+1/n【答案】A、D【解析】a_n=1/n趋于0，a_n=1+1/n趋于

18.下列积分中，值为0的是（）（2分）A.∫[0,1]sinxdxB.∫[0,1]cosxdxC.∫[0,π]sinxdxD.∫[0,π]cosxdx【答案】C、D【解析】C选项sinx在[0,π]上积分为0，D选项cosx在[0,π]上积分为

09.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.{[1,0],[0,1]}B.{[1,2],[2,4]}C.{[1,3],[3,1]}D.{[2,3],[3,2]}【答案】A、C【解析】向量组A和C的行列式不为0，故线性无关

10.下列极限中，存在的是（）（2分）A.limx→01/xB.limx→∞1/xC.limx→0sinx/xD.limx→∞x^2【答案】B、C【解析】B选项极限为0，C选项极限为1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是初等函数？（）A.y=√xB.y=2^xC.y=x^2+x+1D.y=1/xE.y=|x|【答案】A、B、C、D、E【解析】基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数，以及常数函数和绝对值函数

2.下列哪些是微分方程？（）A.y+2y=3B.y-4y+4y=0C.y^2-x=0D.y=xE.y=2x+1【答案】A、B、D【解析】微分方程是含有未知函数及其导数的等式，B、D为微分方程

3.下列哪些矩阵可逆？（）A.[[1,0],[0,1]]B.[[2,3],[4,6]]C.[[3,4],[6,8]]D.[[5,0],[0,5]]E.[[1,2],[3,4]]【答案】A、D、E【解析】矩阵A、D、E的行列式不为0，故可逆

4.下列哪些是概率分布？（）A.Bin10,

0.5B.N0,1C.P5,

0.2D.Uniform0,1E.Exponential1【答案】A、B、D、E【解析】A为二项分布，B为标准正态分布，D为均匀分布，E为指数分布

5.下列哪些是线性规划的标准形式？（）A.maxc^Txs.t.Ax=b,x=0B.minc^Txs.t.Ax=b,x=0C.maxzs.t.Ax=b,x=0D.minzs.t.Ax=b,x=0E.maxzs.t.Ax=b,x=0【答案】A、B、C、D【解析】线性规划的标准形式为最大化目标函数，约束条件为等式约束和非负约束

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，则a______0，b______2，c为任意实数【答案】0；=2【解析】fx=2ax+b，在x=1处取得极小值，故f1=0，解得b=2a，又因极小值，故a

02.矩阵[[1,2],[3,4]]的逆矩阵为________【答案】[[2,-1],[-3,1]]【解析】矩阵的逆矩阵为[[a,b],[-c,d]]，满足[[1,2],[3,4]][[a,b],[-c,d]]=[[1,0],[0,1]]，解得a=2,b=-1,c=-3,d=

13.若事件A的概率为

0.6，事件B的概率为

0.3，且A和B互斥，则PA∪B=________【答案】

0.9【解析】因A和B互斥，故PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.3=

0.

94.微分方程y+4y=0的通解为________【答案】y=C1cos2x+C2sin2x【解析】特征方程为r^2+4=0，解得r=±2i，故通解为y=C1cos2x+C2sin2x

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若向量组线性相关，则其中任意向量都可由其他向量线性表示（）【答案】（√）【解析】线性相关定义即为存在不全为0的系数使线性组合为0，故任一向量可由其他向量线性表示

2.若函数在闭区间上连续，则在该区间上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】根据极值定理，闭区间上连续函数必有最大值和最小值

3.若事件A的概率为

0.7，事件B的概率为

0.4，且A和B独立，则PA∩B=

0.28（）【答案】（√）【解析】因A和B独立，故PA∩B=PAPB=

0.7×

0.4=

0.

284.若矩阵A和B可逆，则AB也可逆（）【答案】（√）【解析】矩阵可逆的定义为其行列式不为0，故若A和B可逆，则detA≠0且detB≠0，detAB=detAdetB≠0，故AB可逆

5.若函数在x=0处取得极值，则其导数在x=0处必为0（）【答案】（×）【解析】如fx=x^3在x=0处取得极值，但f0=0，故该命题不成立

五、简答题（每题4分，共16分）

1.简述线性规划问题的标准形式【答案】线性规划问题的标准形式为

（1）目标函数为最大化形式maxc^Tx

（2）约束条件为等式约束Ax=b

（3）决策变量非负x=0其中c为目标函数系数向量，x为决策变量向量，A为约束系数矩阵，b为常数向量

2.简述矩阵可逆的充要条件【答案】矩阵可逆的充要条件为

（1）矩阵为方阵

（2）矩阵行列式不为0

（3）矩阵秩等于其阶数

（4）矩阵列向量线性无关满足以上任一条件，矩阵即为可逆矩阵

3.简述概率分布的性质【答案】概率分布的性质包括

（1）非负性PX=x=0

（2）规范性所有可能取值的概率之和为1

（3）离散型分布概率之和为1

（4）连续型分布概率密度函数积分为

14.简述微分方程通解的概念【答案】微分方程的通解是指包含任意常数的解，其形式通常包含一个或多个任意常数，可以表示为该微分方程所有解的集合例如，y+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值【答案】

（1）求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1

（2）求临界点令fx=0，解得x=-1,1

（3）单调性分析当x-1时，fx0，函数单调递增当-1x1时，fx0，函数单调递减当x1时，fx0，函数单调递增

（4）极值分析在x=-1处，f-1=4，为极大值在x=1处，f1=0，为极小值

2.分析随机变量X~N0,1的概率密度函数和分布函数的性质【答案】

（1）概率密度函数性质正态分布N0,1的概率密度函数为fx=1/√2πe^-x^2/2性质包括

①关于x=0对称

②在x=0处取得最大值1/√2π

③曲线以x轴为渐近线

④积分值为1

（2）分布函数性质标准正态分布的分布函数为Φx=∫[-∞,x]ftdt性质包括

①单调递增

②limx→-∞Φx=0

③limx→+∞Φx=1

④对称性Φ-x=1-Φx

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A的利润为3元，每件产品B的利润为2元生产每件产品A需消耗劳动力2个单位，生产每件产品B需消耗劳动力3个单位工厂每天最多可提供60个劳动力单位若产品B每天至少生产10件，求工厂每天的最大利润【答案】

（1）设产品A生产x件，产品B生产y件，利润函数为z=3x+2y

（2）约束条件2x+3y=60y=10x,y=0

（3）可行域绘制约束条件的可行域，找到可行域顶点A0,20,B15,10,C30,0

（4）目标函数值z0,20=40z15,10=55z30,0=90最大利润为90元，当产品A生产30件，产品B生产0件时取得

2.某公司需要采购两种原材料M1和M2，单价分别为10元/千克和20元/千克每千克M1可提供3单位微量元素，每千克M2可提供5单位微量元素公司每天至少需要60单位微量元素若M2的采购量不超过30千克，求公司每天的最小采购成本【答案】

（1）设采购M1为x千克，M2为y千克，成本函数为c=10x+20y

（2）约束条件3x+5y=60y=30x,y=0

（3）可行域绘制约束条件的可行域，找到可行域顶点A0,12,B10,12,C20,0

（4）目标函数值c0,12=240c10,12=220c20,0=200最小成本为200元，当采购M1为20千克，M2为0千克时取得---标准答案及解析

一、单选题

1.A

2.B

3.D

4.B、C

5.A、C

6.B、D

7.A、D

8.C、D

9.A、C

10.B、C

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、D

3.A、D、E

4.A、B、D、E

5.A、B、C、D

三、填空题

1.0；=

22.[[2,-1],[-3,1]]

3.

0.

94.y=C1cos2x+C2sin2x

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。